1、1 4.2随机变量 4.2.1随机变量及其与事件的联系随机变量及其与事件的联系4.2.2离散型离散型 随机变量的分布列随机变量的分布列 课后篇巩固提升 基础达标练 1.(多选)某电话亭内的一部电话 1 小时内使用的次数记为 X; 某人射击 2 次,击中目标的环数之和记为 X; 测量一批电阻,阻值在 950 1 200 之间; 一个在数轴上随机运动的质点,它在数轴上的位置记为 X. 其中是离散型随机变量的是() A.B. C.D. 解析中变量 X 所有可能取值是可以一一列举出来的,是离散型随机变量,而中的结果不能一 一列出,故不是离散型随机变量.故选 AB. 答案 AB 2.(2019 天津高二
2、期中)同时抛掷 3 个硬币,正面向上的个数是随机变量,这个随机变量的所有可能取 值为() A.3B.4 C.1,2,3D.0,1,2,3 解析同时抛掷 3 个硬币,正面向上的个数可能取值为 0,1,2,3.故选 D. 2 答案 D 3.设随机变量等可能取值 1,2,3,n,如果 P(4)=0.3,那么() A.n=3B.n=4 C.n=10D.n=9 解析由4 知=1,2,3,所以 P(=1)+P(=2)+P(=3)=0.3=3 ?,解得 n=10.故选 C. 答案 C 4.(2020 山东潍坊检测)随机变量 X 的概率分布规律为 P(X=n)= ? ?(?+1)(n=1,2,3,4),其中
3、a 为常数,则 P 1 2X 5 2 的值为() A.2 3 B.3 4 C.4 5 D.5 6 解析根据题意,由于 P(X=n)= ? ?(?+1),那么可知,n=1,2,3,4 时,则可得概率和为 1,即 ? 2 + ? 6 + ? 12 + ? 20=1,解 得 a=5 4.P 1 2X1)=. 解析依题意,P(=1)=2P(=2),P(=3)=1 2P(=2),P(=3)=P(=4), 3 由分布列性质得 P(=1)+P(=2)+P(=3)+P(=4)=1, 则 4P(=2)=1,即 P(=2)=1 4,P(=3)=P(=4)= 1 8. 所以 P(1)=P(=2)+P(=3)+P(=
4、4)=1 2. 答案1 2 能力提升练 1.(2020 天津月考)袋中有 3 个白球、5 个黑球,从中任取 2 个,可以作为离散型随机变量的是() A.至少取到 1 个白球B.至多取到 1 个白球 C.取到白球的个数D.取到的球的个数 解析根据离散型随机变量的定义可得选项 C 是离散型随机变量,其可以一一列出,其中随机变量 X 的 取值为 0,1,2,故选 C. 答案 C 2.(多选)下列问题中的随机变量服从两点分布的是() A.抛掷一枚骰子,所得点数为随机变量 X B.某射手射击一次,击中目标的次数为随机变量 X C.从装有 5 个红球,3 个白球的袋中取 1 个球,令随机变量 X= 1,取
5、出白球, 0,取出红球 D.某医生做一次手术,手术成功的次数为随机变量 X 解析 A 中随机变量 X 的取值有 6 个,不服从两点分布,故选 BCD. 答案 BCD 3.设随机变量 X 的概率分布如下表所示,则 P(|X-3|=1)=() X12 34 4 P1 3m 1 4 1 6 A. 7 12 B.1 6 C.1 4 D. 5 12 解析 m=1-1 3 ? 1 4 ? 1 6 ? 1 4,P(|X-3|=1)=P(2)+P(4)= 1 4 + 1 6 ? 5 12.故选 D. 答案 D 4.(2019 青海高二月考)离散型随机变量 X 的分布列中的部分数据丢失,丢失数据以 x,y(x,
6、yN)代替, 分布列如下: X=i123456 P(X=i)0.200.100.x50.100.1y0.20 则 P 3 2X 11 3 等于() A.0.25B.0.35C.0.45D.0.55 解析根据分布列的性质知,随机变量的所有取值的概率和为 1,因此 0.1x+0.05+0.1+0.01y=0.4, 即 10 x+y=25,由 x,y是 09 间的自然数可解得 x=2,y=5,故 P 3 2X 11 3 =P(X=2)+P(X=3)=0.35. 故选 B. 答案 B 5.若 P(n)=1-a,P(m)=1-b,其中 mn)-P(m)=1-1-(1-a)-1-(1-b)=1-(a+b)
7、. 答案 1-(a+b) 5 6.(2020 浙江高三专题练习)设随机变量 X 的分布列为 P(X=i)=? 2?(i=1,2,3),则 P(X2)= . 解析因为随机变量 X 的分布列 P(X=i)= ? 2?(i=1,2,3),所以 P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)= ? 2 + ? 22 + ? 23 ? 7 8k=1, 解得 k=8 7, 因此 P(X2)=P(X=2)+P(X=3)=3 8k= 3 7. 答案3 7 7.袋中装有黑球和白球共 7 个,从中任取 2 个球都是白球的概率为1 7,现有甲、乙两人从袋中轮流摸取 1 球,甲先取,乙后取,然后甲再取取后不放回,直到两人中
8、有一人取到白球时终止,每个球在每一次 被取出的机会是等可能的,用表示取球终止所需要的取球次数. (1)求袋中所有的白球的个数; (2)求随机变量的分布列; (3)求甲取到白球的概率. 解(1)设袋中原有 n 个白球,由题意知1 7 ? C? 2 C7 2? ?(?-1) 2 7?6 2 ? ?(?-1) 7?6 ,即 n2-n-6=0. 解得 n=3 或 n=-2(舍去),即袋中原有 3 个白球. (2)由题意,的可能取值为 1,2,3,4,5. P(=1)=3 7,P(=2)= 4?3 7?6 ? 2 7,P(=3)= 4?3?3 7?6?5 ? 6 35,P(=4)= 4?3?2?3 7?
9、6?5?4 ? 3 35,P(=5)= 4?3?2?1?3 7?6?5?4?3 ? 1 35.所 以的分布列为 123 4 5 P3 7 2 7 6 35 3 35 1 35 6 (3)因为甲先取,所以甲只有可能在第一次、第三次和第五次取到白球,记“甲取到白球”为事件 A,则 P(A)=P(=1)+P(=3)+P(=5)=22 35. 素养培优练 1.(2020 北京月考)抛掷两枚骰子一次,为第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差,则的 所有可能的取值为() A.05,NB.-50,Z C.16,ND.-55,Z 解析第一枚的最小值为 1,第二枚的最大值为 6,差为-5.第一枚的最大值
10、为 6,第二枚的最小值为 1,差 为 5.故的取值范围是-55,故选 D. 答案 D 2.已知随机变量的分布列为 -2 - 1 01 23 P 1 12 1 4 1 3 1 12 1 6 1 12 分别求出随机变量1=1 2,2= 2的分布列. 解由1=1 2知,对于取不同的值-2,-1,0,1,2,3时,1的值分别为-1,- 1 2,0, 1 2,1, 3 2. 所以1的分布列为 1-1 - 1 2 0 1 2 1 3 2 P 1 12 1 4 1 3 1 12 1 6 1 12 7 由2=2知,对于的不同取值-2,2 与-1,1,2分别取相同的值 4 与 1,则 P(2=4)=P(=- 2)+P(=2)=1 4,P(2=1)=P(=-1)+P(=1)= 1 3. 所以2的分布列为 20149 P 1 3 1 3 1 4 1 12
