1、1 2.2直线及其方程 2.2.1直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率 课后篇巩固提升 基础达标练 1.若直线过坐标平面内两点(1,2),(4,2+ 3),则此直线的倾斜角是() A.30B.45C.60D.90 解析由题意知 k=2+ 3-2 4-1 ? 3 3 , 直线的倾斜角为 30. 答案 A 2.(多选)下列说法中,不正确的有() A.任何一条直线都有唯一的斜率 B.直线的倾斜角越大,它的斜率就越大 C.任何一条直线都有唯一的倾斜角 D.任何一条直线都能找出方向向量 解析 A 错,因为倾斜角为 90的直线没有斜率;B 错,因为当 00,当 90180 时,k0;C 对,D 对. 答案
2、 AB 3.若某直线的斜率 k(-, 3,则该直线的倾斜角的取值范围是() A. 0, 3 B. 3 , 2 2 C. 0, 3 2, D. 3, 解析直线的斜率 k(-, 3,ktan 3,该直线的倾斜角的取值范围是 0, 3 2, .故选 C. 答案 C 4.在平面直角坐标系中,正三角形 ABC 的 BC 边所在直线的斜率是 0,则 AC,AB 边所在直线的斜率之 和为() A.-2 3B.0 C. 3D.2 3 解析由 BC 边所在直线的斜率是 0 知,直线 BC 与 x 轴平行或重合,所以直线 AC,AB 的倾斜角互为补 角,根据直线斜率的定义知,直线 AC,AB 的斜率之和为 0.故
3、选 B. 答案 B 5.若图中直线 l1,l2,l3的斜率分别为 k1,k2,k3,则() A.k1k2k3 B.k3k1k2 C.k3k2k1 D.k1k3k2 解析由题图可知,k10,k30, 且 l2比 l3的倾斜角大,k1k3k2. 答案 D 6.已知直线 l 的倾斜角为 2-20,则的取值范围是. 3 解析由 02-20180,得 10100.故的取值范围为10,100). 答案10,100) 7.已知点 A(2,-1),若在坐标轴上存在一点 P,使直线 PA 的倾斜角为 45,则点 P 的坐标为. 解析若设点 P 的坐标为 P(x,0), 则 k=0-(-1) ?-2 =tan 4
4、5=1, x=3,即 P(3,0). 若设点 P 的坐标为 P(0,y), 则 k=?-(-1) 0-2 =tan 45=1, y=-3,即 P(0,-3). 答案(3,0)或(0,-3) 8.已知直线 PQ 的斜率为- 3,将直线绕点 P 顺时针旋转 60所得的直线的斜率是. 解析 设直线 PQ 的倾斜角为,则 0180, kPQ=- 3, tan =- 3,则=120. 将直线绕点 P 顺时针旋转 60, 所得直线的倾斜角 60, 其斜率为 tan 60= 3. 答案3 9.已知 A(1,2),B(-2,-4),C 2,7 2 ,D(x,-2). (1)证明:A,B,C 三点共线; (2)
5、若DAB= 2,求 x 的值. 4 (1)证明 A(1,2),B(-3,-4),C 2,7 2 , kAB=-4-2 -3-1 ? 3 2,kAC= 7 2-2 2-1 ? 3 2, kAB=kAC, A,B,C 三点共线. (2)解由?t ? ?=(-4,-6),?t? ?=(x-1,-4), 若DAB= 2,则?t ? ?t? ?=0, 即-4(x-1)+24=0,解得 x=7, x 的值为 7. 10.已知两点 A(-3,4),B(3,2),过点 P(2,-1)的直线 l 与线段 AB 有公共点,求直线 l 的斜率 k 的取值范围. 解直线 l 与线段 AB 有公共点, 直线 l 的倾斜
6、角介于直线 PB 与 PA 的倾斜角之间,当 l 的倾斜角等于 90时,斜率不存在;当 l 的倾斜角小于 90时,kkPB;当 l 的倾斜角大于 90时,kkPA. kPA= -1-4 2-(-3)=-1,kPB= -1-2 2-3=3, 直线 l 的斜率 k 的取值范围是(-,-13,+). 能力提升练 1.直线 l 经过 A(2,1),B(3,t2)(tR)两点,则直线 l的倾斜角的取值范围是() A. 0, 4 B.0, C. 0, 2 3 4 , 5 D. 0, 4 2, 解析由题意可得,直线的斜率 k=t2-1-1, 故 tan -1, 根据正切函数的性质可知,0 2 或 3 4 ,
7、 故选 C. 答案 C 2.若 a=ln2 1 ,b=ln3 2 ,c=ln5 4 ,则() A.abcB.cba C.cabD.bac 解析ln? ?-1 ? ln?-0 ?-1 表示函数 y=ln x 图像上的点(x,y)与点 D(1,0)连线的斜率,如图所示. 令 a=kDA,b=kDB,c=kDC,由图知 kDCkDBkDA,即 cba. 答案 B 3.若直线 l 的倾斜角满足2 3 5 6 ,则其斜率 k 的范围为() A.(1, 3B.- 3,-1 C. - 3,- 3 3 D. 3 3 , 3 解析直线 l 的倾斜角满足2 3 5 6 ,且 k=tan , 6 又 tan2 3
8、=- 3,tan5 6 =- 3 3 ,函数 y=tan x 在 2, 上单调递增,k的范围为 - 3,- 3 3 . 故选 C. 答案 C 4.(2019 静安区一模)若直线 l 的一个法向量为 n=(2,1),则直线 l 的斜率 k=. 解析根据题意,设直线 l的斜率为 k,则其方向向量为 a=(1,k), 若直线 l 的一个法向量为 n=(2,1),则有 an=2+k=0,解得 k=-2. 答案-2 5.若三点 A(3,1),B(-2,k),C(8,1)能构成三角形,则实数 k 的取值范围为. 解析 kAB= ?-1 -2-3 ? 1-? 5 ,kAC=1-1 8-3 ? 0 5=0.
9、要使 A,B,C 三点能构成三角形,需三点不共线, 即 kABkAC,1-? 5 0,k1. 答案(-,1)(1,+) 6.已知 A(3,3),B(-4,2),C(0,-2). (1)求直线 AB 和 AC 的斜率; (2)若点 D 在线段 BC(包括端点)上移动,求直线 AD 的斜率的变化范围. 解(1)由斜率公式,可得直线 AB 的斜率 kAB= 2-3 -4-3 ? 1 7,直线 AC 的斜率 kAC= -2-3 0-3 ? 5 3,即直线 AB 的斜率为 1 7,直线 AC 的斜率为 5 3. 7 (2)如图,当点 D 由点 B 运动到点 C 时,直线 AD 的斜率由 kAB增大到 k
10、AC,由(1)知,kAB=1 7,kAC= 5 3. 故直线 AD 的斜率的变化范围是 1 7 , 5 3 . 素养培优练 1.一束光线从点 A(-2,3)射入,经 x 轴上点 P反射后,经过点 B(5,7),则点 P 的坐标为. 解析方法一:设 P(x,0),由光的反射原理知,入射角等于反射角,即=,如图. 所以反射光线 PB 的倾斜角与入射光线 AP 的倾斜角(-)互补, 因此,kAP=-kBP,即 0-3 ?-(-2)=- 0-7 ?-5,解得 x= 1 10,即 P 1 10,0 . 图 图 方法二:由题意知,x 轴是镜面,易知入射点 A(-2,3)关于 x 轴的对称点为 A(-2,-
11、3). 由光学知识知点 A应在反射光线所在的直线上,即 A,P,B 三点共线,如图. 从而有 kAP=kPB,即0+3 ?+2 ? 7 5-?, 8 解得 x= 1 10,即 P 1 10 ,0 . 答案 1 10,0 2.设直线 l 与坐标轴的交点分别为 M(a,0),N(0,b),且 ab0,斜率为 k,坐标原点到直线 l 的距离为 d. 试证:(1)b=-ka; (2)a2k2=d2(1+k2); (3) 1 ?2 ? 1 ?2 + 1 ?2. 证明(1)由斜率公式得 k=?-0 0-?=- ? ?,所以 b=-ka. (2)由面积公式可得 SOMN=1 2|a|b|= 1 2d ? 2+ ?2,所以 a2b2=d2(a2+b2). 又由(1)b=-ka 可得 b2=k2a2,代入上式即得 a2k2=d2(1+k2). (3)由(2)中 a2b2=d2(a2+b2), 可得 1 ?2 ? ?2+?2 ?2?2 ? 1 ?2 + 1 ?2, 即 1 ?2 ? 1 ?2 + 1 ?2.
