1、1 1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系空间向量的坐标与空间直角坐标系 课后篇巩固提升 基础达标练 1.已知 a=(1,-2,1),a+b=(-1,2,-1),则 b 等于() A.(2,-4,2) B.(-2,4,-2) C.(-2,0,-2) D.(2,1,-3) 答案 B 2.向量 a=(1,2,x),b=(2,y,-1),若|a|= 5,且 ab,则 x+y 的值为() A.-2B.2 C.-1D.1 解析由题意得 12+ 22+ ?2=5, 2 + 2y-x = 0, 即 x = 0, y = -1, x+y=-1. 答案 C 3.若ABC 中,C=90,A(1,2,-3k),B
2、(-2,1,0),C(4,0,-2k),则 k 的值为() A. 10B.- 10 C.2 5D.10 2 解析 ? ? ?=(-6,1,2k),?t? ?=(-3,2,-k), 则? ? ?t? ?=(-6)(-3)+2+2k(-k)=-2k2+20=0,k= 10. 答案 D 4.已知 a=(1,2,-y),b=(x,1,2),且(a+2b)(2a-b),则() A.x=1 2,y=-4 B.x=1 2,y=4 C.x=2,y=-1 4 D.x=1,y=-1 解析a+2b=(1+2x,4,4-y),2a-b=(2-x,3,-2y-2),且(a+2b)(2a-b),3(1+2x)=4(2-x
3、),且 3(4-y)=4(-2y-2), 解得 x=1 2,y=-4. 答案 A 5.若ABC 的三个顶点坐标分别为 A(1,-2,1),B(4,2,3),C(6,-1,4),则ABC 的形状是() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 解析 t ? ?=(3,4,2),t? ?=(5,1,3), ? ?=(2,-3,1). 由t ? ?t? ?0,得 A 为锐角;由?t? ? ? ?0,得 C 为锐角;由 t? ? ? ?0,得 B 为锐角.所以ABC 为锐角三 角形. 答案 A 6.已知向量 a=(1,2,3),b=(-2,-4,-6),|c|= 14,若(a+b
4、)c=7,则 a 与 c 的夹角为() 3 A. 6 B. 3 C.2 3 D.5 6 解析 a+b=(-1,-2,-3)=-a,故(a+b)c=-ac=7,得 ac=-7,而|a|= 12+ 22+ 32=14,所 以 cos= ? |?|?|=- 1 2,又因为0,所以= 2 3 . 答案 C 7.已知向量 a=(1,2,3),b=(x,x2+y-2,y),并且 a,b 同向,则 x+y 的值为. 解析由题意知 ab, 所以? 1 = ?2+?-2 2 = ? 3, 即 ? = 3?, ?2+ ?-2 = 2?, 把代入得 x2+x-2=0,即(x+2)(x-1)=0, 解得 x=-2 或
5、 x=1. 当 x=-2 时,y=-6; 当 x=1 时,y=3. 则当 ? = -2, ? = -6 时,b=(-2,-4,-6)=-2a, 向量 a,b 反向,不符合题意,故舍去. 当 ? = 1, ? = 3 时,b=(1,2,3)=a, a 与 b 同向,符合题意,此时 x+y=4. 答案 4 8.已知向量 a=(5,3,1),b= -2,t,-2 5 ,若 a 与 b 的夹角为钝角,则实数 t 的取值范围为. 4 解析由已知得 ab=5(-2)+3t+1 -2 5 =3t-52 5 ,因为 a 与 b 的夹角为钝角,所以 ab0, 即 3t-52 5 0,所以 t52 15. 若 a
6、 与 b 的夹角为 180,则存在0,使 a=b(0), 即(5,3,1)= -2,t,-2 5 , 所以 5 = -2?, 3 = ?, 1 = - 2 5?, 解得 ? = - 5 2, ? = - 6 5, 故 t 的取值范围是 -,-6 5 -6 5, 52 15 . 答案 -,-6 5 -6 5, 52 15 9.已知 O 为坐标原点,?t ? ?=(1,2,3),? ? ?=(2,1,2),? ?=(1,1,2),点 Q在直线 OP 上运动,则当?t? ? ? ?取得最 小值时,求 Q的坐标. 解设? ? ?=? ?,则?t? ? = ?t ? ? ? ? ? ? = ?t ? ?
7、-? ?=(1-,2-,3-2),? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ?-? ?=(2-,1-,2-2), 所以?t ? ? ? ?=(1-,2-,3-2)(2-,1-,2-2)=2(32-8+5)=2 3 -4 3 2-1 3 . 当=4 3时,?t ? ? ? ?取得最小值,此时点 Q 的坐标为 4 3, 4 3, 8 3 . 10.已知正三棱柱 ABC-A1B1C1的底面边长 AB=2,AB1BC1,点 O,O1分别是棱 AC,A1C1的中点.建立如 图所示的空间直角坐标系. (1)求该三棱柱的侧棱长; 5 (2)若 M 为 BC1的中点,试用向量tt1 ?,t ?
8、?,t? ?表示向量t?; (3)求 cos 解(1)设该三棱柱的侧棱长为 h,由题意得 A(0,-1,0),B( 3,0,0),C(0,1,0),B1( 3,0,h),C1(0,1,h),则 t 1 ?=( 3,1,h), ?1?=(- 3,1,h),因为 AB1BC1, 所以t 1 ? ?1?=-3+1+h2=0,所以 h= 2. (2)t? ? = t ? ? + ? ? = t ? ? + 1 2 ?1 ? = t ? ? + 1 2( 1 ? + ? ? ?)=t ? ? + 1 2(tt1 ? + t? ? ? ? t ? ?)=1 2t ? ? + 1 2t? ? ? + 1 2
9、tt1 ?. (3)由(1)可知t 1 ?=( 3,1, 2), ? ?=(- 3,1,0), 所以t 1 ? ? ?=-3+1=-2,|t 1?|= 6,| ? ?|=2, 所以 cos = -2 2 6=- 6 6 . 能力提升练 1.(多选)已知点 P 是ABC 所在的平面外一点,若t ? ?=(-2,1,4),t? ?=(1,-2,1),t? ?=(4,2,0),则( ) A.APAB B.APBP C.BC= 53 D.APBC 解析 t? ? ?t ? ?=-2-2+4=0,t? ? t ? ?,即 APAB,故 A正确; ? ? ? = t ? ? + t? ? ?=(2,-1,
10、-4)+(1,-2,1)=(3,-3,-3), ? ?t? ?=3+6-3=60,AP 与 BP 不垂直,故 B 不正确; ? ? ? = t? ? ? ? t ? ?=(4,2,0)-(-2,1,4)=(6,1,-4),| ? ?|= 62+ 12+ (-4)2= 53,故 C 正确; 假设AP ? ?=kBC? ?,则 1 = 6k, -2 = k, 1 = -4k, 无解,因此假设不成立,即 AP 与 BC 不平行,故 D 不正确. 6 答案 AC 2.已知 A(1,0,0),B(0,-1,1),若?t ? ?+? ? ?与? ? ?(O为坐标原点)的夹角为 120,则的值为( ) A.
11、 6 6 B.- 6 6 C. 6 6 D.6 解析? ? ?=(0,-1,1),?t? ?+? ? ?=(1,-,), cos 120= (?t ?+?t ? ?)? ? |?t ?+? ?|? ? | = 2? 2?2+1 2=- 1 2,可得0,解得=- 6 6 .故选 B. 答案 B 3.已知 A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则t ? ?在t? ?上的投影为 . 解析t ? ?=(5,-6,2)-(1,-1,2)=(4,-5,0), t? ? ?=(1,3,-1)-(1,-1,2)=(0,4,-3), cos= 0-20+0 42+(-5)2 42+(-3)
12、2 =- 20 5 41, t ? ?在t? ?上的投影为|t ? ?|cos = 42+ (-5)2 - 20 5 41 =-4. 答案-4 4.已知点 A,B,C 的坐标分别为(0,1,0),(-1,0,-1),(2,1,1),点 P的坐标为(x,0,z),若?t ? ? t ? ?,?t? ? t? ? ?,则 P点 的坐标为. 解析 ?t ? ?=(-x,1,-z), t ? ?=(-1,-1,-1),t? ?=(2,0,1), 7 ?-1 + ? = 0, -2?-? = 0, ? = -1, ? = 2, P(-1,0,2). 答案(-1,0,2) 5.已知 A,B,C 三点的坐标
13、分别是(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3),t? ? ? = 1 2(t ? ? ? t? ? ?),则点 P 的坐标 是. 解析? ? ?=(6,3,-4),设 P(a,b,c), 则(a-2,b+1,c-2)= 3, 3 2 ,-2 , a=5,b=1 2,c=0,P 5, 1 2,0 . 答案 5, 1 2 ,0 6.如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,侧棱 PA底面 ABCD,AB= 3,BC=1,PA=2,E 为 PD 的中点.建立空间直角坐标系, (1)求 cos; (2)在侧面 PAB 内找一点 N,使 NE平面 PAC,求 N 点的坐标
14、. 解(1)由题意,建立如图所示的空间直角坐标 系,则 A(0,0,0),B( 3,0,0),C( 3,1,0),D(0,1,0),P(0,0,2),E 0,1 2,1 ,从而t? ? ?=( 3,1,0),? ? ?=( 3,0,-2). 8 则 cos= t? ? ? ? ? |t? ? ?|? ? ? | = 3 2 7 = 3 7 14 . 的余弦值为3 7 14 . (2)由于 N 点在侧面 PAB 内,故可设 N 点坐标为(x,0,z),则NE ? ?= -x,1 2,1-z ,由 NE平面 PAC 可得 NE ? ?AP? ? = 0, NE ? ?AC? ? = 0, 即 (-
15、x, 1 2 ,1-z)(0,0,2) = 0, (-x, 1 2 ,1-z)( 3,1,0) = 0, 化简得 z-1 = 0, - 3x + 1 2 = 0, ? x = 3 6 , z = 1, 即 N 点的坐标为 3 6 ,0,1 . 7.已知点 A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5). (1)求以t ? ?,t? ?为边的平行四边形的面积; (2)若|a|= 3,且 a 分别与t ? ?,t? ?垂直,求向量 a. 解(1)t ? ?=(-2,-1,3),t? ?=(1,-3,2), 设为t ? ?,t? ?的夹角, 则 cos = t ? ?t? ? |t ? ?
16、|t? ? | = -2+3+6 4+1+9 1+9+4 = 1 2,sin = 3 2 . S=|AB ? ?|AC? ?|sin =7 3. 以AB ? ?,AC? ?为边的平行四边形面积为 7 3. (2)设 a=(x,y,z), 9 由题意,得 -2?-? + 3? = 0, ?-3? + 2? = 0, ?2+ ?2+ ?2= 3. 解得 ? = 1, ? = 1, ? = 1 或 ? = -1, ? = -1, ? = -1. a=(1,1,1)或 a=(-1,-1,-1). 素养培优练 1.P 是平面 ABC 外的点,四边形 ABCD 是平行四边形,t ? ?=(2,-1,-4)
17、,t? ?=(4,2,0),t? ?=(-1,2,-1). (1)求证:PA平面 ABCD; (2)对于向量 a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),c=(x3,y3,z3),定义一种运算:(ab)c=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-x1y3z2- x2y1z3-x3y2z1,试计算(t ? ? t? ? ?)t? ?的绝对值;说明其与几何体 P-ABCD 的体积关系,并由此猜想向量这 种运算(t ? ? t? ? ?)t? ?的绝对值的几何意义. (1)证明 t? ? ?t ? ?=(2,-1,-4)(-1,2,-1)=-2+(-2)+4=0, t? ? ? t ? ?
18、,即 APAB.同理,t? ?t? ?=(-1,2,-1)(4,2,0)=-4+4+0=0,t? ? t? ? ?,即 PAAD.又 AB 平面 ABCD,AD平面 ABCD,ABAD=A, PA平面 ABCD. (2)解|(t ? ? t? ? ?)t? ?|=48,又 cos= 3 105, |t ? ?|= 21,|t? ?|=2 5,|t? ?|= 6, V=1 3?t ? ?|t? ?|sin|t? ?|=16,可得|(t ? ? t? ? ?)t? ?|=3VP-ABCD. 猜测:|(t ? ? t? ? ?)t? ?|在几何上可表示以 AB,AD,AP 为棱的平行六面体的体积(或
19、以 AB,AD,AP 为 棱的四棱柱的体积). 2.正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中,底面 ABCD 是边长为 4 的正方形,A1C1与 B1D1交于点 N,BC1与 B1C交 于点 M,且 AMBN,建立空间直角坐标系. (1)求 AA1的长; 10 (2)求; (3)对于 n 个向量 a1,a2,an,如果存在不全为零的 n 个实数1,2,n,使得1a1+2a2+nan=0 成立, 则这 n 个向量 a1,a2,an叫做线性相关,不是线性相关的向量叫线性无关,判断t? ?, ? ?,? ?是否线性相 关,并说明理由. 解(1)以 D 为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为 x 轴、
20、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系. 设 AA1的长为 a, 则 B(4,4,0),N(2,2,a), ? ? ?=(-2,-2,a),A(4,0,0),M 2,4,? 2 ,t? ? = -2,4, ? 2 ,由 ? ? ? t? ?,得 ? ?t?=0,即 a=2 2,即 AA1=2 2. (2) ? ? ?=(-2,-2,2 2),t?1?=(-4,0,2 2), cos= ? ?t?1? | ? ?|t?1? | = 6 3 , =arccos 6 3 . (3)由AM ? ?=(-2,4, 2),BN? ?=(-2,-2,2 2),CD? ?=(0,-4,0), 1(-2,4, 2)+2(-2,-2,2 2)+3(0,-4,0)=(0,0,0), 得1=2=3=0,则AM ? ?,BN? ?,CD? ? 线性无关.
