1、1 第二课时组合数的应用 课后篇巩固提升 基础达标练 1.(2019 内蒙古呼和浩特开来中学高二期中)从 10 名大学毕业生中选 3 人担任村长助理,则甲、乙至 少有 1 人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为() A.28B.49 C.56D.85 解析由题意知,丙没有入选,所以只需把丙去掉,把总的元素个数变为 9 个,因为甲、乙至少有 1 人入 选,所以条件可分为两类:一类是甲、乙两人只选一个的选法,共有C2 1C 7 2=42 种选法;另一类是甲、乙两 人都入选,共有C2 2C 7 1=7 种选法,由分类加法计数原理可得,不同的选法共有 42+7=49 种选法,故选 B. 答案 B 2.
2、(多选)上海某小学组织 6 个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的 6 个博物馆,每个年级任选一 个博物馆参观,则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有() A.3 600 种 B.A6 2A 5 4种 C.9 375 种 D.C6 254种 解析因为有且只有两个年级选择甲博物馆,所以参观甲博物馆的年级有C6 2种情况,其余年级均有 5 种 选择,所以共有 54种情况,根据乘法原理可得C6 254=9 375 种情况. 答案 CD 3.甲组有 5 名男同学、3 名女同学;乙组有 6 名男同学、2 名女同学.若从甲、乙两组中各选出 2 名同 学,则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有(
3、) 2 A.150 种B.180种 C.300 种D.345种 解析若这名女同学是甲组的,选法有C3 1C 5 1C 6 2种;若这名女同学是乙组的,则选法有C 5 2C 2 1C 6 1种.故符合条 件的选法共有C3 1C 5 1C 6 2 ? C5 2C 2 1C 6 1=345(种). 答案 D 4.两人进行乒乓球比赛,先赢 3 局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同 视为不同情形)共有() A.10 种B.15 种 C.20 种D.30 种 解析分三种情况:恰好打 3 局,有 2 种情形;恰好打 4 局(一人前 3 局中赢 2 局、输 1 局,第 4 局赢),
4、共有 2C3 2=6 种情形;恰好打 5 局(一人前 4 局中赢 2 局、输 2 局,第 5 局赢),共有 2C 4 2=12 种情形.所有可能出 现的情形共有 2+6+12=20(种). 答案 C 5.有甲、乙、丙三项任务,甲需 2 人承担,乙、丙各需 1 人承担.从 10 人中选出 4 人承担这三项任务, 不同的选法种数有() A.1 260 种 B.2 025 种 C.2 520 种 D.5 040 种 解析先从 10 人中选 2 人承担甲任务有C10 2 种方法,再从剩余 8 人中选 1 人承担乙项任务有C8 1种方法, 然后从剩余 7 人中选 1 人承担丙任务有C7 1种方法.按分步
5、乘法计数原理,共有C 10 2 C8 1C 7 1=2 520 种选法. 答案 C 6.从 6 位同学中选出 4 位参加一个座谈会,要求张、王两同学中至多有一个人参加,则不同选法的种 数为() 3 A.9B.14 C.12D.15 解析(直接法)分两类:第一类张、王两同学都不参加,有C4 4种选法;第二类张、王两同学中只有 1 人参 加,有C2 1C 4 3种选法.故共有C 4 4 ? C2 1C 4 3=9 种选法. 答案 A 7.直角坐标系 xOy 平面上,平行于 x轴和平行于 y 轴的直线各有 6 条,则由这 12 条直线组成的图形中, 矩形共有个. 解析从 6 条水平直线和 6 条竖直
6、直线中各取 2 条,每一种取法对应一个矩形,因此矩形共有 C6 2C 6 2=225(个). 答案 225 8.(2019 上海浦东复旦附中模拟)甲、乙等 5 名同学参加志愿者服务,分别到三个路口疏导交通,每个 路口有 1 名或 2 名志愿者,则甲、乙在同一路口的分配方案共有种.(用数字作答) 解析甲、乙两人在同一路口分配方案有C3 1C 3 2A 2 2=18 种. 答案 18 9.已知 10 件不同产品中有 4 件是次品,现对它们一一进行测试,直至找出所有 4 件次品为止. (1)若恰在第 5 次测试,才测试到第一件次品,第 10 次才测试到最后一件次品,则这样的不同测试方法 数是多少?
7、(2)若恰在第 5 次测试后,就找出了所有 4 件次品,则这样的不同测试方法数是多少? 解(1)先排前 4 次测试,只能取正品,有A6 4种不同测试方法,再从 4 件次品中选 2 件排在第 5 和第 10 的 位置上测试有C4 2A 2 2种测法,再排余下 4 件,有A 4 4种测法.所以共有不同的测试方法有A 6 4C 4 2A 2 2A 4 4=103 680(种). (2)第 5 次测试恰为最后一件次品,另 3 件次品在前 4 次中出现,从而前 4 次有一件正品出现.所以 共有不同测试方法C4 1(C 6 1C 3 3)A 4 4=576(种). 10.某单位安排 7 位员工在 10 月
8、 1 日至 7 日值班,每天安排 1 人,每人值班 1 天.若 7 位员工中甲、 乙排在相邻的两天,丙不排在 10 月 1 日,丁不排在 10 月 7 日,则不同的安排方案共有多少种? 4 解依题意,满足甲、乙两人安排在相邻两天的方法共有A2 2A 6 6=1 440(种),其中满足甲、乙两人安排在 相邻两天且丙在 10 月 1 日值班的方法共有C5 1A 2 2A 4 4=240(种);满足甲、乙两人安排在相邻两天且丁在 10 月 7 日值班的方法共有C5 1A 2 2A 4 4=240(种);满足甲、乙两人安排在相邻两天且丙在 10 月 1 日值班、 丁在 10 月 7 日值班的方法共有C
9、4 1A 2 2A 3 3=48(种).因此满足题意的方法共有 1 440-2240+48=1 008(种). 能力提升练 1.(2020 山东济南模拟)篮球比赛中每支球队的出场阵容由 5 名队员组成,2017 年的 NBA 篮球赛中,某 队采取了“八人轮换”的阵容,即每场比赛只有 8 名队员有机会出场,这 8 名队员中包含两名中锋,两名 控球后卫,若要求每一套出场阵容中有且仅有一名中锋,至少包含一名控球后卫,则该队的主教练出场 阵容的选择的种数为() A.16B.28 C.84D.96 解析有两种出场方案:中锋 1 人,后卫 1 人,有C2 1C 2 1C 4 3=16 种出场阵容,中锋 1
10、 人,后卫 2 人,有 C2 1C 2 2C 4 2=12 种出场阵容,共计 28 种,选故 B. 答案 B 2.(2020 辽宁高二期末)十三届全国人大二次会议于 2019 年 3 月 5 日至 15 日在北京召开,会议期间工 作人员将其中的 5 个代表团人员(含 A,B 两市代表团)安排至 a,b,c 三家宾馆入住,规定同一个代表团 人员住同一家宾馆,且每家宾馆至少有一个代表团入住,若 A,B 两市代表团必须安排在 a 宾馆入住,则 不同的安排种数为() A.6B.12 C.16D.18 解析如果仅有 A,B 入住 a 宾馆,则余下三个代表团必有 2 个入住同一个宾馆,此时安排种数有C3
11、2A 2 2=6, 如果有 A,B及其余一个代表团入住 a 宾馆,则余下两个代表团分别入住 b,c,此时安排种数有C3 1A 2 2=6, 综上,共有不同的安排种数为 12,故选 B. 答案 B 3.数学竞赛前,某学校由 3 名教师对 5 名参赛学生进行“特训”,要求每名教师的“特训”学生不超过 2 人, 则不同的“特训”方案的种数为() 5 A.60B.90 C.150D.120 解析 5 名参赛学生分为(2,2,1),故其分组的方法有 C5 2C 3 2 A2 2 =15 种,再分配给 3 名教师,共有 15A3 3=90 种. 答案 B 4.(多选)(2019北京高二期末)某校有 6 名
12、志愿者,在放假的第一天去北京世园会的中国馆服务,任务是 组织游客参加“祝福祖国征集留言”“欢乐世园共绘展板”“传递祝福发放彩绳”三项活动,其中 1 人负责 “征集留言”,2 人负责“共绘展板”,3 人负责“发放彩绳”,则不同的分配方案共有() A.2C6 1C 5 2种 B.60 种 C.120 种 D.C6 1C 5 2C 3 3种 解析从 6 人中选 1 人负责“征集留言”,从剩下的人中选 2 人负责“共绘展板”,再从剩下的人中选 3 人 负责“发放彩绳”,则不同的分配方案共有C6 1C 5 2C 3 3=60 种.故选 BD. 答案 BD 5.(2020 上海高三月考)从 3 名男同学和
13、 n 名女同学中任选三人参加一场辩论赛,已知三人中至少有一 个人是男生的选派方案是 46,那么 n=. 解析三人中没有男生的选派方案为C? 3,故有C?3 ? C?3 3 -46, 所以?(?-1)(?-2) 6 ? (?3)(?2)(?1) 6 -46, 整理得到 n2+n-30=0,故 n=5 或 n=-6(舍). 故 n=5. 答案 5 6 6.(2019 天津高三月考)现安排甲、乙、丙、丁、戊 5 名大学生去杭州、宁波、金华三个城市进行暑 期社会实践活动,每个城市至少安排一人,则不同的安排方式共有种,学生甲被单独安排去金华 的概率是. 解析根据题意,按五名同学分组的不同分 2 种情况讨
14、论: 五人分为 2,2,1 的三组,有 C5 2C 3 2C 1 1 A2 2 =15 种分组方法,对应三项志愿者活动,有 15A3 3=90 种安排方 案; 五人分为 3,1,1 的三组,有 C5 3C 2 1C 1 1 A2 2 =10 种分组方法,对应三项志愿者活动,有 10A3 3=60 种安排方 案, 则共有 90+60=150 种不同的安排方案. 学生甲被单独安排去金华时,共有C4 3C 1 1A 2 2 ? C4 2C 2 2 A2 2 A2 2=14 种不同的安排方案,则学生甲被单独安排 去金华的概率是 14 150 ? 7 75. 答案 150 7 75 7.从 5 双不同的
15、鞋子中任取 4 只, (1)取出的 4 只鞋子中至少能配成 1 双,有多少种不同的取法? (2)取出的 4 只鞋子,任何两只都不能配成 1 双,有多少种不同的取法? 解(1)分两类:取出的 4 只鞋子恰好配成 2 双,有C5 2种取法.取出的 4 只鞋子有且只有 2 只能配成 1 双,分两步完成:第一步,从 5 双鞋子中任取 1 双,有C5 1种取法.第二步,再分为三类,第一类,从余下的穿在 左脚的 4 只鞋子中任取 2 只,有C4 2种取法;第二类,从余下的穿在右脚的 4 只鞋子中任取 2 只,有C 4 2种取 法;第三类,从余下的左(或右)脚的 4 只中任取 1 只,再在余下的右(或左)脚
16、的和已取的 1 只不相配的 3 只鞋子中任取 1 只,有C4 1C 3 1种取法.故共有C 5 1(C 4 2 ? C4 2 ? C4 1C 3 1)种取法.由知,共有不同的取法C 5 2 ? C5 1(C 4 2 ? C4 2 ? C4 1C 3 1)=130(种). (2)分两步:第一步,从 5 双不同的鞋子中任取 4 双,有C5 4种;第二步,从取出的 4 双的每 1 双中任取 1 只,有(C2 1)4种,故共有不同的取法C 5 4(C 2 1)4=80(种). 7 素养培优练 (2019 江西景德镇一中高二期中)一次游戏有 10 个人参加,现将这 10 人分为 5 组,每组两人. (1
17、)若任意两人可分为一组,求这样的分组方式有多少种? (2)若这 10 人中有 5 名男生和 5 名女生,要求各组人员不能为同性,求这样的分组方式有多少种? (3)若这 10 人恰为 5 对夫妻,任意两人均可分为一组,问分组后恰有一对夫妻在同组的分组方式有多 少种? 解(1)将 10 人平均分为 5 组共有 C10 2 C8 2C 6 2C 4 2C 2 2 A5 5 =945 种. (2)将 5 名男生视为 5 个不同的小盒,5 名女生视为 5 个不同的小球,问题转化为将 5 个小球装入 5 个不同的盒子,每盒一个球,共有A5 5=120 种. (3)先任选一对夫妻有C5 1种,再将剩余 4 对夫妻分组,再将 4 个丈夫视为 A,B,C,D 四个小球,4 个妻 子分别视为 a,b,c,d 四个盒子,则 4 个小球装入 4 个不同的盒子,每盒一个球,且与自己的字母不同,有 BADC,CADB,DABC,BDAC,CDAB,DCAB,BCDA,DCBA,CDBA,共有 9 种方法,故不同的分组方法有 C5 19=45 种.
