1、4.1.2乘法公式与全概率公式乘法公式与全概率公式 第第 1 课时课时乘法公式乘法公式 学 习 目 标核 心 素 养 1掌握乘法公式及其推广(重点) 2会用乘法公式及全概率公式求相应 事件的概率(难点) 1通过乘法公式及其推广的学习，体 会数学抽象的素养 2借助乘法公式及其推广解题，提升 数学运算素养. 小明在登陆电子邮箱时，发现忘了密码的最后一位，只记得是数字 09 中 的任意一个 问题：他在尝试登陆时，第一次失败，第二次成功的概率是多少？ 乘法公式及其推广 (1)乘法公式：P(AB)P(A)P(B|A)，其中 P(A)0. (2)乘法公式的推广： 设 Ai表示事件，i1,2,3，且 P(A
2、i)0，P(A1A2)0， 则 P(A1A2A3)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) 其中 P(A3|A1A2)表示已知 A1与 A2都发生时 A3发生的概率，P(A1A2A3)表示 A1A2A3同时发生的概率 思考：P(AB)，P(B)，P(A|B)(其中 P(B)0)之间存在怎样的等量关系？ 提示P(AB)P(B)P(A|B)，其中 P(B)0. 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)P(AB)P(BA)() (2)P(AB)P(A)P(B)() (3)P(A1A2A3A4)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4|A1A2A3)， 其中 P(A1)0，
3、 P(A2A1) 0，P(A1A2A3)0.() 答案(1)(2)(3) 2已知 P(B|A)1 3，P(A) 2 5，则 P(AB)等于( ) A.5 6 B. 9 10 C. 2 15 D. 1 15 CP(AB)P(B|A)P(A)1 3 2 5 2 15，故选 C. 3某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨，他第一次失败、 第二次成功的概率是() A. 1 10 B. 2 10 C. 8 10 D. 9 10 A记事件 A 为第一次失败，事件 B 为第二次成功，则 P(A) 9 10，P(B|A) 1 9，所以 P(AB)P(A)P(B|A) 1 10. 4若 P(B|A)1
4、 3，则 P(B |A)_. 2 3 P(B |A)1P(B|A)11 3 2 3. 乘法公式及其应用 【例 1】一袋中装 10 个球， 其中 3 个黑球、7 个白球， 先后两次从中随 意各取一球(不放回), 求两次取到的均为黑球的概率 解设 Ai表示事件“第 i 次取到的是黑球”(i1,2)，则 A1A2表示事件“两次 取到的均为黑球”. 由题设知 P(A1) 3 10，P(A 2|A1)2 9， 于是根据乘法公式， 有 P(A1A2)P(A1)P(A2|A1) 3 10 2 9 1 15. 1(变结论)在本例条件不变的情况下，求第一次取得黑球，第二次取得白 球的概率 解用 A 表示第一次取
5、得黑球，则 P(A) 3 10， 用 B 表示第二次取得白球，则 P(B|A)7 9. 故 P(AB)P(A)P(B|A) 3 10 7 9 7 30. 2(变结论)在本例条件不变的情况下，两次均取得白球的概率 解用Bi表示第i次取得白球， i1,2， 则B1B2表示两次取到的均是白球 由 题意得 P(B1) 7 10，P(B 2|B1)2 3. P(B1B2)P(B1)P(B2|B1) 7 10 2 3 7 15. 乘法公式给出了一种计算“积事件”概率的求法，即当直接计算 PAB不好 计算时，可先求出 PA及 PB|A或先求出 PB及 PA|B，再利用乘法公式 PAB PAPB|APBPA|
6、B求解即可. 乘法公式的推广及应用 【例 2】 设某光学仪器厂制造的透镜， 第一次落下时打破的概率为1 2， 若 第一次落下未打破， 第二次落下打破的概率为 7 10， 若前两次落下未打破， 第 三次落下打破的概率为 9 10. 试求透镜落下三次而未打破的概率 解以 Ai(i1,2,3)表示事件“透镜第 i 次落下打破”，B 表示事件“透镜 落下三次而未打破”，则 BA 1A2A3，故有 P(B)P(A 1 A 2 A 3)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1 A 2) 11 2 1 7 10 1 9 10 3 200. 该类问题在概率中被称为“机遇问题”， 求解的关键是分清事件之间的互相
7、 关系，充分利用 P(A1A2A3An)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2An1)求解 跟进训练 1在 100 件产品中有 5 件是次品，从中连续无放回地抽取 3 次，问第三次 才取得次品的概率(结果保留两位有效数字) 解设 Ai表示“第 i 次取得次品”(i1,2,3)，B 表示“第三次才取到次品”， 则 BA 1A2A3， P(B)P(A 1A2A3)P(A1)P(A2|A1) P(A3|A 1A2)95 100 94 99 5 980.046. 乘法公式的综合应用 探究问题 1P(B|A)与 P(B |A)存在怎样的等量关系？ 提示P(B|A)P(B |A)
8、1. 2若 A1，A2，A3是互斥事件，且 A1A2A3，则 A1A2A3的对立事 件与 A 1A2A3 相同吗？ 提示相同 【例 3】已知某厂家的一批产品共 100 件，其中有 5 件废品但采购员不 知有几件次品，为慎重起见，他对产品进行不放回的抽样检查，如果在被他抽查 的 5 件产品中至少有一件是废品，则他拒绝购买这一批产品求采购员拒绝购买 这批产品的概率 思路点拨本题可借助对立事件及乘法公式的推广进行求解 解设 Ai被抽查的第 i 件产品是废品，i1,2,3,4,5. 设 A 采 购 员 拒 绝 购 买 ， 则 A A1A2A3A4A5， 从 而 A A 1A2A3A4A5， 由题意，得
9、 P(A 1) 95 100，P(A 2|A 1)94 99，P(A 3|A 1A 2)93 98，P(A 4|A 1A 2 A 3)92 97， P(A 5|A1A2A3A4)91 96. P(A )P(A 1A 2A 3A 4A 5) P(A 5|A1A2A3A4)P(A4|A1A2A3)P(A3|A1A2)P(A2|A1)P(A1) 9594939291 100999897960.7696. 故 P(A)1P(A )0.2304. 分解计算，代入求值，为了求比较复杂事件的概率，一般先把它分解成两个 或若干个互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用加 法公式即得所求的复杂
10、事件的概率. 跟进训练 2某种疾病能导致心肌受损害，若第一次患该病，则心肌受损害的概率为 0.3，第一次患病心肌未受损害而第二次再患该病时，心肌受损害的概率为 0.6， 试求某人患病两次心肌未受损害的概率 解设 A1“第一次患病心肌受损害”， A2“第二次患病心肌受损害”， 则 所求概率为 P(A 1A2) 由题意可知：P(A1)0.3，P(A2|A 1)0.6. 又 P(A 1)1P(A1)0.7， P(A 2|A1)1P(A2|A1)0.4， 所以 P(A 1A2)P(A1)P(A2|A1)0.70.40.28. 1乘法公式 P(AB)P(A)P(B|A)进一步揭示了 P(A)，P(B|A
11、)及 P(AB)三者之 间的内在联系，体现了“知二求一”的转化化归思想 2该公式同时也给出了“积事件”概率的另一种求解方式，即在事件 A，B 不相互独立的前提下可考虑条件概率的变形公式，即乘法公式 3注意 P(A)P(B|A)与 P(B)P(A|B)的等价转化 1若 P(B)3 5，P(A|B) 1 2，则 P(AB)为( ) A. 3 10 B.5 6 C.1 2 D.1 5 AP(AB)P(B)P(A|B)3 5 1 2 3 10，故选 A. 2从一副不含大、小王的 52 张扑克牌中不放回地抽取 2 次，每次抽一张， 则第 2 次才抽到 A 的概率是() A. 1 13 B. 1 17 C
12、. 16 221 D. 4 51 C法一：所求概率 P 484 5251 16 221. 法二：设 Ai表示第 i 次抽到 A，i1,2，则 P(A 1)48 52 12 13， P(A2|A 1)4 51， P(A 1A2)P(A1)P(A2|A1)12 13 4 51 16 221.故选 C. 3有一批种子的发芽率为 0.9，出芽后的幼苗成活率为 0.8，在这批种子中， 随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率是_ 0.72设“种子发芽”为事件 A， “种子成长为幼苗”为事件 AB， 则 P(A) 0.9，又种子发芽后的幼苗成活率为 P(B|A)0.8，所以 P(AB)P(A)P(B|A) 0.72. 44 张奖券中只有 1 张能中奖，现分别由 4 名同学无放回地抽取，若已知 第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率为_ 1 3 由题意可知，最后一名同学中奖的概率 P2 3 1 21 1 3. 5已知 6 个高尔夫球中有 2 个不合格，每次取 1 个，不放回地取两次，求 两次均取到不合格球的概率 解法一：所求事件的概率 P21 65 1 15. 法二：用 Ai表示第 i 次取到不合格球，i1,2. 则 P(A1)1 3，P(A 2|A1)1 5， P(A1A2)P(A1)P(A2|A1)1 3 1 5 1 15.
