1、1.2.3直线与平面的夹角直线与平面的夹角 学 习 目 标核 心 素 养 1理解斜线和平面所成的角的定义，体会夹角定 义的唯一性、合理性 2会求直线与平面的夹角(重点、难点) 通过学习空间线面角，提 升数学运算、逻辑推理素养 倾斜的大树，因倾斜而闻名的斜塔，高昂的塔克炮筒，发射导弹的壮观场 面在这些画面中都让我们依稀看到了直线与平面相交的影子，如果把大树、 斜塔、炮筒、导弹抽象成直线，把地面抽象成平面，怎样来刻画直线相对于平面 的倾斜程度？ 1直线和平面所成的角 2最小角定理 3用空间向量求直线与平面的夹角 如果 v 是直线 l 的一个方向向量，n 是平面的法向量，设直线 l 与平面所 成角的
2、大小为，则 2v，n或v，n 2，特别地 cos sinv， n或 sin |cosv，n| 思考：直线 l 的方向向量 s 与平面的法向量 n 的夹角一定是直线和平面的夹 角吗？ 提示不是直线和平面的夹角为| 2s，n| 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)直线与平面的夹角不是锐角就是直角() (2)斜线与它在平面内的射影所成的角是锐角() (3)斜线与平面的夹角为0,90() (4)直线与平面的夹角为0,90() 答案(1)(2)(3)(4) 提示(1)错误，角的度数还可以是零度 (2)根据线面角的定义知正确 (3)斜线与平面的夹角为(0,90) (4)正确 2若直线 l 的方
3、向向量与平面的法向量的夹角等于 120，则直线 l 与平面 所成的角等于() A120B60 C30D以上均错 C设直线 l 与平面所成的角为， 则 sin |cos 120|1 2， 又090， 30 3已知向量 m，n 分别为直线 l 和平面的方向向量、法向量，若 cosm， n 3 2 ，则直线 l 与平面所成的角为_ 60设直线 l 与平面所成的角为，则 sin |cosm，n| 3 2 又 0,90，60 4在正方形 ABCDA1B1C1D1中，CB1与平面 AA1C1C 所成角的大小为 _ 30如图，连接 B1D1交 A1C1于 O，连接 OC，因为几何体是正方体，所以 OB1平面
4、 AA1C1C， 所以B1CO 是 CB1与平面 AA1C1C 所成角， 设正方体的棱长为 1，则 OB1 2 2 ，CB1 2， sinB1CO 2 2 2 1 2，可得B 1CO30 即 CB1与平面 AA1C1C 所成角的大小为 30 公式 cos cos 1cos 2的应用 【例 1】BOC 在平面内，OA 是平面的一条斜线，若AOBAOC 60，OAOBOCa，BC 2a，求 OA 与平面所成的角 思路探究根据定义或 cos cos 1cos 2求解 解法一：OAOBOCa，AOBAOC60， ABACa 又BC 2a， AB2AC2BC2 ABC 为等腰直角三角形 同理BOC 也为
5、等腰直角三角形 取 BC 中点为 H，连接 AH，OH， AH 2 2 a，OH 2 2 a，AOa， AH2OH2AO2 AHO 为等腰直角三角形AHOH 又AHBC，OHBCH， AH平面 OH 为 AO 在平面内的射影，AOH 为 OA 与平面所成的角 在 RtAOH 中，sinAOHAH AO 2 2 AOH45 OA 与平面所成的角为 45 法二：AOBAOC60， OA 在内的射影为BOC 的平分线， 作BOC 的角平分线 OH 交 BC 于 H 又 OBOCa，BC 2a，BOC90 故BOH45，由公式 cos cos 1cos 2， 得 cosAOHcosAOB cosBOH
6、 2 2 ， OA 与平面所成的角为 45 求线面角的关键是确定斜线在平面上射影的位置，只有确定了射影，才能将 空间角转化为平面角在本例中，也可以直接作 AHBC 于 H，进而证明 AH 平面， 从而证明 H 是点 A 在平面内的射影 解法二则灵活应用公式 cos cos 1cos 2求线面角，也是常用的方法 跟进训练 1如图所示， 在四棱锥 PABCD 中，ABCD 是正方形，PD平面 ABCD若 PBC60，求直线 PB 与平面 ABCD 所成的角 解由题意得CBD45， PBD 即为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角 cosPBCcos cosCBD，PBC60 即 cos 60co
7、s cos 45，cos 2 2 ，45 用定义法解决直线与平面的夹角问题 探究问题 1用定义法求直线与平面夹角的关键是什么？ 提示寻找直线与平面的夹角，即准确确定直线在平面内的投影 2定义法求直线与平面夹角的基本思路是什么？ 提示若直线与平面平行或直线在平面内，则直线与平面的夹角为 0； 若直线与平面垂直，则直线与平面的夹角为 2； 若直线与平面相交但不垂直，设直线与平面的交点为 O，在直线上任取异 于 O 点的另一点 P，过 P 作平面的垂线 PA，A 为垂足，则 OA 即为直线在平面 内的投影，AOP 即为直线与平面的夹角，然后通过解三角形求出直线与平面 夹角的大小 【例 2】如图所示，
8、在三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，PAAB，ABC 60，BCA90 (1)求证：BC平面 PAC； (2)若 D 为 PB 的中点，试求 AD 与平面 PAC 夹角的正弦值 思路探究(1)证明 BC 和平面 PAC 内的两条相交直线垂直 (2)作出 AD 在平面 PAC 内的射影后，构造三角形求解 解(1)因为 PA平面 ABC，BC平面 ABC， 所以 PABC 又BCA90，所以 ACBC，又 AC平面 PAC， PA平面 PAC，PAACA，所以 BC平面 PAC (2)取 PC 的中点 E，连接 DE 因为 D 为 PB 的中点，所以 DEBC，所以 DE平面 PAC 连接
9、AE，则 AE 是 AD 在平面 PAC 内的投影，所以DAE 是直线 AD 与平 面 PAC 的夹角设 PAABa，在直角三角形 ABC 中 因为ABC60，BCA90， 所以 BCa 2，DE a 4， 在直角三角形 ABP 中，AD 2 2 a， 所以 sinDAEDE AD a 4 2 2 a 2 4 即 AD 与平面 PAC 夹角的正弦值为 2 4 1 (变问法)若本例条件不变， 问题(2)改为： D 为 PB 上的一点， 且 BD1 3PB， 试求 AD 与平面 PAC 夹角的正弦值 解由已知 BCAC，BCPA，ACPAA， 所以 BC平面 PAC，BCPC，过 PB 的三等分点
10、 D 作 DEBC，则 DE 平面 PAC，连接 AE，AD， 则DAE 为 AD 与平面 PAC 的夹角， 不妨设 PAAB1， 因为ABC60， 所以 BC1 2，DE 2 3 1 2 1 3，PB 2，BD 2 3 在ABD 中，AD2AB2BD22ABBDcos 455 9，AD 5 3 ，所以 sinDAEDE AD 1 3 5 3 5 5 即 AD 与平面 PAC 夹角的正弦值为 5 5 2(改问法)若本例的题(2)条件不变，求 AD 与平面 PBC 的夹角的正弦值， 结果如何？ 解由例题(1)知 BC平面 PAC， 所以平面 PAC平面 PBC 过 A 作 AEPC 所以 AE平
11、面 PBC 连接 ED，则ADE 为 AD 与平面 PBC 的夹角设 PA2a，AB2a，所以 PB2 2a 故 AD 2a 在APC 中，AP2a， ACABsin 602a 3 2 3a， 所以 PC 3a24a2 7a，设ACP， 则 AEACsin ACAP PC 3a 2a 7a 2 3 7 a 2 21 7 a， 所以 sinADEAE AD 2 21a 7 2a 42 7 即 AD 与平面 PBC 夹角的正弦值为 42 7 用定义法求直线与平面的夹角 找直线在平面内的射影， 充分利用面面垂直的性质及解三角形知识可求得夹 角(或夹角的某一三角函数值) 用向量求直线与平面所成的角 【
12、例 3】如图，在直三棱柱 A1B1C1ABC 中，ACBC，ACBC1，CC1 2，点 M 是 A1B1的中点 (1)求证：B1C平面 AC1M； (2)求 AA1与平面 AC1M 所成角的正弦值 解(1)证明：在直三棱柱 A1B1C1ABC 中，ACBC，ACBC1，CC1 2，点 M 是 A1B1的中点 以 C 为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则 B1(0,1,2)，C(0,0,0)，A(1,0,0)，C1(0,0,2)，A1(1,0,2)，M 1 2， 1 2，2，B1C (0， 1，2)， AC1 (1,0,2)， AM 1 2， 1 2，2， 设平面 AC1M 的法向量 n(x
13、，y，z)， 则 nAC1 x2z0， nAM 1 2x 1 2y2z0， 取 z1，得 n(2，2,1)， B1C n0，B1C平面 AC1M， B1C平面 AC1M (2)AA1 (0,0,2)，平面 AC1M 的法向量 n(2，2,1)， 设 AA1与平面 AC1M 所成角为， 则 AA1与平面 AC1M 所成角的正弦值： sin |AA1 n| |AA1 |n| 2 23 1 3， 所以 AA1与平面 AC1M 所成角的正弦值为1 3 用向量法求线面角的步骤 (1)建立空间直角坐标系； (2)求直线的方向向量AB ； (3)求平面的法向量 n； (4)计算：设线面角为，则 sin |n
14、AB | |n|AB | 跟进训练 2已知棱台 ABCA1B1C1，平面 AA1C1C平面 A1B1C1，B1A1C160， A1B1C190，AA1ACCC1A1C1 2 ，D，E 分别是 BC 和 A1C1的中点 (1)证明：DEB1C1； (2)求 DE 与平面 BCC1B1所成角的余弦值 解(1)证明：过点 A 作 AO平面 A1B1C1，交 A1C1于点 O，连接 B1O，设 AA1ACCC1A1C1 2 2， 则 A1O1，A1B12，B1OA1C1，B1O 3， 以 O 为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则 B 3 2 ，1 2， 3，C(0,2， 3)，D 3 4 ，5 4
15、， 3，E(0，1，0)，B1( 3，0,0)， C1(0,3,0)， DE 3 4 ，1 4， 3，B1C1 ( 3，3,0)， 又DE B1C1 0，DEB1C1 (2)CB1 ( 3，2， 3)，CC1 (0,1， 3)， 设平面 BCC1B1的法向量 n(x，y，z)， 则 nCB1 3x2y 3z0， nCC1 y 3z0， 取 y 3，得 n(3，3，1)， DE 3 4 ，1 4， 3， 设 DE 与平面 BCC1B1所成角为， 则 sin |DE n| |DE |n| 4 3 13 cos 1 4 3 13 2 11 13 DE 与平面 BCC1B1所成角的余弦值为11 13
16、1知识：掌握线面角的概念以及最小角定理 2方法：(转化思想)利用空间向量求角的基本思路是把空间角转化为求两 个向量之间的关系首先要找出并利用空间直角坐标系或基向量(有明显的线面 垂直关系时尽量建系)表示出向量， 其次理清要求角和两个向量夹角之间的关系 1若直线 l 与平面所成角为 3，直线 a 在平面内，且与直线 l 异面，则直 线 l 与直线 a 所成角的取值范围是() A 0，2 3B 2， 2 3 C 3， 2 3D 3， 2 D由最小角定理知直线 l 与直线 a 所成的最小角为 3， 又 l， a 为异面直线， 则所成角的最大值为 2 2已知长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC
17、4，CC12，则直线 BC1和平 面 DBB1D1所成角的正弦值为() A 3 2 B 5 2 C 10 5 D 10 10 C连接 A1C1交 B1D1于 O 点，由已知得 C1OB1D1，且平面 BDD1B1平 面 A1B1C1D1，C1O平面 BDD1B1，连接 BO，则 BO 为 BC1在平面 BDD1B1上 的射影，C1BO 即为所求 C1O1 2 4 2422 2， BC1 42222 5， sinC1BOC1O BC1 2 2 2 5 10 5 3若平面的一个法向量为(1,1,1)，直线 l 的方向向量为(0,3,4)，则 l 与所 成角的正弦值为_ 7 3 15 设 l 与平面
18、所成的角为， 则 sin |101314| 3 023242 7 3 25 7 3 15 4在正三棱锥 PABC 中，PA4，AB 3，则侧棱 PA 与底面 ABC 所成角 的正弦值为_ 15 4 如图， 在正三棱锥 PABC 中，PA4，AB 3， 设 P 在底面上的射影为 O，则 O 为ABC 的中心， 由已知求得 AO1，又 PA4， PO 4212 15 sinPAOPO PA 15 4 即侧棱 PA 与底面 ABC 所成角的正弦值为 15 4 5 在正四棱锥 SABCD 中， O 为顶点在底面上的射影， P 为侧棱 SD 的中点， 且 SOOD，求直线 BC 与平面 PAC 所成的角 解以 O 为原点建立空间直角坐标系 Oxyz， 设 ODSOOAOBOCa， 则 A(a,0,0)，B(0，a,0)， C(a，0,0)， P 0，a 2， a 2 ， 从而CA (2a,0,0)，AP a，a 2， a 2 ，CB (a，a,0) 设平面 PAC 的一个法向量为 n，可求得 n(0,1,1)， 则 cosCB ，n CB n |CB |n| a 2a2 2 1 2 所以CB n60 所以直线 BC 与平面 PAC 所成的角为 906030
