1、1 3.1.3组合与组合数组合与组合数 第一课时组合及组合数公式 课后篇巩固提升 基础达标练 1.计算:C8 2 ? C8 3 ? C9 2=( ) A.120B.240 C.60D.480 解析C8 2 ? C8 3 ? C9 2 ? 78 21 ? 678 321 ? 89 21=120. 答案 A 2.(多选)若C9 ?1 ? C9 2?-1,则 x 的值可能为( ) A.2B.3 C.4D.5 解析由组合数公式的性质可得,x+1=2x-1 或 x+1+2x-1=9,解得 x=2 或 x=3.经检验,符合题意.故选 AB. 答案 AB 3.将 2 名教师、4 名学生分成 2 个小组,分别
2、安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由 1 名教 师和 2 名学生组成,不同的安排方案共有() A.12 种B.10 种 C.9 种D.8 种 2 解析先安排 1 名教师和 2 名学生到甲地,再将剩下的 1 名教师和 2 名学生安排到乙地,共有C2 1C 4 2=12 种安排方案. 答案 A 4.异面直线 a,b 上分别有 4 个点和 5 个点,由这 9 个点可以确定的平面个数是() A.20B.9 C.C9 3 D.C4 2C 5 1 ? C5 2C 4 1 解析分两类:第一类,在直线 a 上任取一点,与直线 b 可确定C4 1个平面;第二类,在直线 b 上任取一点,与 直线 a 可确
3、定C5 1个平面.故可确定C 4 1 ? C5 1=9 个不同的平面. 答案 B 5.已知圆上有 9 个点,每两点连一线段,若任意两条线的交点不同,则所有线段在圆内的交点有() A.36 个B.72 个 C.63 个D.126个 解析此题可化归为圆上 9 个点可组成多少个四边形,所有四边形的对角线的交点个数即所求,所以交 点有C9 4=126(个). 答案 D 6.从 1,3,5,7,9 中任取 2 个数字,从 0,2,4,6 中任取 2 个数字,一共可以组成个没有重复数字的四 位数.(用数字作答) 解析分两类: 第一类:从 0,2,4,6 中取到 0, 则没有重复数字的四位数有C3 1C 5
4、 2A 3 1A 3 3=540(个); 第二类:从 0,2,4,6 中不取 0, 则没有重复数字的四位数有C3 2C 5 2A 4 4=720(个). 所以没有重复数字的四位数共有 540+720=1 260(个). 3 答案 1 260 7.某餐厅供应盒饭,每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选 2 荤 2 素共 4 种不同的菜品.现在餐厅准 备了 5 种不同的荤菜,若要保证每位顾客有 200 种以上的不同选择,则餐厅至少还需准备不同的素菜 种.(结果用数值表示) 解析设餐厅至少还需准备 x 种不同的素菜, 由题意,得C5 2C?2200, 从而有C? 220,即 x(x-1)40. 所以 x
5、的最小值为 7. 答案 7 8.求证:m!+(?1)! 1! ? (?2)! 2! +(?)! ?! =m!C?1 ? . 证明左边=m!(1+C?1 1 ? C?2 2 +C? ? ) =m!(C?1 0 ? C?1 1 ? C?2 2 +C? ? ) =m!(C?2 1 ? C?2 2 +C? ? ) =m!(C?3 2 ? C?3 3 +C? ? ) =m!C?1 ? =右边. 能力提升练 1.(2019 山东高二期末)计算 2C7 5+3A 5 2的值是( ) A.72B.102C.5 070D.5 100 解析依题意,原式=2C7 2+3A 5 2=276 21+354=42+60=
6、102,故选 B. 4 答案 B 2.(2019 安徽六安一中高二期末)六安一中高三教学楼共五层,甲、乙、丙、丁四人走进该教学楼 25 层的某一层楼上课,则满足有且仅有一人上 5 楼上课,且甲不在 2 楼上课的所有可能的情况的种数为 () A.27B.81C.54D.108 解析甲在五楼上课有 33种情况, 甲不在五楼且不在二楼上课有C3 1C 2 132=54 种情况, 由分类加法计数原理知共有 54+27=81 种不同的情况, 故选 B. 答案 B 3.2020 年元旦假期,高三的 8 名同学准备拼车去旅游,其中(1)班、(2)班、(3)班、(4)班每班各两名,分 乘甲乙两辆汽车,每车限坐
7、 4 名同学(乘同一辆车的 4 名同学不考虑位置),其中(1)班两位同学是孪生 姐妹,需乘同一辆车,则乘坐甲车的 4 名同学中恰有 2 名同学是来自同一个班的乘坐方式共有() A.18 种B.24 种C.48 种D.36 种 解析由题意,第一类,(1)班的 2 名同学在甲车上,甲车上剩下两个要来自不同的班级,从三个班级中选 两个为C3 2=3 种,然后分别从选择的班级中再选择一个学生为C 2 1C 2 1=4 种,故有 34=12 种; 第二类,(1)班的 2 名同学不在甲车上,则从剩下的 3 个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上, 为C3 1=3 种,然后再从剩下的两个班级中分别选择一人为
8、C 2 1C 2 1=4 种,这时共有 34=12 种,根据分类加 法计数原理得,共有 12+12=24 种不同的乘车方式. 故选 B. 答案 B 4.(多选)下列四个组合数公式:对 n,kN,约定 0!=C0 0=1,下列选项中,正确的是( ) A.C? ? ? A? ? ?!(0kn) B.C? ? ? C? ?-?(0kn) 5 C.? ?C? ? ? C?-1 ?-1(1kn) D.C? ? ? C?-1 ? ? C?-1 ?-1(1kn) 解析 A.C? ? ? A? ? A? ? ? A? ? ?!(0kn),等式成立; B.C? ? ? A? ? ?! ? ?! (?-?)!?!
9、(0kn), C? ?-? ? A? ?-? (?-?)! ? ?! ?-(?-?)!(?-?)! ? ?! ?!(?-?)!(0kn), 所以C? ? ? C? ?-?(0kn)成立; C.? ?C? ? ? ? ? A? ? ?! ? ? ? ?! (?-?)!?! ? (?-1)! (?-?)!(?-1)!(1kn), C?-1 ?-1 ? A?-1 ?-1 (?-1)! ? (?-1)! (?-?)!(?-1)!(1kn),所以 ? ?C? ? ? C?-1 ?-1(1kn)成立; D.C?-1 ? ? C?-1 ?-1 ? A?-1 ? ?! ? A?-1 ?-1 (?-1)! ?
10、(?-1)! (?-?-1)!?! ? (?-1)! (?-?)!(?-1)!=(n-k)+k (?-1)! (?-?)!?! ? ?! (?-?)!?! ? C? ?(1kn), 所以C? ? ? C?-1 ? ? C?-1 ?-1(1kn)成立. 故选 ABCD. 答案 ABCD 5.(2019 江西南康中学高二期中)某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生,现从中任选 2 名学生去参加活动, 则至少选中一名男生的选法种数是. 解析从 5 名学生中选 2 名学生去参加活动,有C5 2=10,从 3 名女生中选 2 名女生去参加活动有C 3 2=3,所 以至少选中一名男生的选法种数是 10-3
11、=7. 答案 7 6.(2020 上海第二工业大学附属龚路中学高三月考)用 0,1,2,3,4 这五个数可以组成个无重 复数字的三位奇数;个三位奇数.(用数字作答) 解析(1)先确定末尾一共有 1,3 两种情况,再确定百位与十位,所以一共有 2C3 1C 3 1=18 个. 6 (2)先确定末尾一共有 1,3两种情况,再确定百位与十位,所以一共有 2C4 1C 5 1=40 个. 答案 1840 7.一位教练的足球队共有 17 名初级学员,他们中以前没有人参加过比赛.按照足球比赛规则,比赛时一 个足球队的上场队员是 11 人.问: (1)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案?
12、 (2)如果在选出 11 名上场队员时,还要确定其中的守门员,那么这位教练有多少种方式做这件事情? 解(1)由于上场学员没有角色差异,所以可以形成的学员上场方案种数为C17 11=12 376. (2)教练可以分两步完成这件事情: 第 1 步,从 17 名学员中选出 11 人组成上场小组,共有C17 11种选法; 第 2 步,从选出的 11 人中选出 1 名守门员,共有C11 1 种选法. 所以教练做这件事情的方式有C17 11 C11 1 =136 136(种). 素养培优练 1.已知一组曲线 y=1 3ax 3+bx+1,其中 a 为 2,4,6,8 中的任意一个,b 为 1,3,5,7
13、中的任意一个.现从这些曲 线中任取两条,它们在 x=1 处的切线相互平行的组数为() A.9B.10C.12D.14 解析 y=ax2+b,曲线在 x=1 处切线的斜率 k=a+b.切线相互平行,则需它们的斜率相等,因此按照在 x=1 处切线的斜率的可能取值可分为五类. 第一类:a+b=5,则 a=2,b=3;a=4,b=1.故可构成两条曲线,有C2 2组. 第二类:a+b=7,则 a=2,b=5;a=4,b=3;a=6,b=1.可构成三条曲线,有C3 2组. 第三类:a+b=9,则 a=2,b=7;a=4,b=5;a=6,b=3;a=8,b=1.可构成四条曲线,有C4 2组. 第四类:a+b
14、=11,则 a=4,b=7;a=6,b=5;a=8,b=3.可构成三条曲线,有C3 2组. 第五类:a+b=13,则 a=6,b=7;a=8,b=5.可构成两条曲线,有C2 2组. 7 故共有C2 2 ? C3 2 ? C4 2 ? C3 2 ? C2 2=14 组曲线,它们在 x=1 处的切线相互平行. 答案 D 2.(2019 上海高二期末)推广组合数公式,定义C? ? ? ?(?-1)(?-?1) ?! ,其中 xR,mN+,且规定C? 0=1. (1)求C-15 3 的值; (2)设 x0,当 x 为何值时,函数 f(x)= C? 3 (C? 1)2取得最小值? 解(1)由题中组合数的定义得 C-15 3 ? (-15)(-16)(-17) 3! =-680. (2)由题中组合数的定义得 f(x)= C? 3 (C? 1)2? ?(?-1)(?-2) 6?2 ? 1 6 x+2 ?-3 . 因为 x0,由均值不等式得 x+2 ?2 2,当且仅当 x= 2时,等号成立, 所以当 x= 2时, C? 3 (C? 1)2取得最小值.
