1、1 第二课时离散型随机变量的方差 课后篇巩固提升 基础达标练 1.某人从家乘车到单位,途中有 3 个路口.假设在各路口遇到红灯的事件是相互独立的,且概率都是 0.4, 则此人上班途中遇到红灯的次数的方差为() A.0.48B.1.2 C.0.72D.0.6 解析因为途中遇红灯的次数 X 服从二项分布,即 XB(3,0.4), 所以 D(X)=30.40.6=0.72. 答案 C 2.已知随机变量 X 的分布列为 X135 P0.40.10.5 则 X 的标准差 ?(?)等于() A.3.56B. 3.2 C.3.2D. 3.56 解析数学期望 E(X)=10.4+30.1+50.5=3.2,
2、由方差的定义,D(X)=(1-3.2)20.4+(3-3.2)20.1+(5-3.2)20.5=1.936+0.004+1.62=3.56. 2 所以标准差 ?(?) ?3.56. 答案 D 3.若 XB(n,p),且 E(X)=6,D(X)=3,则 P(X=1)的值为() A.32-2B.2-4 C.32-10D.2-8 解析因为 XB(n,p), 所以 E(X)=np,D(X)=np(1-p). 所以 ?t ? 6, ?t(1-t) ? 3,解得 ? ? 12, t ? 1 2 . 所以 P(X=1)=C12 1 ? 1 2 1 1- 1 2 11 =32-10. 答案 C 4.从装有除颜
3、色外完全相同的 3 个白球和 m 个黑球的布袋中随机摸取一球,有放回地摸取 5 次.设摸 得白球的个数为 X,已知 E(X)=3,则 D(X)等于() A.8 5 B.6 5 C.4 5 D.2 5 解析由题意知 XB 5, 3 ?+3 , 则 E(X)=5 3 ?+3=3,解得 m=2. 所以 D(X)=53 5 ? 1- 3 5 ? 6 5. 答案 B 5.(2019 浙江高考)设 0a1.随机变量 X 的分布列是 3 X0a1 P1 3 1 3 1 3 则当 a 在(0,1)内增大时,() A.D(X)增大B.D(X)减小 C.D(X)先增大后减小D.D(X)先减小后增大 解析由分布列得
4、 E(X)=1+? 3 ,则 D(X)= 1+? 3 -0 21 3+ 1+? 3 -a 21 3+ 1+? 3 -1 21 3 ? 2 9 a-1 2 2+1 6,所以当 a 在(0,1)内增大时,D(X)先减小后增大. 答案 D 6.已知随机变量 XB(n,p),若 E(X)=4,Y=2X+3,D(Y)=3.2,则 P(X=2)=.(结果用数字表示) 解析D(Y)=4D(X)=3.2,D(X)=0.8. 又 XB(n,p), ?t ? 4, ?t(1-t) ? 0.8, 解得 p=0.8,n=5. 故 P(X=2)=C5 2p2(1-p)3=32 625. 答案 32 625 7.若随机事
5、件 A 在 1 次试验中发生的概率为 p(0p1),用随机变量 X 表示 A 在 1 次试验中发生的次 数,则方差 D(X)的最大值为;2?(?)-1 ?(?) 的最大值为. 解析随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,由题意,得 X 的分布列为 X0 1 4 P1- p p ,从而 E(X)=0(1-p)+1p=p,D(X)=(0-p)2(1-p)+(1-p)2p=p-p2. D(X)=p-p2=- t2-t + 1 4 + 1 4=- t- 1 2 2 + 1 4.因为 0p1,所以当 p= 1 2时,D(X)取得最大值,最大值为 1 4. 2?(?)-1 ?(?) ? 2t-2t2-1
6、t =2- 2t + 1 t 2-2 2,当且仅当 2p=1 t,即 p= 2 2 时,等号成立. 故2?(?)-1 ?(?) 的最大值为 2-2 2. 答案1 4 2-2 2 8.某花店每天以每枝 5 元的价格购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的价格出售.如果当天卖不完,剩 下的玫瑰花作垃圾处理. (1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花,求当天的利润 y(单位:元)关于当天需求量 n(单位:枝,nN)的函数解 析式; (2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表: 日需求 量 n 14151617181920 频数10201616151310 以 100 天记录的各
7、需求量的频率作为各需求量发生的概率. 若花店一天购进 16 枝玫瑰花,X 表示当天的利润(单位:元),求 X 的分布列、数学期望及方差; 若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花,你认为应购进 16 枝还是 17 枝?请说明理由. 解(1)当日需求量 n16 时,利润 y=80. 当日需求量 n16 时,利润 y=10n-80. 所以 y关于 n 的函数解析式为 y= 10?-80,? 16, 80,? 16 (nN). 5 (2)X 可能的取值为 60,70,80,并且 P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7. X 的分布列为 X60 70 80 P0.
8、10.20.7 X 的数学期望为 E(X)=600.1+700.2+800.7=76. X 的方差为 D(X)=(60-76)20.1+(70-76)20.2+(80-76)20.7=44. 答案一: 花店一天应购进 16 枝玫瑰花.理由如下: 若花店一天购进 17 枝玫瑰花,Y 表示当天的利润(单位:元),那么 Y 的分布列为 Y55 65 7585 P0.10.20.160.54 Y 的数学期望为 E(Y)=550.1+650.2+750.16+850.54=76.4. Y 的方差为 D(Y)=(55-76.4)20.1+(65-76.4)20.2+(75-76.4)20.16+(85-7
9、6.4)20.54=112.04. 由以上的计算结果可以看出,D(X)D(Y),即购进 16 枝玫瑰花时利润波动相对较小. 另外,虽然 E(X)E(Y),但两者相差不大. 故花店一天应购进 16 枝玫瑰花. 答案二: 花店一天应购进 17 枝玫瑰花.理由如下: 若花店一天购进 17 枝玫瑰花,Y 表示当天的利润(单位:元),那么 Y 的分布列为 Y55 65 7585 6 P0.10.20.160.54 Y 的数学期望为 E(Y)=550.1+650.2+750.16+850.54=76.4. 由以上的计算结果可以看出,E(X)E(Y),即购进 17 枝玫瑰花时的平均利润大于购进 16 枝时的
10、平 均利润.故花店一天应购进 17 枝玫瑰花. 能力提升练 1.(2020 山东高二月考)若离散型随机变量 X 的分布列如下,则 X 的方差 D(X)=() X0 1 Pm0.6 A.0.6B.0.4 C.0.24D.1 解析由题意可得 m+0.6=1,所以 m=0.4, 所以 E(X)=00.4+10.6=0.6,所以 D(X)=(0-0.6)20.4+(1-0.6)20.6=0.24.故选 C. 答案 C 2.(多选)(2019山东高二期末)设离散型随机变量 X 的分布列为 X01234 Pq0.40.10.20.2 若离散型随机变量 Y 满足 Y=2X+1,则下列结果正确的是() A.q
11、=0.1 B.E(X)=2,D(X)=1.4 7 C.E(X)=2,D(X)=1.8 D.E(Y)=5,D(Y)=7.2 解析因为 q+0.4+0.1+0.2+0.2=1,所以 q=0.1,故 A 正确;又 E(X)=00.1+10.4+20.1+30.2+40.2=2,D(X)=(0-2)20.1+(1-2)20.4+(2-2)20.1+(3-2)20.2+(4- 2)20.2=1.8,故 C 正确;因为 Y=2X+1,所以 E(Y)=2E(X)+1=5,D(Y)=4D(X)=7.2,故 D 正确.故选 ACD. 答案 ACD 3.(2019 福建高二期末)现有一条零件生产线,每个零件达到优
12、等品的概率都为 p.某检验员从该生产线 上随机抽检 50 个零件,设其中优等品零件的个数为 X.若 D(X)=8,P(X=20)P(X=30),则 p=() A.0.16B.0.2 C.0.8D.0.84 解析P(X=20)P(X=30), C50 20p20(1-p)30C 50 30p30(1-p)20, 化简得 1-p1 2, 又 D(X)=8=50p(1-p), 解得 p=0.2 或 p=0.8, p=0.8,故选 C. 答案 C 4.(2019 山东济南高三月考)若 X 是离散型随机变量,P(X=x1)=2 3,P(X=x2)= 1 3,又已知 E(X)= 4 3,D(X)= 2 9
13、,则 |x1-x2|的值为() A.5 3 B.2 3 C.3D.1 8 解析2 3 + 1 3=1, 随机变量 X 的值只能为 x1,x2, 2 3?1 + 1 3?2 ? 4 3 , 2 3(?1- 4 3) 2 + 1 3(?2- 4 3) 2 ? 2 9, 解得 ?1? 5 3, ?2? 2 3 或 ?1? 1, ?2? 2, |x1-x2|=1. 故选 D. 答案 D 5.随机变量 X 的取值为 0,1,2,P(X=0)=0.2,D(X)=0.4,则 E(X)=. 解析设 P(X=2)=x,其中 0 x0.8,可得出 P(X=1)=0.8-x,所以 E(X)=00.2+1(0.8-
14、x)+2x=x+0.8,D(X)=(x+0.8)20.2+(x-0.2)2(0.8-x)+(x-1.2)2x=0.4,解得 x=0.2 或 x=1.2(舍去),因此 E(X)=0.2+0.8=1. 答案 1 6.(2020 浙江高三专题练习)已知袋中装有大小相同质地均匀的 5 个球,其中 3 个黑球和 2 个白球,从袋 中无放回地随机取出 3 个球,记取出黑球的个数为 X,则 E(X)=,D(X)=. 解析由题意得 X 的所有可能取值为 1,2,3, P(X=1)= C3 1 C5 3? 3 10, P(X=2)= C3 2C 2 1 C5 3 ? 6 10 ? 3 5, P(X=3)= C3
15、 3 C5 3? 1 10, 所以 X的分布列为 9 X1 23 P 3 10 3 5 1 10 所以 E(X)= 3 101+ 3 52+ 1 103= 9 5, D(X)= 3 10 1- 9 5 2+3 5 2- 9 5 2+1 10 3- 9 5 2=9 25. 答案9 5 9 25 7.(2019 西藏拉萨那曲第二高级中学高二期末)已知随机变量 X 的分布列为 X01x P1 2 1 3p 若 E(X)=2 3. (1)求 D(X)的值; (2)若 Y=3X-2,求 D(Y)的值. 解(1)由题意可得1 2 + 1 3+p=1,得 p= 1 6,又 E(X)=0 1 2+1 1 3+
16、x 1 6 ? 2 3,解得 x=2. D(X)= 0-2 3 21 2+ 1- 2 3 21 3+ 2- 2 3 21 6 ? 5 9. (2)Y=3X-2,D(Y)=D(3X-2)=9D(X)=95 9=5. 8.(2019 天津滨海新区塘沽第一中学高考模拟)某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登山健 身的活动,有 N 个人参加.现将所有参加者按年龄情况分为 20,25),25,30),30,35),35,40),40,45),45,50),50,55)七组.其频率分布直方图如图所示,已知25,30)这 组的参加者是 6 人. 10 (1)根据此频率分布直方图求 N; (2)组织者从4
17、5,55)这组的参加者(其中共有 4 名女教师,其余全为男教师)中随机选取 3 名担任后勤保 障工作,其中女教师的人数为 X,求 X 的分布列、均值及方差; (3)已知35,40)和40,45)这两组各有 2 名数学教师.现从这两个组中各选取 2 人担任接待工作,设两组 的选择互不影响,求两组选出的人中恰有 1 名数学老师的概率. 解(1)25,30)这组频率为 0.035=0.15,所以 N= 6 0.15=40. (2)45,55)这组的参加者人数为(0.02+0.01)540=6, 所以 X可能的取值为 1,2,3, P(X=1)= C4 1C 2 2 C6 3 ? 1 5, P(X=2
18、)= C4 2C 2 1 C6 3 ? 3 5, P(X=3)= C4 3 C6 3? 1 5. X123 P1 5 3 5 1 5 E(X)=11 5+2 3 5+3 1 5=2, D(X)=(1-2)21 5+(2-2) 23 5+(3-2) 21 5 ? 2 5. 11 (3)35,40)这组的参加者人数为 0.04540=8. 40,45)这组的参加者人数为 0.03540=6. 恰有 1 名数学老师的概率为 C2 1C 6 1C 4 2+C 6 2C 2 1C 4 1 C8 2C 6 2 ? 16 35. 素养培优练 1.(2019 河南高三月考)已知随机变量的分布列如下表所示,则下
19、列说法正确的是() xy Pyx A.存在 x,y(0,1),E()1 2 B.对任意 x,y(0,1),E()1 4 C.对任意 x,y(0,1),D()1 4 解析依题意可得 E()=2xy, D()=(x-2xy)2y+(y-2xy)2x=(1-2y)2x2y+(1-2x)2y2x=(1-2y)2x+(1-2x)2yyx. 因为 x+y=1,所以 2xy(?+?) 2 2 ? 1 2, 当且仅当 x=y 时取等号. 即 E()1 2,故 A,B 错误; D()=(2x-1)2x+(1-2x)2yyx=(1-2x)2(x+y)yx=(1-2x)2yx. 0 x1,-12x-11,0(2x-1)21, 12 D()yx,即 D()1 2E(),故 C成立; D()=(1-2x)2yxD(Y). 所以早餐店每天应该批发一小箱.
