1、第二课时离散型随机变量的方差 课标阐释思维脉络 1.通过实例,理解取 有限个值的离散型 随机变量的方差、 标准差的概念和意 义. 2.会求离散型随机 变量的方差、标准 差. 3.会利用离散型随 机变量的方差、标 准差解决一些实际 问题. 激趣诱思知识点拨 学校举行踢毽子大赛,某班要在甲、乙两名同学中选出一名同学参 加学校的决赛.若甲、乙两名同学每分钟踢毽子个数X,Y的分布列 分别为 问:该班选择哪名同学参加决赛更合适? X90100110 P0.10.80.1 Y95100105 P0.30.40.3 激趣诱思知识点拨 离散型随机变量的方差 激趣诱思知识点拨 名师点析 离散型随机变量的期望与方
2、差 名词 数学期望方差 定义 E()=1p1+2p2+npn D()=1-E()2p1+2- E()2p2+n-E()2pn 性质 (1)E(a)=a(a为常数) (2)E(a)=aE()(a0) (3)E(a+b)=aE()+b(a,b为常 数,且a0) (4)若B(n,p),则E()=np (1)D(a)=0(a为常数) (2)D(a)=a2D()(a0) (3)D(a+b)=a2D()(a,b为常数, 且a0) (4)若B(n,p),则 D()=npq(p+q=1) 数学 意义 E()是一个常数,它反映了随 机变量取值的平均水平,亦 称均值 D()是一个常数,它反映了随 机变量取值的稳定
3、与波动、 集中与离散的程度 激趣诱思知识点拨 微思考2 若随机变量X服从两点分布,则其方差D(X)的值为多少?能否利用均 值不等式求方差的最大值? 激趣诱思知识点拨 微练习 有一批产品,其中有12件正品和4件次品,从中有放回地任取3件,若 表示取到次品的个数,则的标准差为. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 求随机变量的方差与标准差求随机变量的方差与标准差 例1已知X的分布列如下: (1)求X2的分布列; (2)计算X的方差; (3)若Y=4X+3,求Y的均值和方差. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 反思感悟 方差的计算方法 方差的计算需要一定的运算能
4、力,在随机变量X2的均值比较好计算 的情况下,运用关系式D(X)=E(X2)-E(X)2不失为一种比较实用的方 法.另外注意方差性质的应用,如D(aX+b)=a2D(X)(a0). 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 变式训练1已知的分布列为 (1)求的方差及标准差; (2)设Y=2-E(),求D(Y). 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 两点分布与二项分布的两点分布与二项分布的方差方差 A.10B.30 C.15 D.5 答案:A 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 反思感悟 求离散型随机变量的均值与方差的关注点 (1)写出离散型随机变量的分布列. (2)正确应用均值与方差的公式进行计算.
5、 (3)对于二项分布,关键是通过题设环境确定随机变量服从二项分布, 然后直接应用公式计算. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 延伸探究 本例题条件不变,求E(5X+2). 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 均值、方差的实际应用均值、方差的实际应用 例3甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变 量,已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环,且甲 射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8环的概率分 别为0.3,0.3,0.2. (1)求,的分布列; (2)求,的均值与方差,并以此比较甲、乙的射击水平. 分析(1)由分布列的性质先求出a和
6、乙射中7环的概率,再列出,的 分布列. (2)要比较甲、乙两射手的射击水平,需先比较两射手击中环数的均 值,然后再看其方差值. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 解:(1)由题意得0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1. 因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2,所以乙射中7环的概 率为1-(0.3+0.3+0.2)=0.2. 所以,的分布列分别为 10987 P0.50.30.10.1 10987 P0.30.30.20.2 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 (2)由(1)得 E()=100.5+90.3+80.1+70.1=9.2; E()=100.3+90.3
7、+80.2+70.2=8.7; D()=(10-9.2)20.5+(9-9.2)20.3+(8-9.2)20.1+(7- 9.2)20.1=0.96; D()=(10-8.7)20.3+(9-8.7)20.3+(8-8.7)20.2+(7- 8.7)20.2=1.21. 由于E()E(),D()D(Y),所以两个保护区内每个季度发生的违 规事件的平均次数相同,但甲保护区的违规事件次数相对分散和波 动,乙保护区内的违规事件次数更加集中和稳定,所以乙保护区的 管理水平比甲高. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 超几何分布的均值与方差超几何分布的均值与方差 设随机变量X服从参数为N,n,M的超几何
8、分布.则X的均值为 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 典例 设在12件同类型的零件中有2件次品,抽取3次进行检验,每次 抽取1件,并且取出后不再放回,若以表示取到的次品数,求的分布 列、均值和方差. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 变式训练从5名女生和2名男生中任选3人参加英语演讲比赛,设随 机变量表示所选3人中男生的人数. (1)求的分布列; (2)求的均值与方差; (3)求“所选3人中男生人数1”的概率. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 1.已知XB(n,p),E(X)=8,D(X)=1.6,则n与p的值分别
9、是() A.n=100,p=0.08B.n=20,p=0.4 C.n=10,p=0.2D.n=10,p=0.8 解析:由于XB(n,p),E(X)=8,D(X)=1.6, 所以np=8,np(1-p)=1.6, 解得n=10,p=0.8. 答案:D 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 2.(2018全国)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各 成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支 付的人数,D(X)=2.4,P(X=4)0.5,p=0.6(其中p=0.4舍去). 答案:B 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 3.已知离散型随机变量X的分布列如下表.若E(X)=0,D(X)=1,则a= ,b=. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 4.学校举行定点投篮比赛,规定每人投篮4次,投中一球得2分,没有 投中得0分,假设每次投篮投中与否是相互独立的.已知小明每次投 篮投中的概率都是 ,小强每次投篮投中的概率都是p(0p1). (1)求小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率; (2)求小明在4次投篮后的总得分的分布列和期望; (3)小强投篮4次,投中的次数为X,若期望E(X)=1,求p和X的方差D(X). 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 探究一探究二探究三素养形成当堂检测
