1、1 2 20 02 20 0- -2 20 02 21 1 学学年年江江苏苏省省淮淮安安市市高高二二（下下）期期末末数数学学试试卷卷 一一、选选择择题题（共共 8 8 小小题题，每每小小题题 5 5 分分，共共 4 40 0 分分）. . 1已知复数z满足i（z+1）1i（i为虚数单位），则复数z的共轭复数 为 （） A2iB2+iC2iD2+i 2（x 2+2）（x1）10 的展开式中的常数项为（） A8B4C3D2 3设随机变量X，Y满足：Y3X1，XB（2， ），则V（Y）（） A4B5C6D7 4袋中装有 4 个红球和 2 个蓝球，不放回地依次摸出两球，在第一次摸到红球的条 件下，第二
2、次摸到蓝球的概率是（） ABCD 56 名同学和 1 名老师去参观“伟大征程庆祝中国共产党成立 100 周年特展”， 参观结束后他们排成一排照相留念若老师站在正中间，甲、乙两同学相邻，则 不同的排法共有（） A240B192C120D96 6函数f（x）的图象大致为（） AB. C.D. 2 7如图，洛书（古称龟书），是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水， 其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居 中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数若从四个阴数和五个阳数中随机选取 3 个数，则选取的 3 个数之和为偶数的概率为（） ABCD 8已知f（x）是定义在R R
3、上的奇函数，且当x0 时，f（x）f（x），则（） Af（4）ef（3）Bf（4）e 2f（2） Ce 2f（4）f（2） Def（4）f（3） 二二、选选择择题题：本本题题共共 4 4 小小题题，每每小小题题 5 5 分分，共共 2 20 0 分分. .在在每每小小题题给给出出的的选选项项中中，有有多多 项项符符合合题题目目要要求求，全全部部选选对对的的得得 5 5 分分，部部分分选选对对的的得得 2 2 分分，有有选选错错的的得得 0 0. . 9若直线是函数f（x）图象的一条切线，则函数f（x）可以是（） ABf（x）x 4 Cf（x）sinxDf（x）e x 10设z1，z2为复数，则
4、下列说法正确的是（） A若z1 2+z 2 20，则 z1z20B|z1z2|z1|z2| CD若|z1|z2|，则z1z2 11在一次满分为 150 分的数学测试中，某校共有 800 名学生参加，学生的成绩X 服从正态分布N（110，100），其中 90 分为及格线，120 分为优秀线，则下列说 法正确的是 （） 附：随机变量服从正态分布N（， 2），则 P（+）0.6826， 3 P（2+2）0.9544，P（3+3）0.9974 A该校学生数学成绩的期望为 110 B该校学生数学成绩的标准差为 100 C该校数学成绩 140 分以上的人数大于 5 D该校数学成绩及格率超过 0.97 12
5、中国古代中“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”“礼”主要指德育； “乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知 识；“数”指数学某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，一天内连续安排 六节课，则下列说法正确的是（） A某学生从中选 3 门学习，共有 20 种选法 B“礼”和“射”不相邻，共有 400 种选法 C“乐”不能排在第一节，且“数”不能排在最后，共有 504 种选法 D“书”必须排在前三节，且“射”和“御”相邻，共有 108 种选法 二二、填填空空题题：本本题题共共 4 4 小小题题，每每小小题题 5 5 分分，共共 2 20 0 分分 13写出一个使得zz
6、40 成立的虚数 z 14甲乙两人射击，中靶的概率分别为 0.9，08若两人同时独立射击，则恰有一人 不中靶的概率为 15设aZ Z，且 0a16，若 4 2021+a 能被 17 整除，则a的值为 16在 18 世纪，法国著名数学家拉格日在他的解析函数论中，第一次提到拉格 朗日中值定理，其定理陈述如下，如果函数f（x）区间a，b上连续不断，在开 区间（a，b）内可导（存在导函数），在区间（a，b）内至少存在一个点x0（a， b），使得f（b）f（a）f（x0）（ba），则xx0称为函数yf（x）在 4 闭区间a，b上的中值点，则关于x的f（x）e x+mx 在区间1，1上的中值 点x0的值为
7、 四四、解解答答题题：本本题题共共 6 6 小小题题，共共 7 70 0 分分，解解答答应应写写出出文文字字说说明明证证明明过过程程或或演演算算步步骤骤. . 17在（x+ ） 2n 的二项展开式中，二项式系数之和为 64 （1）求正整数n的值； （2）求（x+ ） 2n 的二项展开式中二项式系数最大的项 18在曲线yf（x）在点（ ，f（ ）处的切线与y轴垂直，f（x）的导数 yf（x）的最小值为 ，函数f（x）在区间（ ， ）上是减函数，在区 间（， ），（ ，+）上是增函数这三个条件中任选一个补充在横线上， 并回答下面问题 已知函数f（x）x 3+ax+b，且满足 _ （1）求a值； （
8、2）若函数yf（x）在区间1，2上的最大值与最小值的和为 7，求b值 5 19为了调查某地区中学生是否喜欢踢足球，用简单随机抽样的方法从该地区调查 了 500 名学生，调查结果如下： 性别 是否喜欢踢足 球 男女总计 喜欢踢足球40y70 不喜欢踢足球x270z 总计500 （1）求x，y，z的值； （2）能否有 99%的把握认为该地区的中学生是否喜欢踢足球与性别有关？ 附：X 2 P（X 2 x0） 0.150.100.050.0250.0100.0050.001 x02.0722.0763.8415.0246.6357.879 10.828 6 20欧拉（17071783），他是数学史上最
9、多产的数学家之一，他发现并证明了欧 拉公式e icos+isin，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的 取作就得到了欧拉恒等式e i+10，它是令人着迷的一个公式，它将数学里 最重要的几个量联系起来，两个超越数自然对数的底数e，圆周率，两个 单位虚数单位i和自然数单位 1，以及被称为人类伟大发现之一的 0，数学家 评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：e icos+isin，解决以 下问题： （1）将复数+e i写成 a+bi（a，bR R，i为虚数单位）的形式； （2）求|e iei|（R R）的最大值 7 21甲乙丙三人进行兵兵球练习赛，约定练习赛规则如下：比赛前抽签决定
10、先比赛 的两个人，另一个人做裁判，每场比赛结束时，胜的一方在下一局与裁判进行比赛， 负的一方在下一局做裁判，每局比赛的结果都相互独立，每场比赛双方获胜的概率 都是 ，第一局通过抽签确定甲先当裁判 （1）求丙前 4 局都不做裁判的概率； （2）求第 3 局甲当裁判的概率； （3）记前 4 局乙当裁判的次数为X，求X的概率分布和数学期望 22函数f（x）e x2sinx1，设函数 m（x）f（x）证明： （1）m（x）在区间（）上存在唯一的极小值点； （2）f（x）在（）上有且仅有两个零点 1 参参考考答答案案 一一、选选择择题题（共共 8 8 小小题题，每每小小题题 5 5 分分，共共 4 40
11、 0 分分）. . 1已知复数z满足i（z+1）1i（i为虚数单位），则复数z的共轭复数 为 （） A2iB2+iC2iD2+i 解： 因为i（z+1） 1i， 所以， 所以z2i， 所以 故选：B 2（x 2+2）（x1）10 的展开式中的常数项为（） A8B4C3D2 解：因为二项式（x1） 10 的展开式的通项公式为T， 令 10r0，解得r10， 故（x 2+2）（x1）10（x1）10 的展开式常数项为 212， 故选：D 3设随机变量X，Y满足：Y3X1，XB（2， ），则V（Y）（） A4B5C6D7 解：因为XB（2， ），则V（X）2 ， 又Y3X1，所以V（Y）V（3X1）
12、 故选：A 4袋中装有 4 个红球和 2 个蓝球，不放回地依次摸出两球，在第一次摸到红球的条 件下，第二次摸到蓝球的概率是（） ABCD 解：因为第一次摸到红球，所以还剩下 3 个红球和 2 个篮球， 2 所以在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到蓝球的概率是 故选：D 56 名同学和 1 名老师去参观“伟大征程庆祝中国共产党成立 100 周年特展”， 参观结束后他们排成一排照相留念若老师站在正中间，甲、乙两同学相邻，则 不同的排法共有（） A240B192C120D96 解：共有 7 个人，老师在正中间，则老师左右各 3 人， 所以甲乙相邻在老师左右共有 4 种情况满足，剩下 4 人全排即可，
13、 所以不同的排法共有 4192 种， 故选：B 6函数f（x）的图象大致为（） AB CD 解：根据题意，f（x），其定义域为x|x0 且x1， 则f（x）f（x），则f（x）为奇函数，排除A、D， 在区间（0，1）上，ln|x|lnx0，必有f（x）0，排除B， 故选：C 7如图，洛书（古称龟书），是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水， 其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居 3 中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数若从四个阴数和五个阳数中随机选取 3 个数，则选取的 3 个数之和为偶数的概率为（） ABCD 解：由题意，四个阴数为 4 个偶数，2，4
14、，6，8，五个阳数为 5 个奇数，1，3，5， 7， 9， 所以基本事件的个数共有个， 选取的 3 个数之和为偶数， 则有 个，故所求的概率为 故选：C 8已知f（x）是定义在 R R 上的奇函数，且当x0 时，f（x）f（x），则（） Af（4）ef（3）Bf（4）e 2f（2） Ce 2f（4）f（2） Def（4）f（3） 解：f（x）是定义在 R R 上的奇函数， 令F（x），F（x）， 因为当x0 时，f（x）f（x），所以F（x）0，函数F（x）是减函数， 所以F（4）F（3），可得f（4）ef（3），所以A不正确； F（4）F（2），可得f（4）e 2f（2），所以 C不正确；
15、则f（4）e 2f（2），即 f（4）e 2f（2），所以 B正确； f（4）ef（3），f（4）ef（3），可得f（4）ef（3），所以D不 正确； 故选：B 4 二二、选选择择题题：本本题题共共 4 4 小小题题，每每小小题题 5 5 分分，共共 2 20 0 分分. .在在每每小小题题给给出出的的选选项项中中，有有多多 项项符符合合题题目目要要求求，全全部部选选对对的的得得 5 5 分分，部部分分选选对对的的得得 2 2 分分，有有选选错错的的得得 0 0. . 9若直线是函数f（x）图象的一条切线，则函数f（x）可以是（） ABf（x）x 4 Cf（x）sinxDf（x）e x 解：直
16、线的斜率为k ， 由f（x） 的导数为f（x），即有切线的斜率小于 0，故A不能选； 由f（x）x 4的导数为 f（x）4x 3，而 4x3 ，解得 x ，故B可以选； 由f（x）sinx的导数为f（x）cosx，而 cosx 有解，故C可以选； 由f（x）e x的导数为 f（x）e x，而 e x ，解得 xln2，故D可以选 故选：BCD 10设z1，z2为复数，则下列说法正确的是（） A若z1 2+z 2 20，则 z1z20B|z1z2|z1|z2| CD若|z1|z2|，则z1z2 解：对于A选项，当z11，z2i时，z1 2+z 2 20，故 A选项错误， 对于B选项，由复数模的运
17、算性质可知|z1z2|z1|z2|，故B选项正确， 对于C选项，设z1a+bi，z2c+di，（a，b，c，dR R）， ，故C选项正确， 对于D选项，当z11，z2i时，|z1|z2|1，但z1z2，故D选项错误 故选：BC 11在一次满分为 150 分的数学测试中，某校共有 800 名学生参加，学生的成绩X 服从正态分布N（110，100），其中 90 分为及格线，120 分为优秀线，则下列说 法正确的是 （） 5 附：随机变量服从正态分布N（， 2），则 P（+）0.6826， P（2+2）0.9544，P（3+3）0.9974 A该校学生数学成绩的期望为 110 B该校学生数学成绩的标
18、准差为 100 C该校数学成绩 140 分以上的人数大于 5 D该校数学成绩及格率超过 0.97 解：因为生的成绩X服从正态分布N（110，100）， 则该校学生数学成绩的期望为 110，故选项A正确； 该校学生数学成绩的标准差为 10，故选项B错误； 该校数学成绩 140 分以上的概率为P， 所以该校数学成绩 140 分以上的人数为 0.00138001，故选项C错误； 该校数学成绩及格率为，故选项D正确 故选：AD 12中国古代中“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”“礼”主要指德育； “乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知 识；“数”指数学某校国学社团开展
19、“六艺”课程讲座活动，一天内连续安排 六节课，则下列说法正确的是（） A某学生从中选 3 门学习，共有 20 种选法 B“礼”和“射”不相邻，共有 400 种选法 C“乐”不能排在第一节，且“数”不能排在最后，共有 504 种选法 D“书”必须排在前三节，且“射”和“御”相邻，共有 108 种选法 解：对于A，某学生从中选 3 门学习，共有种选法， 6 故选项A正确； 对于B，“礼”和“射”不相邻，则有种， 故选项B错误； 对于C，若“数”排在第一节，则排法有种； 若“数”不排在第一节，也不排在最后一节，则排法有种， 所以“乐”不能排在第一节，且“数”不能排在最后，共有 120+384504
20、种选法， 故选项C正确； 对于D，若“书”排在第一节，且“射”和“御”相邻，则有种； 若“书”排在第二节，且“射”和“御”相邻，则有种； 若“书”排在第三节，且“射”和“御”相邻，则有种 所以“书”必须排在前三节，且“射”和“御”相邻，共有 48+36+36120 种选 法， 故选项D错误； 故选：AC 二二、填填空空题题：本本题题共共 4 4 小小题题，每每小小题题 5 5 分分，共共 2 20 0 分分 13写出一个使得zz 40 成立的虚数 z +i；或 i 解：要使zz 40，需 zz 4，z1（舍去），或 z 31（z1）， zcos+isin +i，或zcos+isin i， 故答
21、案为： +i；或 i 14甲乙两人射击，中靶的概率分别为 0.9，08若两人同时独立射击，则恰有一人 不中靶的概率为0.26 解：因为甲乙两人射击，中靶的概率分别为 0.9，08， 7 所以恰有一人不中靶的概率为P0.9（10.8）+（10.9）0.80.18+0.08 0.26 故答案为：0.26 15设aZ Z，且 0a16，若 4 2021+a 能被 17 整除，则a的值为13 解：aZ Z，且 0a16，若 4 2021+a4161010+a4（171）1010+a 4（17 1010 17 1009+ 17 1008 17 1007+ （17） +1）+a， 故它除以 17 的余数为
22、 41+a，由于它能被能被 17 整除，则a13， 故答案为：13 16在 18 世纪，法国著名数学家拉格日在他的解析函数论中，第一次提到拉格 朗日中值定理，其定理陈述如下，如果函数f（x）区间a，b上连续不断，在开 区间（a，b）内可导（存在导函数），在区间（a，b）内至少存在一个点x0（a， b），使得f（b）f（a）f（x0）（ba），则xx0称为函数yf（x）在 闭区间a，b上的中值点，则关于x的f（x）e x+mx 在区间1，1上的中值 点x0的值为 解：当x1，1时，由拉格朗日中值定理可得 ，f（x）e x+m， +m，即， 故答案为： 四四、解解答答题题：本本题题共共 6 6 小
23、小题题，共共 7 70 0 分分，解解答答应应写写出出文文字字说说明明证证明明过过程程或或演演算算步步骤骤. . 17在（x+ ） 2n 的二项展开式中，二项式系数之和为 64 （1）求正整数n的值； （2）求（x+ ） 2n 的二项展开式中二项式系数最大的项 8 解：（1）在（x+ ） 2n 的二项展开式中，二项式系数之和为 2 n64，n6 （2）（x+ ） 2n（x+ ）12的二项展开式中，当 r6 时，二项式系数最大， 故二项式系数最大的项为T73 6 18在曲线yf（x）在点（ ，f（ ）处的切线与y轴垂直，f（x）的导数 yf（x）的最小值为 ，函数f（x）在区间（ ， ）上是减函
24、数，在 区间（， ），（ ，+）上是增函数这三个条件中任选一个补充在横 线上，并回答下面问题 已知函数f（x）x 3+ax+b，且满足 _ （1）求a值； （2）若函数yf（x）在区间1，2上的最大值与最小值的和为 7，求b值 解：选条件：f（x）3x 2+a， 所以k 切f（ ） +a， 因为曲线yf（x）在点（ ，f（ ）处的切线与y轴垂直， 所以k 切0，所以 +a0，解得a ，所以f（x）x 3 x+b， f（x）3x 2 ，所以在（ ，2）上，f（x）0，f（x）单调递增， 在（ ， ）上，f（x）0，f（x）单调递减， 在（1， ）上，f（x）0，f（x）单调递增， f（ ）（ ）
25、 3 +b +b， f（ ）（ ） 3+ +b +b， f（1）1 （1）+b +b， f（2）2 3 2+b +b， 所以f（x）max+b，f（x）min +b， 9 若函数yf（x）在区间1，2上的最大值与最小值的和为 7， 则+b+（ +b）+2b7，解得b 选条件：f（x）3x 2+a，所以 f（x）最小值为a， f（x）的导数yf（x）的最小值为 ,所以a ， 由可知，b 选条件：f（x）3x 2+a， 因为函数f（x）在区间（ ， ）上是减函数，在区间（， ），（ ，+ ）上是增函数，所以 ， 是 3x 2+a0 的根，所以 ，解得 a ， 由可知，b 19为了调查某地区中学生是
26、否喜欢踢足球，用简单随机抽样的方法从该地区调查 了 500 名学生，调查结果如下： 性别 是否喜欢踢足球 男女总计 喜欢踢足球40y70 不喜欢踢足球x270z 总计500 （1）求x，y，z的值； （2）能否有 99%的把握认为该地区的中学生是否喜欢踢足球与性别有关？ 附：X 2 P（X 2 x0） 0.150.100.050.0250.0100.0050.001 x02.0722.0763.8415.0246.6357.879 10.828 10 解：（1）由列联表可得，y704030，z50070430，所以x430270 160； （2）由列联表中的数据可得，X 2 ， 所以有 99%
27、的把握认为该地区的中学生是否喜欢踢足球与性别有关 20欧拉（17071783），他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧 拉公式e icos+isin，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的 取作就得到了欧拉恒等式e i+10，它是令人着迷的一个公式，它将数学里 最重要的几个量联系起来，两个超越数自然对数的底数e，圆周率，两个 单位虚数单位i和自然数单位 1，以及被称为人类伟大发现之一的 0，数学家 评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：e icos+isin，解决以 下问题： （1）将复数+e i写成 a+bi（a，bR R，i为虚数单位）的形式； （2）求|e ie
28、i|（R R）的最大值 解：（1）+e icos +isin+（cos+isin）（1）+i； （2）|e iei|cos+isin（cos+isin）|（1cos）isin |， 当 cos1，即2k，kZ Z 时，|e iei|（R R）的最大值为 2 21甲乙丙三人进行兵兵球练习赛，约定练习赛规则如下：比赛前抽签决定先比赛 的两个人，另一个人做裁判，每场比赛结束时，胜的一方在下一局与裁判进行比 赛，负的一方在下一局做裁判，每局比赛的结果都相互独立，每场比赛双方获胜 的概率都是 ，第一局通过抽签确定甲先当裁判 （1）求丙前 4 局都不做裁判的概率； 11 （2）求第 3 局甲当裁判的概率；
29、 （3）记前 4 局乙当裁判的次数为X，求X的概率分布和数学期望 解：（1）当丙前三局全部取胜，即丙前 4 局都不做裁判， 每场比赛双方获胜的概率都是 ， 丙前 4 局都不做裁判的概率为 （2）第二局中可能是乙当裁判，其概率为 ，也可能是丙当裁判，其概率为 ， 第三局甲当裁判的概率为 （3）由题意X的可能的取值为 0，1，2， ， ， ， 22函数f（x）e x2sinx1，设函数 m（x）f（x）证明： （1）m（x）在区间（）上存在唯一的极小值点； （2）f（x）在（）上有且仅有两个零点 【解答】证明：（1）当时，f（x）e x2sinx1，m（x）f（x） e x2cosx，m（x）ex
30、+2sinx， m （x）ex+2cosx0，所以 m（x）在上单调递增， 又， 所以m（x）在上存在唯一零点x0， 且当时，m（x）0；当x0 x0 时，m（x）0， 故m（x）在上单调递减，在（x0，0）上单调递增， 12 故m（x）在区间上存在唯一的极小值点x0 （2）当时， 由（1）可知m（x）在上单调递减，在（x0，0）上单调递增， 又， 所以m（x）在上存在唯一的零点x1，其中， 当时，m（x）0；当x1x0 时，m（x）0， 所以f（x）在上单调递增，在（x1，0）上单调递减， 又， 所以f（x）0 在上恒成立，即f（x）在上不存在零点 当x0 时， f（x）0，所以x0 是f（x）的一个零点 当 0 x时， m（x）e x+2sinx0，所以 m（x）在（0，）上单调递增， 又m（0）10，m（）e +20， 所以m（x）在（0，）上存在唯一零点x2， 当 0 xx2时，m（x）0，当x2x时，m（x）0， 所以f（x）在（0，x2） 上单调递减，在（x2，）上单调递增， 又f（0）0，f（）e 10，f（x 2）f（0）0， 所以f（x）在（x2，）上存在唯一零点 综上所述，f（x）在上有且仅有两个零点 命题得证
