1、1.1.2空间向量基本定理 学 习 目 标核 心 素 养 1理解空间向量基本定理(重点) 2运用空间向量基本定理解决一些 几何问题(难点) 3理解基底、基向量及向量的线性 组合的概念(重点) 1通过基底、基向量及向量的线性组合 空间向量基本定理的学习， 培养数学抽象 素养 2借助任一空间向量可用一组基向量线 性表示，提升数学运算素养 图中的向量AB ， AD ，AA 是不共面的三个向量，请问向量AC 与它们是什么关 系？由此可以得出什么结论？ 1共面向量定理 如果两个向量 a，b 不共线，则向量 a，b，c 共面的充要条件是存在唯一的 实数对(x，y)，使 cxayb 思考 1：平面向量基本定
2、理中对于向量 a 与 b 有什么条件，在空间中能成立 吗？ 提示平面向量基本定理中要求向量 a 与 b 不共线，在空间中仍然成立 2空间向量基本定理 如果空间中的三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间中的任意一个向量 p， 存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得 pxaybzc 特别地，当 a，b，c 不共面时，可知 xaybzc0 时，xyz0 3相关概念 (1)线性组合：表达式 xaybzc 一般称为向量 a，b，c 的线性组合或线性 表达式 (2)基底：空间中不共面的三个向量 a，b，c 组成的集合a，b，c，常称为 空间向量的一组基底 (3)基向量：基底a，b，c中 a，b，c 都
3、称为基向量 (4)分解式：如果 pxaybzc，则称 xaybzc 为 p 在基底a，b，c下 的分解式 思考 2：平面向量的基底要求二个基向量不共线，那么构成空间向量基底的 三个向量有什么条件？ 提示空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底，基底 选定后，空间任意向量均可由基底唯一表示 思考 3：基向量和基底一样吗？0 能否作为基向量？ 提示基底是指一个向量组，基向量是基底中的某一个向量，因为 0 与其 他任意两个非零向量共面，所以 0 不能作为基向量 4拓展：设 O，A，B，C 是不共面的四点，则对空间任一点 P，都存在唯 一的有序实数组x，y，z，使OP xOA yOB zO
4、C ，当且仅当 xyz1 时， P，A，B，C 四点共面 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)若a，b，c为空间一个基底，则a，b,2c也可构成空间一个基 底() (2)若三个非零向量 a，b，c 不能构成空间的一个基底，则 a，b，c 共 面 () (3)若 a，b 是两个不共线的向量，且 cab(，R 且0)，则a，b， c构成空间的一个基底() 答案(1)(2)(3) 提示(1)a，b，c为空间一个基底，则 a，b，c 不共面，a、b、2c 也不共面，故a，b,2c也构成空间一个基底 (2)由共面定理知(2)正确 (3)由 cab 知 a，b，c 共面，不能构成基底 2(教材
5、 P16练习 A改编)对于空间的任意三个向量 a，b,2a3b，它们一 定是() A共面向量B共线向量 C不共面向量D既不共线也不共面的向量 A根据共面向量定理知 a，b,2a3b 一定共面 3在长方体 ABCDA1B1C1D1中，可以作为空间向量一个基底的是() A AB ， AC ，AD B AB ， AA 1 ，AB1 C D1A1 ， D1C1 ，D1D D AC1 ， A1C ，CC1 C由题意知D1A1 ， D1C1 ，D1D 不共面，可以作为空间向量的一个基 底 向量共线问题 【例 1】如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 在 A1D1上，且A1E 2ED1 ，F
6、在对角线 A1C 上，且A1F 2 3FC 求证：E，F，B 三点共线 证明设AB a，AD b，AA1 c A1E 2ED1 ，A1F 2 3FC ， A1E 2 3A 1D1 ，A1F 2 5A 1C ， A1E 2 3AD 2 3b，A 1F 2 5(AC AA1 ) 2 5(AB AD AA1 ) 2 5a 2 5b 2 5c EF A 1F A1E 2 5a 4 15b 2 5c 2 5 a2 3bc 又EB EA 1 A1A AB 2 3bcaa 2 3bc， EF 2 5EB E，F，B 三点共线 判断向量共线就是利用已知条件找到实数 x，使 axb 成立，同时要充分利 用空间向
7、量的运算法则，结合图形，化简得出 axb，从而得出 ab，即向量 a 与 b 共线，共线向量定理还可用于证明两直线平行或证明三点共线. 跟进训练 1如图所示，四边形 ABCD 和 ABEF 都是平行四边形，且不共面，M，N 分别是 AC，BF 的中点，判断CE 与MN 是否共线？ 解CE 与MN 共线， 证明： M， N 分别是 AC、 BF 的中点， 而四边形 ABCD， ABEF 都是平行四边形 MN MA AF FN 1 2CA AF 1 2FB ， 又MN MC CE EB BN 1 2CA CE AF 1 2FB ， 1 2CA AF 1 2FB 1 2CA CE AF 1 2FB
8、， CE CA 2AF FB2(MA AF FN )2MN ， CE MN ，即CE 与MN 共线 共面定理及应用 【例 2】已知 A，B，C 三点不共线，平面 ABC 外的一点 M 满足OM 1 3OA 1 3OB 1 3OC (1)判断MA ， MB ，MC 三个向量是否共面； (2)判断点 M 是否在平面 ABC 内 解(1)易知OA OB OC 3OM ， OA OM (OM OB )(OM OC )， MA BM CM MB MC ， 向量MA ， MB ，MC 共面 (2)由(1)知向量MA ， MB ，MC 共面，三个向量的基线又有公共点 M，M，A， B，C 共面，即点 M 在
9、平面 ABC 内 判断三个(或三个以上)向量共面的方法 (1)应用空间向量共面定理，即其中一个向量能用另两个向量线性表示，通 常应结合图形，选择其中某两个向量作为基向量，其他向量都用这两个基向量线 性表示 (2)选择目标向量以外的一组基底，通过待定系数法，建立这三个向量的一 个线性关系式 跟进训练 2如图所示，P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，连接 PA，PB，PC， PD，点 E，F，G，H 分别是PAB，PBC，PCD，PDA 的重心，分别延 长 PE，PF，PG， PH，交对边于 M， N，Q，R， 并顺次连接 MN，NQ，QR，RM 应 用向量共面定理证明：E，F，G，H 四
10、点共面 证明E，F，G，H 分别是所在三角形的重心， M，N，Q，R 为所在边的中点， 顺次连接 M， N， Q， R， 所得四边形为平行四边形， 且有PE 2 3PM ， PF 2 3PN ， PG 2 3PQ ，PH 2 3PR 四边形 MNQR 为平行四边形， EG PG PE 2 3PQ 2 3PM 2 3MQ 2 3(MN MR ) 2 3(PN PM )2 3(PR PM ) 2 3 3 2PF 3 2PE 2 3 3 2PH 3 2PE EF EH ， 由共面向量定理得EG ， EF ，EH 共面， 所以 E，F，G，H 四点共面 基底的判断及应用 探究问题 1构成空间向量的基底
11、唯一吗？是否共面？ 提示不唯一，不共面 2空间向量的基底选定后，空间任一向量怎样用基底表示？ 提示基底选定后，可以结合图形，利用三角形法则和平行四边形法则， 寻求向量和基向量的关系，利用向量的线性运算将向量用基底表示出来 3用基底表示向量应注意哪些问题？ 提示(1)明确目标，向量表示过程中可能出现新的向量，要逐步拆分，都 用基向量表示；(2)结合图形的几何性质，利用向量的线性运算；(3)只要基底选 定，空间任一向量用基底表达的形式是唯一的 【例 3】(1)若a，b，c是空间的一个基底，试判断ab，bc，ca 能否作为该空间的一个基底 (2)如图，在三棱柱 ABCABC中，已知AA a，AB b
12、，AC c，点 M，N 分别是 BC，BC的中点，试用基底a，b，c表示向量AM ， AN 思路探究(1)判断 ab，bc，ca 是否共面，若不共面，则可作为一 个基底，否则，不能作为一个基底 (2)借助图形寻找待求向量与 a，b，c 的关系，利用向量运算进行分析，直至 向量用 a，b，c 表示出来 解(1)假设 ab，bc，ca 共面 则存在实数、使得 ab(bc)(ca)， abba()c a，b，c为基底，a，b，c 不共面 1， 1， 0. 此方程组无解，ab，bc，ca 不共面 ab，bc，ca可以作为空间的一个基底 (2)AM AB BM AB 1 2BC AB 1 2(BB BC
13、 )AB 1 2BB 1 2(AC AB ) b1 2a 1 2(cb) b1 2a 1 2c 1 2b 1 2a 1 2b 1 2c AN AA AB BN AA AB 1 2BC ab1 2(AC AB ) ab1 2(cb) a1 2b 1 2c 1(变条件)若把本例 3(2)中的AA a 改为AC a，其他条件不变，则结果 又是什么？ 解AM AB BM AB 1 2BC AB 1 2(AC AB ) b1 2(ab) 1 2a 1 2b AN AC CN AC 1 2CB AC 1 2BC AC 1 2(AC AB ) a1 2(cb) a1 2b 1 2c 2(变换条件、改变问法)
14、如图所示，本例 3(2)中增加条件“P 在线段 AA上， 且 AP2PA”，试用基底a，b，c表示向量MP 解MP MC CA AP 1 2BC AC 1 3AA 1 2(BB BC )AC 1 3AA 1 2AA (AC AB )AC 1 3AA 1 2(acb)c 1 3a 1 6a 1 2b 1 2c 用基底表示向量的步骤 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底 (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则 及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求 出结果 (3)下结论： 利用空间向量的一个基底a， b
15、， c可以表示出空间所有向量 表 示要彻底，结果中只能含有 a，b，c，不能含有其他形式的向量 提醒： 基底中不能有零向量， 因为零向量与任意一个非零向量都为共线向量 1空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；基底选定 后，任一向量可由基底唯一表示，空间中的基底是不唯一的 2在用基底表示向量时，要结合图形的几何性质，充分利用向量的线性运 算，逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示 1O，A，B，C 为空间四点，且向量OA ， OB ，OC 不能构成空间的一个基底， 则() A OA ， OB ，OC 共线B OA ，OB 共线 C OB ，OC 共线DO，A，B，C 四点共面 D
16、由OA ， OB ，OC 不能构成基底知OA ， OB ，OC 三向量共面，所以 O，A， B，C 四点共面 2给出下列命题： 若a，b，c可以作为空间的一个基底，d 与 c 共线，d0，则a，b，d 也可作为空间的基底；已知向量 ab，则 a，b 与任何向量都不能构成空间的 一个基底；A，B，M，N 是空间四点，若BA ， BM ，BN 不能构成空间的一个基 底，那么 A，B，M，N 共面；已知向量组a，b，c是空间的一个基底，若 m ac，则a，b，m也是空间的一个基底其中正确命题的个数是() A1B2C3D4 D根据基底的概念， 知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个 基底，否则
17、就不能构成空间的一个基底，显然正确中由BA 、 BM 、BN 共面 且过相同点 B，故 A，B，M，N 共面 下面证明正确 假设 d 与 a，b 共面，则存在实数，使 dab， d 与 c 共线，c0， 存在实数 k，使 dkc， d0，k0，从而 c ka kb， c 与 a，b 共面与条件矛盾 d 与 a，b 不共面 同理可证也是正确的 3从空间一点 P 引出三条射线 PA，PB，PC，在 PA，PB，PC 上分别取PQ a，PR b，PSc，点 G 在 PQ 上，且 PG2GQ，H 为 RS 的中点，则GH _(用 a，b，c 表示) 2 3a 1 2b 1 2c GH PH PG 1
18、2(bc) 2 3a 4设 OABC 是四面体，G1是ABC 的重心，G 是 OG1上的一点，且 OG 3GG1，若OG xOA yOB zOC ，则 2x4y2z_ 2如图，由已知OG 3 4OG 1 3 4(OA AG1 ) 3 4 OA 1 3 AB AC 3 4OA 1 4 (OB OA )(OC OA )1 4OA 1 4OB 1 4OC ， xyz1 4，2x4y2z2 5如图所示，已知平行六面体 ABCDA1B1C1D1，设AB a，AD b，AA1 c，P 是 CA1的中点，M 是 CD1的中点用基底a，b，c表示以下向量：(1)AP ； (2)AM 解在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中， 连接 AC，AD1 (1)AP 1 2(AC AA1 ) 1 2(AB AD AA1 ) 1 2(abc) (2)AM 1 2(AC AD1 ) 1 2ab 1 2c
