1、1 1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系空间向量的坐标与空间直角坐标系 学 习 目 标核 心 素 养 1掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标 系中写出向量的坐标(重点) 2掌握空间向量的坐标运算(重点) 3掌握空间向量的坐标与空间向量的平行、垂 直的关系(重点、难点) 4理解空间直角坐标系的定义、建系方法，以 及空间的点的坐标确定方法并能简单运用 1通过空间向量的直角坐标运 算的学习，提升数学运算、逻辑 推理素养 2通过对空间直角坐标系的学 习，提升数学抽象素养 一块巨石从山顶坠落，挡住了前面的路，抢修队员紧急赶到，从三个方向拉 巨石，这三个力分别为 F1，F2，F3，它们两两垂直，且|
2、F1|3 000 N，|F2|2 000 N，|F3|2 0003 N，若以 F1，F2，F3的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴正方向建 立空间直角坐标系， 巨石受合力的坐标是什么？怎样求巨石受到的合力的大小？ 这就需要用到空间向量运算的坐标表示 1空间中向量的坐标 一般地，如果空间向量的基底e1，e2，e3中，e1，e2，e3都是单位向量，而 且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底，在单位正交基底下向量 的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果 pxe1ye2ze3，则称有序实数 组(x，y，z)为向量 p 的坐标，记作 p(x，y，z)其中 x，y，z 都称为 p 的坐标 分量
3、 思考 1：若 axe1ye2ze3，则 a 的坐标一定是(x，y，z)吗？ 提示不一定，当 e1，e2，e3是单位正交基底时，坐标是(x，y，z)，否则 不是 2空间向量的运算与坐标的关系 2 假设空间中两个向量 a，b 满足 a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，则有以下 结论： (1)ab(x1x2，y1y2，z1z2)； (2)若 u，v 是两个实数，uavb(ux1vx2，uy1vy2，uz1vz2)； (3)abx1x2y1y2z1z2； (4)|a| aa x21y21z21； (5)当 a0 且 b0 时，cosa，b ab |a|b| x1x2y1y2z1z2 x2
4、1y21z21x22y22z22 思考 2：若向量AB (x，y，z)，则点 B 的坐标一定是(x，y，z)吗？ 提示不一定，A 点与原点重合时是，不重合时不是 3空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直 (1)当 a0 时，abba(x2，y2，z2)(x1，y1，z1) x2x1 y2y1 z2z1 ，当 a 的每一个坐标分量都不为零时，有 abx2 x1 y2 y1 z2 z1 (2)abab0 x1x2y1y2z1z20 4空间直角坐标系 (1)在空间中任意选定一点 O 作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直 角坐标系 xOy， 然后过 O 作一条与 xOy 平面垂直的数轴 z 轴 这样
5、建立的空间直 角坐标系记作 Oxyz (2)在空间直角坐标系 Oxyz 中，x 轴、y 轴、z 轴是两两垂直的，它们都称为 坐标轴，通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面 (3)z 轴正方向的确定：在 z 轴的正半轴看 xOy 平面，x 轴的正半轴绕 O 点沿 逆时针方向旋转 90能与 y 轴的正半轴重合 (4)空间直角坐标系的画法：在平面内画空间直角坐标系 Oxyz 时，一般把 x 轴、y 轴画成水平放置，x 轴正方向与 y 轴正方向夹角为 135(或 45)，z 轴与 y 轴(或 x 轴)垂直 (5)空间中一点的坐标：空间一点 M 的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示， 有序实数组(x，
6、y，z)叫做点 M 在此空间直角坐标系中的坐标，其中 x 叫做点 M 3 的横坐标(或 x 坐标)，y 叫做点 M 的纵坐标(或 y 坐标)，z 叫做点 M 的竖坐标(或 z 坐标) (6)三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了八个部分，每一部分都称为 一个卦限， 按逆时针方向， 在坐标平面 xOy 的上方， 分别是第卦限， 第卦限， 第卦限，第卦限，在平面 xOy 的下方，分别是第卦限，第卦限，第卦 限，第卦限，根据点的坐标的特征，第卦限的点集用集合可表示为(x，y， z)|x0，y0，z0 5空间向量坐标的应用 (1)点 P(x，y，z)到坐标原点 O(0,0,0)的距离 OP x2y2z
7、2 (2) 任 意 两 点 P1(x1， y1， z1) ， P2(x2， y2， z2) 间 的 距 离 P1P2 x2x12y2y12z2z12 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)以原点为始点的向量OP 的坐标和点 P 的坐标相同() (2)若 ab0，则 ab() (3)在空间直角坐标系中，在 Ox 轴上的点一定是(0，b，c) () (4)在空间直角坐标系中，在 xOz 平面上的点的坐标为(a,0，c) () 答案(1)(2)(3)(4) 提示(2)a0 或 b0 时，a 与 b 不垂直 (3)坐标应为(a,0,0) 2(教材 P19例 2 改编)已知向量 a(3，2,1
8、)，b(2,4,0)，则 4a2b 等 于() A(16,0,4)B(8，16,4) C(8,16,4)D(8,0,4) D4a2b4(3，2,1)2(2,4,0)(12，8,4)(4,8,0)(8,0,4) 3 已知e1， e2， e3是单位正交基底， 则 pe12e23e3的坐标为_ (1,2,3)p(1,2,3) 4在空间直角坐标系中，点 P(3,4,5)与 Q(3，4，5)两点的位置关系是 4 _ 关于 x 轴对称点 P(3,4,5)与 Q(3，4，5)两点的横坐标相同，而纵、竖 坐标互为相反数，所以两点关于 x 轴对称 空间向量的坐标运算 【例 1】(1)如图，在棱长为 1 的正方体
9、 ABCDABCD中，E，F，G 分别 为棱 DD，DC，BC 的中点，以AB ， AD ，AA 为基底，求下列向量的坐标 AE ， AG ， AF ； EF ， EG ， DG (2)已知空间四点 A，B，C，D 的坐标分别是(1,2,1)，(1,3,4)，(0，1,4)， (2，1，2)若 pAB ，qCD 求p2q；3pq；(pq)(pq) 解(1)AE AD DE AD 1 2DD AD 1 2AA 0，1，1 2 ， AG AB BG AB 1 2AD 1，1 2，0， AF AA AD DF AA AD 1 2AB 1 2，1，1 EF AFAE(AA AD 1 2AB )(AD
10、1 2AA )1 2AA 1 2AB 1 2，0， 1 2 ， EG AG AE AB 1 2AD AD 1 2AA AB 1 2AD 1 2AA 1，1 2， 1 2 ， 5 DG AG AD AB 1 2AD AD AB 1 2AD 1，1 2，0 (2)由于 A(1,2,1)，B(1,3,4)，C(0，1,4)，D(2，1，2)，所以 pAB (2,1,3)，qCD (2,0，6) p2q(2,1,3)2(2,0，6)(2,1,3)(4,0，12)(6,1，9)； 3pq3(2,1,3)(2,0，6)(6,3,9)(2,0，6)(4,3,15)； (pq)(pq)p2q2|p|2|q|2
11、(221232)(220262)26 用坐标表示空间向量的步骤 (1) (2)空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算，再进行加法或减法 运算，最后进行数量积运算，先算括号里，后算括号外 提醒：空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算法则基本一样，应注意一 些计算公式的应用 跟进训练 1已知 O 为坐标原点，A，B，C 三点的坐标分别为(2，1,2)，(4,5，1)， (2,2,3)，求点 P 的坐标，使 (1)OP 1 2(AB AC )； (2)AP 1 2(AB AC ) 解AB (2,6，3)，AC (4,3,1)， AB AC (6,3，4) 6 (1)OP 1 2(AB AC )
12、1 2(6,3，4) 3，3 2，2， 则点 P 的坐标为 3，3 2，2 (2)设点 P 的坐标为(x，y，z)， 则AP (x2，y1，z2) AP 1 2(AB AC ) 3，3 2，2， x23， y13 2， z22. 即 x5，y1 2，z0， 则点 P 的坐标为 5，1 2，0 空间中点的坐标确定及应用 【例 2】在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 D1D、BD 的中点，G 在棱 CD 上，且 CG1 4CD，H 为 C 1G 的中点，试建立适当的坐标系， 写出 E，F，G，H 的坐标并求 GH 的长度 解建立如图所示的空间直角坐标系点 E 在 z
13、 轴上，它的 x 坐标，y 坐 标均为 0，而 E 为 DD1的中点， 故其坐标为 0，0，1 2 由 F 作 FMAD 于 M 点、 FNDC 于 N 点， 由平面几何知 FM1 2， FN 1 2， 7 则 F 点坐标为 1 2， 1 2，0 点 G 在 y 轴上，其 x、z 坐标均为 0，又 GD3 4，故 G 点坐标为 0，3 4，0 由 H 作 HKCG 于 K 点，由于 H 为 C1G 的中点，故 HK1 2，CK 1 8 DK7 8，故 H 点坐标为 0，7 8， 1 2 GH 3 4 7 8 201 2 217 8 1建立空间直角坐标系时应遵循以下原则 (1)让尽可能多的点落在
14、坐标轴上或坐标平面内； (2)充分利用几何图形的对称性 2求某点的坐标时，一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影，确定其 两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上 正负号)，确定第三个坐标 3利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤： 跟进训练 2如图所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，|AB|AD|3，|AA1|2，点 M 在 A1C1上，|MC1|2|A1M|，N 在 D1C 上且为 D1C 的中点，求线段 MN 的长度 8 解如图所示，分别以 AB，AD，AA1所在的直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立 空间直角坐标系 由题意可知 C(3,3,
15、0)，D(0,3,0)， |DD1|CC1|AA1|2， C1(3,3,2)，D1(0,3,2)， N 为 CD1的中点， N 3 2，3，1 M 是 A1C1的三等分点且靠近 A1点， M(1,1,2)由两点间距离公式，得 MN 3 21 231212221 2 空间向量的平行与垂直 探究问题 1空间向量的平行与垂直与平面向量的平行与垂直有什么关系？ 提示(1)类比平面向量平行、垂直：空间两个向量平行、垂直与平面两个 向量平行、垂直的表达式不一样，但实质是一致的 (2)转化：判定空间两直线平行或垂直只需判断两直线对应的方向向量是否 平行或垂直 2空间中三点共线的充要条件是什么？ 提示三个点
16、A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)共线的充要条件 9 是x2x1 x3x1 y2y1 y3y1 z2z1 z3z1 简证：三个点 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)共线的充要条件为 AB AC ， 即向量AB 与向量AC 共线， 其坐标对应成比例， 从而有x2x1 x3x1 y2y1 y3y1 z2z1 z3z1 【例 3】已知空间三点 A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，设 aAB ，b AC (1)若|c|3，cBC 求 c； (2)若 kab 与 ka2b 互相垂直，求 k 思路探究先求 a，b，再
17、根据向量平行与垂直的充要条件列方程求解 解(1)因为BC (2，1,2)，且 cBC ， 所以设 cBC (2，2)， 得|c| 222223|3， 解得1即 c(2，1,2)或 c(2,1，2) (2)因为 aAB (1,1,0)，bAC (1,0,2)， 所以 kab(k1，k,2)，ka2b(k2，k，4) 又因为(kab)(ka2b)， 所以(kab)(ka2b)0 即(k1，k,2)(k2，k，4) 2k2k100解得 k2 或 k5 2 故所求 k 的值为 2 或5 2 1(变条件)若将本例(1)中“cBC ”改为“ca 且 cb”，求 c 解aAB (1,1,0)，bAC (1,
18、0,2) 设 c(x，y，z) 10 由题意得 x2y2z29， xy0， x2z0 解得 x2，y2，z1 或 x2，y2，z1， 即 c(2，2,1)或 c(2,2，1) 2(变条件)若将本例(2)改为“若 kab 与 ka2b 互相垂直”求 k 的值 解aAB (1,1,0)，bAC (1,0,2) 所以 kab(k1，k，2)， ka2b(k2，k,4) (kab)(ka2b)， (kab)(ka2b)0， 即(k1，k，2)(k2，k,4)(k1)(k2)k280，解得 k2 或 k 5 2 故所求 k 的值为2 或5 2 解决空间向量垂直、平行问题的思路 (1)当有关向量已知时，通
19、常需要设出向量的坐标，例如，设向量 a(x，y， z) (2)在有关平行的问题中，通常需要引入参数，例如，已知 ab，则引入参 数，有 ab，再转化为方程组求解 (3)选择向量的坐标形式，可以达到简化运算的目的 利用坐标运算解决夹角、距离问题 【例 4】如图所示，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别 是 D1D，BD 的中点，G 在棱 CD 上，且 CG1 4CD，H 为 C 1G 的中点 11 (1)求证：EFB1C； (2)求 EF 与 C1G 所成角的余弦值； (3)求 FH 的长 思路探究根据正方体的特殊性，可考虑建立空间直角坐标系，写出相关 点及向量的坐标
20、，套用数量积、夹角、模长公式即可 解(1)证明：如图所示，以 D 为坐标原点，建立空间直角坐标系 Dxyz， 易知 E 0，0，1 2 ，F 1 2， 1 2，0，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，G 0，3 4，0， H 0，7 8， 1 2 EF 1 2， 1 2，0 0，0，1 2 1 2， 1 2， 1 2 ， B1C (0,1,0)(1,1,1)(1,0，1)， EF B 1C 1 2(1) 1 20 1 2 (1)0， EF B 1C ，即 EFB1C (2)由(1)易知C1G 0，3 4，0(0,1,1) 0，1 4，1， EF 1 2， 1 2， 1 2
21、 ， |C1G | 17 4 ，|EF |3 2 ， 12 EF C 1G 1 20 1 2 1 4 1 2 (1)3 8， cosEF ， C 1G EF C 1G |EF |C 1G | 51 17 ， 即异面直线 EF 与 C1G 所成角的余弦值为 51 17 (3)由(1)知 F 1 2， 1 2，0，H 0，7 8， 1 2 ， FH 1 2， 3 8， 1 2 ， 即 FH 的长为 41 8 通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标 轴上，以便写出点的坐标.建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应 向量的坐标表示， 把向量坐标化， 然后利用向量的坐标
22、运算求解夹角和距离问题. 提醒：建立适当的坐标系能给解题带来方便. 跟进训练 3如图所示，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABCA1B1C1中，CACB 1，BCA90，棱 AA12，N 为 A1A 的中点 (1)求 BN 的长； (2)求BA1 与CB1 夹角的余弦值 解如图，以CA ， CB ，CC1 为正交基底建立空间直角坐标系 Cxyz 13 (1)依题意得 B(0,1,0)，N(1,0,1)， |BN | 102012102 3， 线段 BN 的长为 3 (2)依题意得 A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B(0,1,0)，B1(0,1,2)， BA1 (1，1,2)，CB1 (
23、0,1,2)， BA1 CB1 10(1)1223 又|BA1 | 6，|CB1 | 5， cosBA1 ， CB1 BA1 CB1 |BA1 |CB1 | 30 10 ， 即BA1 与CB1 夹角的余弦值为 30 10 1利用空间向量的坐标运算可以判断两个向量的平行、垂直，可以求向量 的模以及两个向量的夹角 2几何中的平行和垂直可以用向量进行判断，距离、夹角问题可以借助于 空间直角坐标系利用数量积解决 1已知向量 a(1,1,0)，b(1,0,2)，则 3ab 为() A(2，3，2)B(2,3,2) C(2,3,2)D(4,3,2) B3ab3(1,1,0)(1,0,2)(3,3,0)(1
24、,0,2)(2,3,2) 2在空间直角坐标系中，点 P(1,3，5)关于平面 xOy 对称的点的坐标是 14 () A(1,3，5)B(1,3,5) C(1，3,5)D(1，3,5) BP(1,3，5)关于平面 xOy 对称的点的坐标为(1,3,5) 3点 P 6 6 ， 3 3 ， 2 2 到原点 O 的距离是() A 30 6 B1 C 33 6 D 35 6 BPO 6 6 2 3 3 2 2 2 21 4已知向量 a(1,1,0)，b(1,0,2)且 kab 与 2ab 互相垂直，则 k 的值 是_ 7 5 由于 kabk(1,1,0)(1,0,2)(k1，k,2)， 2ab2(1,1,0)(1,0,2)(3,2， 2)， 因为两向量互相垂直， 则有(k1)3 k22(2)0，解得 k7 5 5已知空间三点 A(1,1,1)，B(1,0,4)，C(2，2,3)，则AB 与CA 的夹角的 大小是_ 120由于AB (2，1,3)，CA (1,3，2)， 所以AB CA (2)(1)(1)33(2)7，|AB | 14，|CA | 14， 所以 cos cosAB ， CA 7 14 14 1 2， 则120
