1、1 2.2.4点到直线的距离点到直线的距离 课后篇巩固提升 基础达标练 1.原点到直线 x+2y-5=0 的距离为() A.1B. 3C.2D. 5 解析 d=|0+20-5| 12+22 ?5. 答案 D 2.设两条直线的方程分别为 x+y-a=0,x+y+b=0,已知 a,b 是关于 x的方程 x2+x+c=0 的两个实数根,则 这两条直线之间的距离是() A. 2 4 B. 2 C. 2 2 D.无法确定 解析a,b 是关于 x的方程 x2+x+c=0 的两个实数根,=1-4c0,a+b=-1, 则这两条直线之间的距离=|?+?| 2 ? 2 2 .故选 C. 答案 C 3.已知直线 3
2、x+my-3=0 与 6x+4y+1=0 互相平行,则它们之间的距离是() A.4B.2 13 13 C.5 13 26 D.7 13 26 2 解析3x+my-3=0 与 6x+4y+1=0 平行,3 6 ? ? 4,m=2,化 6x+4y+1=0 为 3x+2y+ 1 2=0,d= 1 2-(-3) 32+22 ? 7 2 13 ? 7 13 26 . 答案 D 4.已知点 A(1,3),B(3,1),C(-1,0),则ABC 的面积等于() A.3B.4C.5D.6 解析设 AB 边上的高为 h,则 SABC=1 2|AB|h, |AB|= (3-1)2+ (1-3)2=2 2, AB
3、边上的高 h 就是点 C 到直线 AB 的距离, AB 边所在的直线方程为?-3 1-3 ? ?-1 3-1, 即 x+y-4=0. 点 C 到直线 x+y-4=0 的距离为|-1+0-4| 2 ? 5 2,因此,SABC= 1 22 2 5 2=5. 答案 C 5.直线 l 过点 A(3,4),且与点 B(-3,2)的距离最远,则直线 l 的方程为() A.3x-y-5=0B.3x-y+5=0 C.3x+y+13=0D.3x+y-13=0 解析由题意知,当 l与 AB 垂直时,符合要求, 因为 kAB= 4-2 3-(-3) ? 1 3, 所以直线 l 的斜率 k=-3. 所以直线 l 的方
4、程为 y-4=-3(x-3), 即 3x+y-13=0. 3 答案 D 6.已知 0k0)在两坐标轴上的截距相等,则直线 l1与直线 l2:3x+3y-1=0 间的距离 为() A.4 2 3 B. 2 C. 2 2 或 2D.0 或 2 解析直线 l1:mx+2y-4-m=0(m0)在两坐标轴上的截距相等,?+4 ? ? ?+4 2 ,m=2.直线 l1:x+y-3=0,即 3x+3y-9=0.故直线 l1与直线 l2:3x+3y-1=0 间的距离为|-1-(-9)| 9+9 ? 4 2 3 .故选 A. 答案 A 5.若直线 l1:ax+y-1=0 与直线 l2:x+ay+1=0 平行,则
5、两条平行直线之间的距离为() A.1B. 2C.2D.2 2 解析直线 l1:ax+y-1=0 与直线 l2:x+ay+1=0 平行,则 a2-1=0,解得 a=1. 当 a=-1 时,直线 l1:x-y+1=0 与直线 l2:x-y+1=0 重合,故舍去. 当 a=1 时,直线 l1:x+y-1=0 与直线 l2:x+y+1=0 平行. 7 故两条平行直线之间的距离 d=|-1-1| 2 ?2. 故选 B. 答案 B 6.已知两条平行直线 l1,l2分别过点 P(1,1),Q(0,-1),当 l1,l2间的距离最大时,直线 l1的方程 为. 解析由题意可得,l1,l2间的距离最大时,PQ 和
6、这两条直线都垂直. 由于 PQ 的斜率为 1+1 1-0=2, 故直线 l1的斜率为-1 2, 故它的方程是 y-1=-1 2(x-1),化简为 x+2y-3=0. 答案 x+2y-3=0 7.已知直线过两直线 x- 3y+1=0 和 3x+y- 3=0 的交点,且原点到该直线的距离为1 2,则该直线的方程 为. 解析联立 ?- 3? + 1 ? 0, 3? + ?- 3 ? 0,解得 ? ? 1 2 , ? ? 3 2 , 故交点的坐标为 A 1 2, 3 2 . 当经过点 A 的直线的斜率不存在时,其方程为 x=1 2,原点(0,0)到直线 x= 1 2的距离为 1 2,符合题意; 当直线
7、斜率存在时,设经过点 A 的直线的方程为 y- 3 2 =k ?- 1 2 , 即 kx-y-1 2k+ 3 2 =0, 由于原点(0,0)到方程为 kx-y-1 2k+ 3 2 =0 的直线的距离 d= -1 2?+ 3 2 1+?2 ? 1 2, 8 解得 k= 3 3 ,故所求直线的方程为 x- 3y+1=0. 答案 x=1 2或 x- 3y+1=0 8.已知三角形的三个顶点分别是 A(4,1),B(7,5),C(-4,7),求角 A 的平分线的方程. 解设 P(x,y)为角 A 的平分线上任一点, 则点 P到直线 AB 与到直线 AC 的距离相等,由两点式得直线 AB 的方程为?-1
8、5-1 ? ?-4 7-4, 即 4x-3y-13=0,直线 AC 的方程为?-1 7-1 ? ?-4 -4-4, 即 3x+4y-16=0. 所以由点到直线的距离公式, 得|4?-3?-13| 42+(-3)2 ? |3?+4?-16| 32+42 , 即|4x-3y-13|=|3x+4y-16|, 即 4x-3y-13=(3x+4y-16), 整理得 x-7y+3=0 或 7x+y-29=0. 易知 x-7y+3=0 是角 A 的外角平分线的方程,7x+y-29=0 是角 A 的平分线的方程. 9.如图,在等腰梯形 ABCD 中,ABCD,边 AB 所在直线方程为 2x-y-2=0,点 C
9、(2,0),|BC|=1,B 为第一象 限上的点. (1)求点 B 坐标; (2)求 AB 边上的高 CE 所在直线的方程; 9 (3)求直线 AB 与直线 CD 之间的距离. 解(1)设 B(a,2a-2),C(2,0),|BC|=1, (?-2)2+ (2?-2)2=1,解得 a=1 或 a=7 5. B 为第一象限上的点,2a-20,即 a1. a=7 5,则 B 7 5, 4 5 . (2)边 AB 所在直线方程为 2x-y-2=0, kCE=- 1 ?=- 1 2. 又CE 经过点 C(2,0),AB 边上的高 CE 所在直线的方程为 y=-1 2x+1,即 x+2y-2=0. (3
10、)ABCD,kCD=kAB=2. 点 C(2,0), 直线 CD 的方程为 y=2(x-2), 即 2x-y-4=0. 又 AB 所在直线方程为 2x-y-2=0, 则直线 AB 与直线 CD 之间的距离 d=|-4-(-2)| 5 ? 2 5 5 . 素养培优练 1.(多选)S= 直线 l sin? ? x+cos? ? y=1,m,n 为正常数,0,2) ,下列结论中错误的是() A.当= 4时,S 中直线的斜率为 ? ? B.S 中所有直线均经过同一个定点 C.当 mn 时,S 中的两条平行直线之间的距离的最小值为 2n 10 D.S 中的所有直线可覆盖整个直角坐标平面 解析当= 4时,
11、sin =cos ,S 中直线的斜率为- ? ?,故 A 不正确; 根据sin? ? x+cos? ? y=1,可知 S 中所有直线不可能经过一个定点,B 不正确; 当 mn 时,S 中的两条平行直线间的距离为 d= 2 sin2? ?2 +cos2? ?2 2n,即最小值为 2n,C 正确; (0,0)不满足方程,S 中的所有直线不可覆盖整个平面,D不正确. 答案 ABD 2.已知 P 为等腰ABC 的底边 BC 上一点(不含端点),PMAB 于点 M,PNAC 于点 N,证 明:|PM|+|PN|为定值. 证明以 BC 的中点 O 为原点建立如图所示的直角坐标系,设 B(-a,0),C(a,0)(a0),A(0,b),P(x1,0),a,b 为 定值,-ax10. 所以 AB 的方程是 bx-ay+ab=0,AC 的方程是 bx+ay-ab=0. 由点到直线的距离公式,得|PM|=|?1+?| ?2+?2 ,|PN|=|?1-?| ?2+?2. 因为 a0,b0,所以 ab0,-ab0,bx1-ab0. 所以|PM|+|PN|=?1+?-(?1-?) ?2+?2 ? 2? ?2+?2为定值. 同理可求证,当 b0 时,|PM|+|PN|= -2? ?2+?2为定值. 11
