1、1.2.5空间中的距离 学 习 目 标核 心 素 养 1掌握向量长度计算公式(重点) 2会用向量方法求两点间的距离、点到平面的 距离、直线到平面的距离和面到面的距离(重 点、难点) 通过学习空间距离的求解，提 升逻辑推理、数学运算素养 “距离”在生活中随处可见，其概念是从生活中的具体问题中抽象出来的. 义务教育阶段已经学过点与点之间的距离， 那么在空间中两个图形之间的距离又 是怎样呢？ 1空间中两点之间的距离 空间中两点之间的距离指的是这两个点连线的线段长 思考 1：在空间中怎样求两点之间的距离？ 提示利用向量法转化为求向量的模 2点到直线的距离 给定空间中一条直线 l 及 l 外一点 A，
2、因为 l 与 A 能确定一个平面， 所以过 A 可以作直线 l 的一条垂线段，垂线段的长称为点 A 到直线 l 的距离 3点到平面的距离 (1)给定空间中一个平面及外一点 A，过 A 可以作平面的一条垂线段，垂 线段的长称为点 A 到平面的距离 提醒：点到平面的距离是这个点与平面内点的最短连线的长度 (2)一般地，若 A 是平面外一点，B 是平面内一点，n 是平面的一个法向 量，则点 A 到平面的距离为 d|BA n| |n| 提醒：若点 A 是平面内一点，则约定 A 到平面的距离为 0 4相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离 (1)当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面
3、的距离称为这条直线与这 个平面之间的距离，如果直线 l 与平面平行，n 是平面的一个法向量，A、B 分别是 l 上和内的点，则直线 l 与平面之间的距离为 d|BA n| |n| (2)当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这 两个平行平面之间的距离 如果平面与平面平行，n 是平面的一个法向量，A 和 B 分别是平面和平 面内的点，则平面和平面之间的距离为 d|BA n| |n| 思考 2：线面距、面面距与点面距有什么关系？ 提示： 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)可以用|AB | |AB |2 AB AB，求空间两点 A、B 的距离 () (2)设 n
4、是平面的法向量，A 是平面内一点，AB 是平面的一条斜线，则 点 B 到的距离为 d|AB n| |n| () (3)若直线 l 与平面平行，直线 l 上任意一点与平面内任意一点的距离就是 直线 l 与平面的距离() 答案(1)(2)(3) 提示(1)(2) (3)直线上任意一点到平面的垂线段的长度 2设 A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则 AB 的中点 M 到点 C 的距离|CM|等于 () A 53 4 B53 2 C 53 2 D 13 2 CM点坐标为 2，3 2，3， |MC|202 3 21 2 302 53 2 3在四面体 PABC 中，PA，PB，PC 两
5、两垂直，M 是平面 ABC 内一点， 且点 M 到其他三个平面的距离分别是 2,3,6，则点 M 到顶点 P 的距离是() A7B8C9D10 A以 P 为坐标原点， PA ， PB，PC 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建 立空间直角坐标系(图略)，由题意，得|MP| 2232627 4 已知平面的一个法向量 n(1,0,1)， 点 A(1,1,0)在内， 则平面外点 P( 1,1,1)到平面的距离为_ 2 2 AP (0,0,1)，n(1,0,1)，d|AP n| |n| 1 2 2 2 空间两点间的距离 【例 1】如图所示，正方形 ABCD， ABEF 的边长都是 1， 而且
6、平面 ABCD， ABEF 互相垂直， 点M在AC上移动， 点N 在BF上移动， 若CMBNa(0a 2) (1)求 MN 的长； (2)a 为何值时，MN 的长最小？ 思路探究建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用两点间距离公式求 解 解(1)建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A(1,0,0)，F(1,1,0)， C(0,0,1) 因为 CMBNa(0a 2)，且四边形 ABCD，ABEF 为正方形， 所以 M 2 2 a，0，1 2 2 a ，N 2 2 a， 2 2 a，0 ， 所以MN 0， 2 2 a， 2 2 a1 ， 所以|MN | a2 2a1(0a 2) (2)由(1)知
7、MN a 2 2 2 1 2，所以，当 a 2 2 时，MN 2 2 即当 a 2 2 时，MN 的长最小，最小值为 2 2 计算两点间的距离的两种方法 (1)利用|a|2aa，通过向量运算求|a|，如求 A，B 两点间的距离，一般用|AB | |AB |2 AB AB求解 (2)用坐标法求向量的长度(或两点间距离)， 此法适用于求解的图形适宜建立 空间直角坐标系时 跟进训练 1 如图所示， 在 120的二面角AB中， AC， BD且 ACAB， BDAB， 垂足分别为 A，B，已知 ACABBD6，试求线段 CD 的长 解ACAB，BDAB， CA AB 0，BD AB 0， 又二面角AB的
8、平面角为 120， CA ， BD 60， |CD|2|CD |2(CA AB BD )2 CA 2AB2BD22(CA AB CA BD BD AB ) 362262cos 60144， CD12 点到直线的距离 探究问题 1如何理解与认识点到直线的距离？ 提示点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度，由于直线与直线外 一点确定一个平面， 所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点 到直线的距离问题 (1)点在直线上时，点到直线的距离为 0 (2)点在直线外时，点到直线的距离即为此点与过此点向直线作垂线的垂足 间的距离即点到直线的距离可转化为两点间的距离 2如何用向量法求点到直线的
9、距离？ 提示设出点在直线上的射影，利用垂直关系求出射影的坐标转化为求向 量的模 【例 2】已知直三棱柱 ABCA1B1C1中，AA11，AB4，BC3，ABC 90，求点 B 到直线 A1C1的距离 思路探究建立空间直角坐标系，利用向量法求解 解以 B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 则 A1(4,0,1)，C1(0,3,1)， 所以A1C1 (4,3,0) 设 E 满足A1E A1C1 ，且 BEA1C1， 则BE BA 1 A1E (4,0,1)(4,3,0)(44，3，1)，又BE A 1C1 ， (44，3，1)(4,3,0)0，16 25 BE 4416 25，3 16 25，
10、1， |BE | 36 25 2 48 25 2 1213 5 ， B 到直线 A1C1的距离为13 5 1(变问法)条件不变，试求 B 到 AC1的距离 解建系如本例解法AC1 (4,3,1)，设 M 满足AM AC1 且BM AC1 0， 则BM BA AM (4,0,0)(4,3,1)(44，3，) 又BM AC1 0，(44，3，)(4,3,1)0， 8 13， BM 484 13 ，83 13 ， 8 13 20 13， 24 13， 8 13 ， |BM | 20 13 2 24 13 2 8 13 2 4 65 13 ， B 到 AC1的距离为4 65 13 2(变条件)若将本例
11、中的条件改为“正三棱柱 ABCA1B1C1且所有棱长均为 2”，如何求 B 到 A1C1的距离 解以 B 为原点，分别以 BA，过 B 垂直于 BA 的直线，BB1为 x，y，z 轴 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 B(0,0,0)，A1(2,0,2)，C1(1，3，2)，BA1 (2,0,2) 所以 A1C1的方向向量A1C1 (1，3，0)，而BC1 (1，3，2)， 设 E 满足A1E A1C1 且 BEA1C1， BE BA 1 A1E (2,0,2)(1，3，0)(2， 3，2)， 又BE A 1C1 (2， 3，2)(1，3，0)0， 230，1 2，BE 3 2， 3 2 ，
12、2 |BE | 3 2 2 3 2 2 22 7， B 到 A1C1的距离为 7 求点 M 到直线 AB 的距离的方法与步骤 (1)建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，在已知直线 AB 上取一点 E， 点 E 满足两个条件：AE AB，MEAB (2)利用(1)中的两个等量关系求出的值， 进而求出点E的坐标， 求出向量|ME | 的模即为 M 点到 AB 的距离 点到平面的距离 【例 3】如图所示，已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 a，求点 A 到 平面 A1BD 的距离 思路探究本题可以利用等体积法求解，也可以通过建系利用向量法求 解 解法一：设点 A 到平面 A1BD 的距
13、离为 h，则 VBAA1D1 3a 1 2aa 1 6a 3， VAA1BD1 3h 3 4 ( 2a)2 3 6 a2h， VAA1BDVBAA1D， h 3 3 a，点 A 到平面 A1BD 的距离为 3 3 a 法二：如图所示，建立空间直角坐标系 B1xyz，则 A1(a,0,0)，A(a,0，a)，D(a， a，a)，B(0,0，a)， 则BD (a，a,0)，A1D (0，a，a)，AB (a,0,0) 设平面 A1BD 的一个法向量 n(x，y，z)， 则 nBD 0， nA1D 0， 即 axay0， ayaz0， xy0， yz0. 令 y1，则 xz1， n(1，1,1) A
14、B n(a,0,0)(1，1,1)a 点 A 到平面 A1BD 的距离 d|AB n| |n| |a| 3 3 3 a 用向量法求点面距的方法与步骤 (1)建坐标系：结合图形的特点建立恰当的空间直角坐标系； (2)求向量：在坐标系中求出点到平面内任一点对应的向量AB ； (3)求法向量：设出平面的法向量，利用向量垂直的条件转化为求解方程组， 求出法向量 n； (4)得答案：代入公式 d|AB n| |n| 求得答案 提醒：用向量法求点到平面的距离的关键是确定平面的法向量 跟进训练 2如图所示，已知ABC 是以B 为直角的直角三角形，SA平面 ABC， SABC2，AB4，M，N，D 分别是 S
15、C，AB，BC 的中点，求点 A 到平面 SND 的距离 解建立如图所示的空间直角坐标系，则 N(0,2,0)，S(0,0,2)，D(1,4,0)， NS (0，2,2)，SD(1,4，2) 设平面 SND 的法向量为 n(x，y,1) nNS 0，nSD0， 2y20， x4y20， x2， y1. n(2,1,1)，AS (0,0,2) 点 A 到平面 SND 的距离为|nAS | |n| 2 6 6 3 线面平行、平行平面间的距离 【例 4】如图，矩形 ADFE 和梯形 ABCD 所在平面互相垂直，ABCD， ABCADB90，CD1，BC2，DF1 (1)求证：BE平面 DCF； (2
16、)求点 B 到平面 DCF 的距离 解(1)证明：由已知可得 AEDF， ABDC， AEABA， DFDCD， AE，AB平面 ABE， DF，DC平面 DFC 平面 ABE平 面 DFC， BE平面 ABE，BE平面 DCF (2)如图，以 D 为原点，建立空间直角坐标系 ABCD，ABCADB90， 则ADBBCDAD BC DB CD， CD1，BC2BD 5， AD2 5，AB5，F(0,0,1)， D(0,0,0)，A(2 5，0,0)，B(0，5，0)，C 2 5， 1 5，0，BF (0， 5，1)， CF 2 5， 1 5，1，DC 2 5， 1 5，0 设平面 DCF 的法
17、向量为 n(x，y，z)， 则 nDC 0， nCF 0， 2 5x 1 5yz0， 2 5x 1 5y0. 令 x1，y2，z0n(1，2，0). d|BF n| |n| 2B 到平面 DCF 的距离为 2 求直线与平面间的距离，往往转化为点到平面的距离求解，且这个点要适当 选取，以求解最为简单为准则，求直线到平面的距离的题目不多，因直线到平面 的距离可以用点到平面的距离求解， 但在求点到平面的距离时有时用直线到平面 的距离进行过渡. 跟进训练 3正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，求平面 A1BD 与平面 B1CD1间的距 离 解以 D 为原点， 建立如图所示的空间直角坐标系，
18、则 A1(1,0,1)， B(1,1,0)， D1(0,0,1)， A1B (0,1，1)，A1D (1,0，1)，A1D1 (1,0,0) 设平面 A1BD 的一个法向量为 n(x，y，z)， 则 nA1B 0， nA1D 0 yz0， xz0. 令 z1，得 y1，x1，n(1,1,1) 点 D1到平面 A1BD 的距离 d|A1D1 n| |n| 1 3 3 3 平面 A1BD 与平面 B1CD1间的距离等于点 D1到平面 A1BD 的距离， 平面 A1BD 与平面 B1CD1间的距离为 3 3 1空间中各种距离一般都可以转化为点点距、点线距、点面距，其中点点 距、 点线距最终都可用空间
19、向量的模来求解，而点面距则可由平面的法向量来求 解 2要熟练地掌握平面法向量的求法，其基本方法是待定系数法，还要学会 单位法向量的求法 1已知平面的一个法向量 n(2，2,1)，点 A(1,3,0)在内，则 P( 2,1,4)到的距离为() A10B3 C8 3 D10 3 DAP (1，2,4)，d|AP n| |n| 10 3 2已知平面的一个法向量 n(2，2,1)，点 A(x,3,0)在平面内，则点 P(2,1,4)到平面的距离为10 3 ，则 x() A1B11 C1 或11D21 CPA (x2,2，4)，而 d|PA n| |n| 10 3 ，即|2x244| 441 10 3
20、，解得 x1 或11 3若正四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面边长为 1，AB1与底面 ABCD 成 60 角，则 A1C1到底面 ABCD 的距离为() A 3 3 B1C 2D 3 D如图，A1C1平面 ABCD，所以 A1C1到平面 ABCD 的距离等于点 A1到 平面 ABCD 的距离， 由 AB1与平面 ABCD 所成的角是 60， AB1 BB1 3 即 点 A1到平面 ABCD 的距离为 3 4在 RtABC 中， C30，B90 D 是 BC 边的中点，AC2，DE 平面 ABC，DE1，则点 E 到斜边 AC 的距离是_ 19 4 作 DHAC 于点 H，连接 EH(图略
21、)因为 DE平面 ABC，所以 DEAC，因为 DEDHD，所以 AC平面 DEH，所以 EHAC，所以 EH 即 为所求距离由B90，C30，AC2，得 BC 3因为 D 是 BC 边上 的中点，所以 DH1 2CD 1 4BC 3 4 又 DE1，所以 EH DE2DH2 19 4 5三棱柱 A1B1C1ABC 是各条棱长均为 a 的正三棱柱，D 是侧棱 CC1的中 点 (1)求证：平面 AB1D平面 ABB1A1； (2)求点 C 到平面 AB1D 的距离 解如图所示，以 B 为原点，过点 B 与 BC 垂直的直线为 x 轴，BC 所在 直线为 y 轴，BB1所在直线为 z 轴，建立空间
22、直角坐标系，则 A 3 2 a，a 2，0， A1 3 2 a，a 2，a，B1(0，0，a)，D 0，a，a 2 ，C(0，a,0) (1)证明：取 AB1中点 M，则 M 3 4 a，a 4， a 2 DM 3 4 a，3 4a，0， AA1 (0,0，a)，AB1 3 2 a，a 2，a DM AA1 0，DM AB1 0 DMAA1，DMAB1， 又 AA1AB1A，DM平面 ABB1A， 又 DM平面 AB1D， 平面 AB1D平面 ABB1A1 (2)由(1)知 A1BDM A1B AB1 3 2 a，a 2，a 3 2 a，a 2，a3 4a 2a2 4 a20， A1BAB1，A1B平面 AB1D A1B 是平面 AB1D 的一个法向量， 故点 C 到平面 AB1D 的距离为 d |AC A1B | |A1B | | 3 2 a，a 2，0 3 2 a，a 2，a | 2a 2 4 a
