1、课时分层作业(二)空间向量基本定理 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1若 a 与 b 不共线且 mab，nab，p2a，则() Am，n，p 共线Bm 与 p 共线 Cn 与 p 共线Dm，n，p 共面 Dp2amn，即 p 可由 m，n 线性表示，所以 m，n，p 共面 2对空间任一点 O 和不共线三点 A，B，C，能得到 P，A，B，C 四点共面 的是() AOP OA OB OC BOP 1 3OA 1 3OB 1 3OC COP OA 1 2OB 1 2OC D以上皆错 BOP 1 3OA 1 3OB 1 3OC ， 3OP OA OB OC ， OP OA (OB OP )(O
2、C OP )， AP PBPC ， PA PBPC ，P，A，B，C 共面 3已知正方体 ABCDABCD，点 E 是 AC的中点，点 F 是 AE 的三等分点，且 AF1 2EF，则AF 等于( ) AAA 1 2AB 1 2AD B1 2AA 1 2AB 1 2AD C1 2AA 1 6AB 1 6AD D1 3AA 1 6AB 1 6AD D由条件 AF1 2EF 知，EF2AF， AEAFEF3AF， AF 1 3AE 1 3(AA AE ) 1 3(AA 1 2AC ) 1 3AA 1 6(AD AB )1 3AA 1 6AD 1 6AB 4已知向量a，b，c是空间的一个基底，pab
3、，qab，一定可以与 向量 p，q 构成空间的另一个基底的是() AaBb CcD无法确定 Ca1 2p 1 2q，a 与 p，q 共面， b1 2p 1 2q，b 与 p，q 共面， 不存在，使 cpq， c 与 p，q 不共面，故c，p，q可作为空间的一个基底，故选 C 5对于空间一点 O 和不共线的三点 A，B，C 且有 6OP OA 2OB 3OC ， 则() AO，A，B，C 四点共面 BP，A，B，C 四点共面 CO，P，B，C 四点共面 DO，P，A，B，C 五点共面 B由 6OP OA 2OB 3 OC 得OP OA 2(OB OP )3(OC OP )， 即AP 2PB3PC
4、 AP ， PB，PC 共面，又它们有同一公共点 P， P，A，B，C 四点共面 二、填空题 6(一题两空)已知空间的一个基底a，b，c，mabc，nxaybc， 若 m 与 n 共线，则 x_，y_ 11因为 m 与 n 共线，所以存在实数，使 mn，即 abcxa ybc， 于是有 1x， 1y， 1， 解得 x1， y1. 7若a，b，c是空间的一个基底，且存在实数 x，y，z，使得 xaybzc 0，则 x，y，z 满足的条件是_ xyz0若 x0，则 ay xb z xc，即 a 与 b，c 共面，由a，b，c是 空间的一个基底知 a，b，c 不共面，故 x0同理 yz0 8如图在平
5、行六面体 ABCDA1B1C1D1中，M 为 AC 和 BD 的交点，若AB a，AD b，AA1 c，则B1M _(用 a，b，c 表示) 1 2a 1 2bc B1M AM AB1 1 2(AB AD )(AB AA 1 )1 2AB 1 2AD AA1 1 2a 1 2bc 三、解答题 9 如图所示， 在平行六面体 ABCDABCD中， AB a， AD b， AA c，P 是 CA的中点，M 是 CD的中点，N 是 CD的中点，点 Q 在 CA 上，且 CQQA41，用基底a，b，c表示以下向量： (1)AP ；(2)AM ；(3)AN ；(4)AQ 解连接 AC，AD，AC(图略)
6、(1)AP 1 2(AC AA ) 1 2(AB AD AA ) 1 2(abc) (2)AM 1 2(AC AD ) 1 2(AB 2AD AA ) 1 2ab 1 2c (3)AN 1 2(AC AD ) 1 2(AB AD AA )(AD AA ) 1 2(AB 2AD 2AA ) 1 2abc (4)AQ AC CQ AC 4 5(AA AC ) 1 5AC 4 5AA 1 5AB 1 5AD 4 5AA 1 5a 1 5b 4 5c 10已知平行四边形 ABCD，从平面 ABCD 外一点 O 引向量OE kOA ，OF kOB ，OG kOC ，OH kOD ，求证：点 E，F，G，
7、H 共面 证明OA AB OB ，kOA kAB kOB ， 而OE kOA ，OF kOB ， OE kAB k(OA AB )kOB OF 又OE EF OF ，EF kAB， 同理EH kAD ，EG kAC ABCD 是平行四边形，AC AB AD ， EG k EF k EH k ， 即EG EFEH ，又它们有同一个公共点 E， 点 E，F，G，H 共面 11已知空间四边形 OABC，其对角线为 AC，OBM，N 分别是 OA，BC 的中点，点 G 是 MN 的中点，则OG 等于() A1 6OA 1 3OB 1 2OC B1 4(OA OB OC ) C1 3(OA OB OC
8、)D1 6OB 1 3OA 1 3OC B如图，OG 1 2(OM ON ) 1 2OM 1 2 1 2(OB OC ) 1 4OA 1 4OB 1 4OC 1 4(OA OB OC ) 12(多选题)如图，M，N 分别是四面体 OABC 的边 OA，BC 的中点，P，Q 是 MN 的三等分点(Q 靠近点 M)，则用向量OA ， OB ，OC 表示OQ ，不正确的是 () AOQ 1 3OA 1 6OB 1 6OC BOQ 1 6OA 1 3OB 1 6OC COQ 1 6OA 1 3OB 1 3OC DOQ 1 3OA 1 3OB 1 6OC BCDM，N 分别是四面体 OABC 的边 OA
9、，BC 的中点，P，Q 是 MN 的 三等分点(Q 靠近点 M)， AB OB OA ，BC OC OB ， MN MA AB BN 1 2OA AB 1 2BC 1 2OA (OB OA )1 2(OC OB ) 1 2OA 1 2OB 1 2OC ， OQ OM MQ 1 2OA 1 3MN 1 2OA 1 6OA 1 6OB 1 6OC 1 3OA 1 6OB 1 6OC 13(一题两空)在空间四边形 ABCD 中，AB a2c，CD 5a5b8c，对 角线 AC， BD 的中点分别是 E， F， 则EF _ 向量AB， CD ， EF _(填 “能”或“否”)构成一组基底 3a5 2b
10、3c 否EF 1 2(ED EB )1 4(AD CD )1 4(AB CB )1 4AB 1 4BD 1 4CD 1 4AB 1 4CD 1 4DB 1 2(AB CD )3a5 2b3c 假设AB ， CD ，EF 共面，则EFABCD a2c5a5b8c( 5)a5b(82)c3a5 2b3c 53， 55 2， 823， 解得 1 2， 1 2. EF ， AB，CD 共面，不能构成一组基底 14在ABCD 中，E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点，AC AE AF，其 中，R，则_ 4 3 设AB a，AD b， 则AC ab，AE 1 2ab，AF a1 2b， AE AF
11、 1 2ab a1 2b 1 2a 1 2b， ab 1 2a 1 2b， 1 21， 1 21， 2 3， 2 3， 4 3 15如图所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，O 为 AC 的中点 (1)化简：A1O 1 2AB 1 2AD ； (2)设 E 是棱 DD1上的点，且DE 2 3DD 1 ，若EO xAB yAD zAA1 ，试求实 数 x，y，z 的值 解在长方体 ABCDA1B1C1D1中，O 为 AC 的中点 (1)A1O 1 2AB 1 2AD A1O 1 2(AB AD ) A1O 1 2AC A1O AO A1O OA A1A (2)E 是棱 DD1上的点，且DE 2 3DD 1 ， OE OD DE 1 2BD 2 3DD 1 1 2(BA BC )2 3AA 1 1 2BA 1 2BC 2 3AA 1 1 2AB 1 2AD 2 3AA 1 ， EO OE 1 2AB 1 2AD 2 3AA 1 又EO xAB yAD zAA1 ， x1 2，y 1 2，z 2 3
