1、1 模块综合测评模块综合测评 (时间:120 分钟满分:150 分) 一、单项选择题(本题共 8小题,每小题 5分,共 40分.) 1.(2019 甘肃兰州第二十七中学高一期末)如图所示,4 个散点图中,不适合用线性回归模型拟合其中两 个变量的是() 解析根据题意,适合用线性回归拟合其中两个变量的散点图必须散点分布比较集中,且大体接近某一 条直线,分析选项可得 A 选项的散点图杂乱无章,最不符合条件.故选 A. 答案 A 2.(2019 云南泸西第一中学高二期中)若A? 2=3C ?-1 2 ,则 n 的值为() A.4B.5C.6D.7 解析因为A? 2=3C ?-1 2 ,所以 n(n-1
2、)=3(?-1)(?-2) 2 ,解得 n=6 或 n=1(舍去).故选 C. 答案 C 3.甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军,若比赛为“三局两胜”制,甲在每局比赛中获胜的概率均为3 4,且 各局比赛结果相互独立.则在甲获得冠军的情况下,比赛进行了三局的概率为() A.1 3 B.2 5 C.2 3 D.4 5 2 解析记事件 A:甲获得冠军,事件 B:比赛进行三局, 事件 AB:甲获得冠军,且比赛进行了三局,则第三局甲胜,前两局甲胜了一局, 由独立事件的概率乘法公式得 P(AB)=C2 1 ? 3 4 ? 1 4 ? 3 4 ? 9 32, 对于事件 A,甲获得冠军,包含两种情况:前两局甲胜
3、和事件 AB, 所以 P(A)= 3 4 2+9 32 ? 27 32, 所以 P(B|A)=?(?) ?(?) ? 9 32 ? 32 27 ? 1 3,故选 A. 答案 A 4.(2020 浙江高三专题练习)已知离散型随机变量 X 的分布列如下,则常数 c 为() X01 P9c 2- c 3- 8c A.1 3 B.2 3 C.1 3或 2 3 D.1 4 解析由随机变量的分布列知,9c2-c0,3-8c0,9c2-c+3-8c=1, 所以 c=1 3,故选 A. 答案 A 5.(2019 天津高三期中)两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为5 6和 3 4,两个零件是 否
4、加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为() A.1 2 B.1 3 C. 5 12 D.1 6 3 解析记两个零件中恰好有一个一等品的事件为 A,即仅第一个实习生加工一等品为事件 A1,仅第二个 实习生加工一等品为事件 A2两种情况,则 P(A)=P(A1)+P(A2)=5 6 ? 1 4 ? 1 6 ? 3 4 ? 1 3.故选 B. 答案 B 6.(2019 重庆高二期末)若随机变量 XB(n,p),其均值是 80,标准差是 4,则 n 和 p 的值分别是() A.100,0.2B.200,0.4 C.100,0.8D.200,0.6 解析随机变量 XB(n,p),其均
5、值是 80,标准差是 4,由 np=80,np(1-p)=16,p=0.8,n=100.故选 C. 答案 C 7.已知随机变量 X 服从正态分布 N(100,4),若 P(mX104)=0.135 5,则 m 等于() 附:P(-X+)68.3%,P(-2X+2)95.4% A.100B.101C.102D.103 解析由题意,知 P(-X+)=0.683,P(-2X+2)=0.954, 则?(?-2?2?)-?(?-?) 2 ? 0.954-0.683 2 =0.135 5, 所以要使得 P(mX104)=0.135 5,则 m=102,故选 C. 答案 C 8.(2020 江西高安中学高二
6、期末)某校在“数学联赛”考试后选取了 6 名教师参加阅卷,试卷共 4 道解答 题,要求将这 6 名教师分成 4 组,每组改一道解答题,其中 2 组各有 2 名教师,另外 2 组各有 1 名教师,则 不同的分配方案的种数是() A.216B.420C.720D.1 080 解析 6 人分成 4 组共有 C6 2C 4 2 2 种不同的分组方案,所以共有 C6 2C 4 2 2 A4 4 ? 15?6 2 24=1 080 种不同的分配方案. 答案 D 二、多项选择题(本题共 4小题,每小题 5分,共 20分) 4 9.(2019 山东高三月考)? ? 1 24x 8展开式中系数最大的项可以为(
7、) A.第 2 项B.第 3 项 C.第 4 项D.第 5 项 解析x ? 1 24? 8的展开式的通项公式为 Tk+1=C 8 ?( ?)8-k 1 24? k= 1 2 kC 8 ?4- 3 4?, 其展开式的各项系数依次为 1,4,7,7,35 8 , 7 4, 7 16 , 1 16, 1 256, 所以,展开式中系数最大的项是第 3 项和第 4 项. 故选 BC. 答案 BC 10.若随机变量的分布列如下表所示,其中 m(0,1),则下列结果中正确的是() 0 1 Pmn A.E()=mB.D()=n2 C.E()=1-mD.D()=m-m2 解析由离散型随机变量的概率关系可知:n=
8、1-m. 则 E()=0m+1n=n=1-m; D()=0-(1-m)2m+1-(1-m)2(1-m)=m-m2=n-n2. 答案 CD 11.(2019 河北高二期中)下面四个选项中,正确的是() A.设 a,b,c 分别表示数据 15,17,14,10,15,17,17,16,14,12 的平均数、中位数、众数,则 abc 5 B.在线性回归模型中,相关系数 r的绝对值越接近于 1,表示两个变量的相关性越强 C.绘制频率分布直方图时,各小长方形的面积等于相应各组的组距 D.线性回归直线不一定过样本中心点(?,?) 解析对于 A,根据数据可求得平均数为 a=15?17?14?10?15?17
9、?17?16?14?12 10 ? 147 10 =14.7,从小到大排 列可得 10,12,14,14,15,15,16,17,17,17,所以中位数为 b=15,由数据可知众数为 c=17,即 abc,所以 A 正确; 对于 B,根据相关系数的意义,可知当相关系数 r的绝对值越接近于 1,表示两个变量的相关性越 强,所以 B 正确; 对于 C,绘制频率分布直方图时,各小长方形的面积等于相应各组的频率,所以 C 错误; 对于 D,根据线性回归方程中? 的求法,可知必过样本中心点(x,y),所以 D错误. 故选 AB. 答案 AB 12.一袋中有大小相同的 4 个红球和 2 个白球,给出下列结
10、论: 从中任取 3 球,恰有一个白球的概率是3 5; 从中有放回的取球 6 次,每次任取一球,则取到红球次数的方差为4 3; 现从中不放回的取球 2 次,每次任取 1 球,则在第一次取到红球的条件下,第二次再次取到红球的概 率为2 5; 从中有放回的取球 3 次,每次任取一球,则至少有一次取到红球的概率为26 27. 其中正确的选项是() A.B.C.D. 6 解析从中任取 3 个球,恰有一个白球的概率是 C2 1C 4 2 C6 3 ? 3 5,故 A正确; 从中有放回地取球 6 次,每次任取一球,取到红球次数 XB 6,2 3 ,其方差为 62 3 1- 2 3 =4 3,故 B 正确;
11、从中不放回地取球 2 次,每次任取一球,则在第一次取到红球后,此时袋中还有 3 个红球和 2 个 白球,则第二次再次取到红球的概率为3 5,故 C 错误; 从中有放回地取球 3 次,每次任取一球,每次取到红球的概率为 P=2 3,所以至少有一次取到红球 的概率为 1- 1-2 3 3=26 27,故 D正确.故选 ABD. 答案 ABD 三、填空题(本题共 4小题,每小题 5 分,共 20分) 13.(2019 上海大同中学高三月考)某中学的汪老师在教室进行第二轮复习时布置了两道填空题,他预 测学生做对第一题的概率为 0.8,两题全对的概率为 0.6,则汪老师预测第二题正确的概率 为. 解析设
12、“做对第一道题”为事件 A,“做对第二道题”为事件 B, 则 P(AB)=P(A)P(B)=0.8P(B)=0.6, 所以 P(B)=0.75. 答案 0.75 14.(2019 河南高三月考)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有 1,2,3,4,5,6 个点的正方体玩 具)先后抛掷 2 次,则出现向上的点数之和为奇数的概率是. 解析骰子先后投掷 2 次,所有可能的结果种数共有C6 1C 6 1=36 种. 奇数与偶数之和为奇数, 7 向上的点数之和为奇数的结果种数有 2C3 1C 3 1=18 种,向上的点数之和为奇数的概率 P=18 36 ? 1 2. 答案1 2 15.(2020
13、浙江高三专题练习)一个口袋里装有大小相同的 5 个小球,其中红色 2 个,其余 3 个颜色各不 相同.现从中任意取出 3 个小球,其中恰有 2 个小球颜色相同的概率是;若变量 X 为取出的 3 个小球中红球的个数,则 X 的数学期望 E(X)=. 解析一个口袋里装有大小相同的 5 个小球,其中红色 2 个,其余 3 个颜色各不相同. 现从中任意取出 3 个小球, 基本事件总数 n=C5 3=10, 其中恰有 2 个小球颜色相同包含的基本事件个数 m=C2 2C 3 1=3,所以其中恰有 2 个小球颜色相同的 概率是 P=? ? ? 3 10. 变量 X为取出的 3 个小球中红球的个数,则 X
14、的可能取值为 0,1,2, P(X=0)= C3 3 C5 3? 1 10, P(X=1)= C2 1C 3 2 C5 3 ? 6 10 ? 3 5, P(X=2)= C2 2C 3 1 C5 3 ? 3 10, 数学期望 E(X)=0 1 10+1 6 10+2 3 10 ? 6 5. 答案 3 10 6 5 16.已知随机变量B(36,p),且 E()=12,则 D(4+3)=. 解析随机变量B(36,p),且 E()=12, 8 所以 n=36,且 np=36p=12,解得 p=1 3, 所以 D()=np(1-p)=361 3 ? 2 3=8, 所以 D(4+3)=42D()=168=
15、128. 答案 128 四、解答题(本题共 6小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10 分)(2019 上海金山中学高二月考)(1)若 ? ? ? ? 2 9的二项展开式中 x3的系数为9 4,求实数 a 的值; (2)若(3x-1)7=a7x7+a6x6+a1x+a0,求 a1+a3+a5+a7. 解(1) ? ? ? ? 2 9的二项展开式通项为 Tk+1=C 9 ? ? ? 9-k - ? 2 k= -1 2 ka9-kC 9 ?3?-18 2, 当3?-18 2 =3,即 k=8 时,T9= - 1 2 8aC 9 8x3=9? 16x 3. 又
16、 x3的系数为9 4, 9? 16 ? 9 4,解得 a=4. (2)令 x=1,得 a7+a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0=27, 令 x=-1,得-a7+a6-a5+a4-a3+a2-a1+a0=-47, -,得 2a7+2a5+2a3+2a1=27+47=16 512, a1+a3+a5+a7=8 256. 18.(12 分)(2020 辽宁高三期末)足球是世界普及率最高的运动,我国大力发展校园足球.为了解本地区 足球特色学校的发展状况,社会调查小组得到如下统计数据: 年份 x20142015201620172018 足球特色学校 y/ 百个 0.30 0.60 1.00 1.4
17、0 1.70 9 (1)根据上表数据,计算 y 与 x 的相关系数 r,并说明 y 与 x 的线性相关性强弱; (已知:0.75|r|1,则认为 y 与 x 线性相关性很强;0.3|r|0.7, 故 y 与 x 线性相关性很强. (2)? ? ?1 5 (?-?)(?-?) ?1 5 (?-?)2 = (-2)?(-0.7)? (-1)?(-0.4)?1 ?0.4? 2 ?0.7 4? 1?0? 1?4 =0.36, ? ? ? ? ? ?=1-2 0160.36=-724.76, y 关于 x 的线性回归方程是? =0.36x-724.76. 当 x=2 020 时,? =0.36x-724
18、.76=2.44, 即该地区 2020 年足球特色学校有 244 个. 10 19.(12 分)(2019 天津高考)设甲、乙两位同学上学期间,每天 7:30之前到校的概率均为2 3.假定甲、乙 两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立. (1)用 X 表示甲同学上学期间的三天中 7:30 之前到校的天数,求随机变量 X 的分布列和数学期望; (2)设 M 为事件“上学期间的三天中,甲同学在 7:30 之前到校的天数比乙同学在 7:30 之前到校的天数 恰好多 2”,求事件 M 发生的概率. 解(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天 7:30 之前到校的概率均
19、为2 3,故 XB 3,2 3 ,从而 P(X=k)=C3 ? 2 3 k 1 3 3-k,k=0,1,2,3. 所以,随机变量 X 的分布列为 X0 123 P 1 27 2 9 4 9 8 27 随机变量 X的数学期望 E(X)=32 3=2. (2)设乙同学上学期间的三天中 7:30 之前到校的天数为 Y,则 YB 3,2 3 ,且 M=X=3,Y=1 X=2,Y=0.由题意知事件X=3,Y=1与X=2,Y=0互斥,且事件X=3与Y=1,事件X=2与Y=0均 相互独立,从而由(1)知 P(M)=P(X=3,Y=1 X=2,Y=0)=P(X=3,Y=1)+P(X=2,Y=0)=P(X=3)
20、P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)= 8 27 ? 2 9 ? 4 9 ? 1 27 ? 20 243. 20.(12 分)(2020 山东高三期末)读书可以使人保持思想活力,让人得到智慧启发,让人滋养浩然正气.书 籍是文化的重要载体,读书是承继文化的重要方式.某地区为了解学生课余时间的读书情况,随机抽取 了 n 名学生进行调查,根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率分布直方图,将 日均课余读书时间不低于 40 分钟的学生称为“读书之星”,日均课余读书时间低于 40 分钟的学生称 为“非读书之星”.已知抽取的样本中日均课余读书时间低于 10 分钟的有 10 人. 11 (1
21、)求 n,p 的值; (2)根据已知条件完成下面的 22 列联表,并判断是否有 95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关? 非读书之 星 读书之 星 总 计 男 女1055 总 计 (3)将上述调查所得到的频率视为概率,现从该地区大量学生中,随机抽取 3 名学生,每次抽取 1 名,已 知每个人是否被抽到互不影响,记被抽取的“读书之星”人数为随机变量 X,求 X 的分布列和期望. 附:2= ?(?)?-2 (?)(?)?()?(),其中 n=a+b+c+d. P(2k)0.10 0.05 0.0250.0100.0050.001 k2.7063.8415.0246.6357.87910.828
22、 解(1)(0.005+p+0.018+0.020+0.022+0.025)10=1,解得 p=0.01,所以 n=10 0.1=100. (2)因为 n=100,所以“读书之星”有 1000.25=25.从而 22 列联表如下表所示 12 非读书之 星 读书之 星 总 计 男301545 女451055 总 计 7525100 将 22 列联表中的数据代入公式计算得 2=100?(30?10-15?45) 2 45?55?75?25 ? 100 33 3.030, 因为 3.0308 400, 在不开箱检验的情况下,可以购买. (2)X 的可能取值为 0,1,2, P(X=0)=C2 00.
23、200.82=0.64, P(X=1)=C2 10.210.81=0.32, P(X=2)=C2 20.220.80=0.04, X 的分布列为 X012 P0.640.320.04 15 E(X)=00.64+10.32+20.04=0.4. 设事件 A:发现在抽取检验的 2 件产品中,其中恰有一件是废品, 则 P(A)=C2 10.20.80.5+C 2 10.10.90.5=0.25,一箱产品中,设正品的价格的期望值为,则=8 000,9 000, 事件 B1:抽取的废品率为 20%的一箱, 则 P(=8 000)=P(B1|A)=?(?1) ?(?) ? C2 1?0.2?0.8?0.5 0.25 =0.64, 事件 B2:抽取的废品率为 10%的一箱, 则 P(=9 000)=P(B2|A)=?(?2) ?(?) ? C2 1?0.1?0.9?0.5 0.25 =0.36,E()=8 0000.64+9 0000.36=8 3608 400,已发现在抽取检验的 2 件产品中,其中恰有一件是废品,则不可以购买.
