（2021新教材）人教A版高中数学选择性必修第二册暑假作业06：导数研究函数单调性B卷（原卷+解析）.zip

暑假作业 06导数研究函数单调性 B 卷 一、单选题(共 20 分) 1.定义在上的函数与其导函数的图象如图所示，设 为坐标原点， 、 、 、 四点的横坐标依次为、 2,2()() 1 2 、 、 ，则函数的单调递减区间是（ ） 1 61 4 3 = () A.B.C.D. ( 1 6, 4 3) ( 1 2,1) ( 1 2, 1 6)(1,2) 2.已知函数，当时，不等式恒成立，则整数 的最小值为（ ） () = 21 2+ 1 (0,)(1) + () 0 A.1B.2C.3D.4 3.已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数.若，则实 (0, + )()()()(2020)(2) 数的取值范围为（ ） A.B.C.D. (0,2020)(2020, + )(2022, + )(2020,2022) 4.已知函数，若函数至多有 个零点，则 的取值范围是（ ） () = + 1,( 0) 2,( 0) = () 2 A.B.C.D. (,1 1 ) (,1 1 ) (1, + ) (1,1 1 )1,1 + 二、多选题(共 10 分) 5.若定义在 上的函数满足，其导函数满足，则下列成立的有（ ） ()(0)= 1()() 1 A.B. (1 ) 1 (1 ) 1 1 ( 1 1) 0 B.对于任意的 及任意不相等的实数，都有； 12 0 C.对于任意的 ，存在不相等的实数，使得； 12 = D.对于任意的 ，存在不相等的实数，使得. 12 = 三、填空题(共 10 分) 7.已知函数图象过点，若函数在上是增函数，则实数的取值范围为_. () =(2)( 3,0) ()(, + 1) 8.已知函数，若在上曲线与没有交点，则实数 的取值范围为_. () = + 2() = 22+ 2, + ) = () = () 四、解答题(共 36 分) 9.已知函数 () = 2+ 4 + 2 （1）求函数的单调区间； () （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围 (2,02( + 1) () 10.已知函数. ()= 1 2 22 + (2) （1）当时，求函数在上的最小值和最大值； = 3 ()1, （2）当时，讨论函数的单调性. () 11.已知函数， ()= 2( + 2) + + 2()=(1) （）若，讨论函数的单调性； 0 () （）若对任意的，都有，求实数 的取值范围 1, + )() () 暑假作业 06导数研究函数单调性 B 卷 一、单选题(共 20 分) 1.定义在上的函数与其导函数的图象如图所示，设 为坐标原点， 、 、 、 四点的横坐标依次为、 2,2()() 1 2 、 、 ，则函数的单调递减区间是（ ） 1 61 4 3 = () A.B.C.D. ( 1 6, 4 3) ( 1 2,1) ( 1 2, 1 6)(1,2) 【答案】B 【解析】 【分析】 先辨别出图象中实线部分为函数的图象，虚线部分为其导函数的图象，求出函数的导数为，由， = () = () = ()() 0 得出，只需在图中找出满足不等式对应的 的取值范围即可. () ()() () 【详解】 若虚线部分为函数的图象，则该函数只有一个极值点，但其导函数图象（实线）与 轴有三个交点，不合乎题意； = () 若实线部分为函数的图象，则该函数有两个极值点，则其导函数图象（虚线）与 轴恰好也只有两个交点，合乎题意. = () 对函数求导得，由得， = () = ()() 0 () () 由图象可知，满足不等式的 的取值范围是， () 0() 当时，单调递减， ( 2,)() 0() 故当时，取极大值也是最大值，最大值为， = 2() ( 2) = 2 所以，得. + 1 2 21 又，则. = 1 故选：A 【点睛】 本题主要考查导数在研究函数中的应用和函数的概念与性质，较综合. 3.已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数.若，则实 (0, + )()()()(2020)(2) 数的取值范围为（ ） A.B.C.D. (0,2020)(2020, + )(2022, + )(2020,2022) 【答案】D 【解析】 【分析】 引入新函数，求导后确定的单调性，由单调性解不等式 () = () () 【详解】 设，则，且，在上单调递减， () = () () = ()() 2 ()() 0() (2020)(2) (2020) 2020 (2) 2(2020) (2)0 2020 22020 0) = () 2 A.B.C.D. (,1 1 ) (,1 1 ) (1, + ) (1,1 1 )1,1 + 【答案】B 【解析】 【分析】 首先画出函数的图象，转化为与函数图象至多有 2 个零点时，求 的取值范围. = () = 【详解】 解析：由，得， () = 0 ()= = + 1 0 ，当时， =( + 1) = 1= 0 当时，函数单调递减， (,1) 0 所以时，函数的最小值，且 0 (1)= 11 (0)= 1 ， = 2 0 ，当时， = 11 = 1= 0 当时，函数单调递减， (0,1) 0 所以时，函数的最小值， 0 (1)= 1 作出函数与的图象，观察他们的交点情况，可知，或时，至多有两个交点满足题意， = () = 1 故选：B. 【点睛】 本题考查根据函数零点个数求参数的取值范围，重点考查利用导数判断函数的单调性和最值，并能数形结合分析问题的能力，属 于中档题型. 二、多选题(共 10 分) 5.若定义在 上的函数满足，其导函数满足，则下列成立的有（ ） ()(0)= 1()() 1 A.B. (1 ) 1 (1 ) 1 1 ( 1 1) 0 故函数在 上单调递增，且， ()= () 1 0 ，故， (1 ) (0)(1 )1 1 (1 ) 0 而，故 A 正确，B 错误 1 1 ，故， 1 1 0( 1 1) (0) 所以， ( 1 1) 1 1( 1 1) 1 1 0 故 C 正确，D 错误 故选：AC. 【点睛】 本题考查利用导数研究函数的单调性及其应用，构造函数是解题的关键，考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于中档题. 6.已知函数，（其中）.对于不相等的实数，设，下列说法正确的是 () = 2() = 2+ 12 = (1)(2) 12 = (1)(2) 12 （ ） A.对于任意不相等的实数，都有； 12 0 B.对于任意的 及任意不相等的实数，都有； 12 0 C.对于任意的 ，存在不相等的实数，使得； 12 = D.对于任意的 ，存在不相等的实数，使得. 12 = 【答案】AD 【解析】 【分析】 运用指数函数的单调性,即可判断 A;由二次函数的单调性,即可判断 B;通过函数,求出导数判断单调性,即可判断 () = 2+ 2 C;通过函数,求出导数判断单调性,即可判断 D. () = 2+ + 2 【详解】 对于 A,由指数函数的单调性可得在 上递增,即有,则 A 正确; () 0 对于 B,由二次函数的单调性可得在递减,在,递增,则不恒成立,则 B 错误; () (, 2) ( 2+ ) 0 对于 C,若,可得,即为, = (1)(2) = (1)(2)(1)(1) = (2)(2) 设,则应有, () = 2+ 2 (1) = (2) 而,当,小于 0,单调递减,则 C 错误; () = 2 + 22 ()() 对于 D,若,可得,即为 = (1)(2) = (1)(2)(1) + (1) = (2) + (2) 设,则应有, () = 2+ + 2 (1) = (2) 而,对于任意的 ,不恒大于 0 或小于 0, () = 2 + + 22 () 即在定义域上有增有减,则 D 正确. () 故选:AD. 【点睛】 本题考查函数的单调性及运用,运用指数函数和二次函数的单调性,以及导数判断单调性是解题的关键. 三、填空题(共 10 分) 7.已知函数图象过点，若函数在上是增函数，则实数的取值范围为_. () =(2)( 3,0) ()(, + 1) 【答案】1,2 【解析】 【分析】 把点代入函数的解析式，利用导数求出函数的单调递增区间使为所求增区间的子集，列出关于的不等 ( 3,0)()()(, + 1) 式即可求解. 【详解】 因为函数的图象过点， () =(2)( 3,0) 所以，解得， 3 = 0 = 3 所以函数， ()=(23)()= (3)( + 1) 由可得， () 0 1 3 所以函数的单调递增区间为， ()1,3 因为函数在上是增函数， ()(, + 1) 所以，解得， 1 + 1 3 1 2 所以实数的取值范围为. 1,2 故答案为：1,2 【点睛】 本题考查函数解析式的求解、利用导数判断函数的单调性求参数的取值范围；考查运算求解能力；熟练掌握利用导数判断函数的 单调性是求解本题的关键；属于中档题. 8.已知函数，若在上曲线与没有交点，则实数 的取值范围为_. () = + 2() = 22+ 2, + ) = () = () 【答案】(, 22 4 ) 【解析】 【分析】 根据题意可知在上无实数根，分离参数后构造函数，由导函数判断的单调性，从而求得 () = ()2, + ) () = 2() 的最小值，即可确定 的取值范围. () 【详解】 曲线与在上没有交点， = () = ()2, + ) 即在上无实数根， () = ()2, + ) 即，在上无实数根， = 2+ = 22, + ) 令， () = 2 则 ， () = (22)+ 2 4 = (2)+ 2 4 , 2 ，即在时单调递增， () 0 () = 2 2 则， () (2) = 22 4 . () 【答案】 （1）见解析；（2） (1,2 【解析】 【分析】 （1）求导得到，记，令，得到增区间， 得到减区间. () = (2+ 22) () = 22 + 2() 0() 02 2 1 ，得或，再分，三种情况讨论求解. () = 0 = 2 = 1 2 【详解】 （1），记， () = (2+ 22) () = 22 + 2 令，得，函数在上单调递增；，得或，函 () 01 3 1 +3()(1 3,1 +3)() 0 1 +3 数在或上单调递减 ()(,1 3)(1 +3, + ) （2）记， () = 2( + 1)242 () = 2( + 2)(1) 由，得或， (0) 02 2 1() = 0 = 2 = ，所以 (2,02( + 2) 0 当时，且时，； 1 2 (2,0) (2,)() 0 所以，恒成立； ()= () = (2) 0 () 0 当时， = 2() = 2( + 2)( + 21) 因为，所以，此时单调递增， (2,0() 0() 且，所以，成立； (2) = 222(1)4 + 82 = 0 (2,0() (2) = 0 当时， 2 (2) = 2 2 + 2 0 所以存在使得，因此不恒成立， 0 (2,0)(0) = 0 () 0 综上，的取值范围是 (1,2 【点睛】 本题主要考查导数与函数的单调性以及导数与不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题. 10.已知函数. ()= 1 2 22 + (2) （1）当时，求函数在上的最小值和最大值； = 3 ()1, （2）当时，讨论函数的单调性. () 【答案】 （1）最小值是，最大值是 ；（2）见解析 462 3 2 【解析】 【分析】 （1）易得在递减，在递增，所以，再比较的大小可得 ()= 6 + 1 = (2)( + 3) ()1,22, ()= (2)= 462 (1),() 最大值； （2），分，四种情况讨论即可. ()= (2)( + ) 02 0 = 2 0 2 令，解得：， () 0 0 2 在单调递减，在单调递增， ()1,22, 的最小值是， ()(2)= 462 而，因为 (1)= 3 2 ()= 1 2 26 + 1 2 26 + 3 2 故在的最大值是； ()1, (1)= 3 2 （2）， ()= (2)( + ) 时，易知在上单调递增，在上单调递减； 0()(0,2)(2, + ) 当时， 2 0 (,2)() 0 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； ()(0,)(,2)(2, + ) 当时，在上单调递增； = 2 (0, + )() 0()(0, + ) 当时， 0 (2,)() 0()(0,2)(2,) 在上单调递增 (, + ) 综上所述，时，的单调增区间为，单调减区间为； 0 ()(0,2)(2, + ) 当时，单调增区间为，；单调减区间为； 2 0 ()(0,)(2, + )(,2) 当时，单调增区间为，无单调减区间； = 2 ()(0, + ) 当时，单调增区间为，；单调减区间为. 0 () （）若对任意的，都有，求实数 的取值范围 1, + )() () 【答案】 （）分类讨论，详见解析；（） 2 3, + ) 【解析】 【分析】 （）求导后，分别在、和三种情况下求得的正负，由此可确定单调性； 0 2 ()() （）令，分别在、和三种情况下，利用导数确定单调性和最值，进而确定符合题意的 ()= ()() 2 3 0 0) 当时， 0 0 0 1 () 0 1 2 2 由可得：或；由可得：； () 0 0 1 2 () 0 1 1 2 的单调增区间为，单调递减区间为； ()(0, 1 ) ( 1 2, + ) ( 1 , 1 2) 综上所述：当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当 0 2 ()(0, 1 ) ( 1 2, + ) ( 1 , 1 2) （）令，则， ()= ()()()= 2( + 2) +(2) + 2 ， ()= 2( + 2)+ 2 = 22( + 2) + 2 = (1)(2 + 2) 当时，令，解得：， 2 3 ()= 0 1= 1 2= 2 2 ， 2 2 1 = 23 2 0 2 1 当时，在上单调递增， 1 () 0 ()1, + ) ，满足题意； () (1)= 0 当时，由知：， 0 1 当时，在上单调递减， (1,2 2) () 0 ()(1, 2 2) 则当时，不合题意； (1,2 2) () (1)= 0 当时，则，在上单调递减， 02 + 2 0 () 0 ()1, + ) 当时，不合题意； (1, + )() (1)= 0 综上所述：实数 的取值范围为. 2 3, + ) 【点睛】 本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数讨论含参数函数的单调性、恒成立问题的求解；求解恒成立问题的关键是能 够通过讨论导函数零点的位置确定函数在所给区间内的单调性，进而得到函数最值.