1、课时分层作业(一)空间向量及其运算 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1已知 abc0，|a|2，|b|3，|c|4则 a 与 b 的夹角a，b () A30B45 C60D以上都不对 Dabc0，abc，(ab)2|a|2|b|22ab|c|2， ab3 2，cosab ab |a|b| 1 4 2如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为向量 AC1 的共有() (AB BC )CC1 ； (AA1 A1D1 )D1C1 ； (AB BB 1 )B1C1 ； (AA1 A1B1 )B1C1 A1 个B2 个C3 个D4 个 D根据空间向量的加法法则以及正方体
2、的性质逐一进行判断： (AB BC )CC1 AC CC1 AC1 (AA1 A1D1 )D1C1 AD1 D1C1 AC1 (AB BB 1 )B1C1 AB1 B1C1 AC1 (AA1 A1B1 )B1C1 AB1 B1C1 AC1 所以，所给 4 个式子的运算结果都是AC1 3如图，空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 1，E，F，G 分 别是 AB，AD，DC 的中点，则FG AB ( ) A 3 4 B1 4 C1 2 D 3 2 B由题意可得FG 1 2AC ，FG AB 1 211cos 60 1 4 4 在空间四边形 OABC 中， OBOC， AOBAOC 3，
3、 则 cos OA ， BC 的值为() A1 2 B 2 2 C1 2 D0 D 如 图 所 示 ， OA BC OA ( OC OB ) OA OC OA OB |OA|OC |cosAOC|OA |OB|cosAOB0， OA BC ，OA ， BC 2，cosOA ， BC 0 5 设三棱锥 OABC 中， OA a， OB b， OC c， G 是ABC 的重心， 则OG 等于() AabcBabc C1 2(abc) Dabc) D如图所示，OG OA AG OA 1 3(AB AC ) OA 1 3(OB OA OC OA )1 3(abc) 二、填空题 6已知|a|2 2，|b
4、| 2 2 ，ab 2，则 ab 所夹的角为_ 3 4 cosab ab |a|b| 2 2 2 2 2 2 2 ， 又ab的取值范围为0， a，b3 4 7已知向量 a，b，c 两两夹角都是 60，且|a|b|c|1，则|a2bc| _ 3|a2bc|2a24b2c24ab4bc2ac 1414cos 604cos 602cos 603， |a2bc| 3 8四棱柱 ABCDA1B1C1D1各棱长均为 1，A1ABA1ADBAD60， 则点 B 与点 D1两点间的距离为_ 2四棱柱 ABCDA1B1C1D1各棱长均为 1，A1ABA1ADBAD 60 BD1 BA AD DD1 ， BD1
5、2(BA AD DD1 )2 BA 2AD2DD 1 22BA AD 2BA DD 1 2AD DD1 111211cos 120211cos 120211cos 60 2， |BD1 | 2， 点 B 与点 D1两点间的距离为 2 三、解答题 9已知长方体 ABCDABCD，化简下列向量表达式，并标出化简结果的 向量： (1)AA CB ； (2)AB BC CD ； (3)1 2AD 1 2AB 1 2AA 解(1)AA CB AA BC AA AD AD (2)AB BC CD AD (3)设 M 是线段 AC的中点，则 1 2AD 1 2AB 1 2AA 1 2AD 1 2AB 1 2
6、AA 1 2(AD AB AA )1 2AC AM 向量AD 、AM 如图所示 10如图所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，AB a，AD b，AA1 c， M 是 C1D1的中点，点 N 是 CA1上的点，且 CNNA141用 a，b，c 表示以 下向量： (1)AM ；(2)AN 解(1)AM 1 2(AC 1 AD1 ) 1 2(AB AD AA1 )(AD AA1 ) 1 2(AB 2AD 2AA1 ) 1 2abc (2)AN AC CN AC 4 5(AA 1 AC ) 1 5AB 1 5AD 4 5AA 1 1 5a 1 5b 4 5c 11(多选题)化简下列各式，结
7、果为零的向量为() AAB BC CA BOA OD AD CNQ QP MN MP DMN BM NB ABCD对于 A，AB BC CA AC CA 0 对于 B，OA OD AD DA AD 0 对于 C，NQ QP MN MP (NQ QP )(MN MP )NP PN 0 对于 D，MN BM NB MN NB BM MB BM 0 12已知 e1，e2是夹角为 60的两个单位向量，则 ae1e2与 be12e2 的夹角是() A60B120C30D90 Bab(e1e2)(e12e2)e21e1e22e22 1111 22 3 2， |a| a2 e1e22 e212e1e2e22
8、 111 3 |b| b2 e12e22 e214e1e24e22 124 3 cosa，b ab |a|b| 3 2 3 1 2， a，b120 13已知空间向量 a，b，c 满足 abc0，|a|3，|b|1，|c|4，则 ab bcca 的值为_ 13abc0，(abc)20， a2b2c22(abbcca)0， abbcca3 21242 2 13 14(一题两空)如图，四面体 ABCD 的每条棱长都等于 2, 点 E，F 分别为棱 AB，AD 的中点，则|AB BC |_，|BC EF |_ 23|AB BC |AC |2，EF 1 2BD ， BD BC 22cos 602， 故|
9、BC EF |2|BC 1 2BD |2BC 2BC BD 1 4BD 2421 443， 故|BC EF | 3 15在正四面体 ABCD 中，棱长为 a，M，N 分别是棱 AB，CD 上的点，且 |MB |2|AM |，|CN |1 2|ND |，求|MN | 解MN MB BC CN 2 3AB (AC AB )1 3(AD AC )1 3AB 1 3AD 2 3AC MN MN 1 3AB 1 3AD 2 3AC 2 1 9AB 22 9AD AB 4 9AC AD 4 9AB AC 1 9AD 24 9AC 2 1 9a 21 9a 22 9a 22 9a 21 9a 24 9a 2 5 9a 2， 故|MN |MN MN 5 3 a， 即|MN | 5 3 a
