1、1 第二章平面解析几何 2.1坐标法 课后篇巩固提升 基础达标练 1.数轴上的三点 M,N,P 的坐标分别为 3,-1,-5,则?腊 ? ? 腊t ? ?等于( ) A.-4B.4C.12D.-12 解析 ?腊 ? ? 腊t ? ? ? ?t ?=-1-3=-4. 答案 A 2.数轴上点 P(x),A(-8),B(-4),若|PA|=2|PB|,则 x 等于() A.0B.-16 3 C.16 3 D.0 或-16 3 解析因为|PA|=2|PB|,所以|x+8|=2|x+4|, 解得 x=0 或-16 3 . 答案 D 3.P(1,-2)关于 A(-1,1)的对称点 P的坐标为() A.(3
2、,4) B.(-3,4) C.(3,-4) D.(-3,-4) 2 解析设 P点坐标为(x,y), 因为 A为 PP的中点, 所以 1? 2 ? -1, -2? 2 ? 1, 解得 ? ? -3, ? ? 4, 故 P的坐标为(-3,4). 答案 B 4.已知平行四边形的三个顶点坐标为(3,-2),(5,2),(-1,4),则第四个顶点不是() A.(9,-4)B.(1,8) C.(-3,0)D.(1,-3) 解析设第四个顶点的坐标为(x,y),然后分情况讨论. (1)若点(3,-2),(5,2)为平行四边形的对顶点,则有3?5 2 ? -1? 2 , -2?2 2 ? 4? 2 ,解得 x=
3、9,y=-4,即(9,-4); (2)若(5,2),(-1,4)为对顶点,同理可求第四个顶点为(1,8); (3)若(3,-2),(-1,4)为对顶点,同理可求第四个顶点为(-3,0).故选 D. 答案 D 5.在数轴上有点 A(1),若点 A负向移动 3 个单位长度到达点 B,则?t ? ?= .向量?t ? ?与以 B 为起 点,终点坐标为的向量是相等向量. 解析由于 A(1)负向移动 3 个单位长度到达 B 点,所以 B 点坐标为-2,则向量?t ? ?的坐标为-3,若以 B 为起 点的向量为-3,则终点坐标应为-5. 答案-3-5 6.已知ABCD 的三个顶点 A(0,0),B(x1,
4、y1),D(x2,y2),则顶点 C 的坐标为. 解析由于ABCD 的各顶点的顺序已经确定,因此点 C的坐标是唯一确定的.根据平行四边形的性 质对角线互相平分,再根据中点坐标公式,即可求出点 C 的坐标. 3 设顶点 C 的坐标为(m,n),AC 与 BD 的交点为 O,则 O 为 AC 和 BD 的中点,根据题意得点 O的坐 标为 ?2?1 2 , ?2?1 2 ,又因为点 O 为 AC 的中点, 所以?0 2 ? ?2?1 2 , ?0 2 ? ?2?1 2 , 解得 m=x2+x1,n=y2+y1, 所以点 C 的坐标为(x1+x2,y1+y2). 答案(x1+x2,y1+y2) 7.已
5、知四边形 ABCD 的顶点 A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0),E,F 分别为边 AB,BC 的中点,求 CE,DE,AF,DF 的长度. 解设线段 AB 的中点为 E(x,y), 则 x=-4?2 2 =-1,y=3?5 2 =4, 则|CE|= (-1-6)2? (4-3)2=5 2, |DE|= -1-(-3)2? (4-0)2=2 5. 即 CE,DE 的长度分别为 5 2,2 5. 设线段 BC 的中点为 F(m,n), 则 m=2?6 2 =4,n=5?3 2 =4, 则|AF|= 4-(-4)2? (4-3)2?65, |DF|= 4-(-3)2? (4-
6、0)2?65, 即 AF,DF 的长度都为 65. 8. 4 如图所示,ABD 和BCE 是在直线 AC 同一侧的两个等边三角形,求证:|AE|=|CD|. 证明以 B 为原点,以直线 AC 为 x 轴建立如图所示的平面直角坐标系,设ABD 和BCE 的边长分别为 a,c, 则有 A(-a,0),C(c,0),D - ? 2, 3 2 ? ,E ? 2, 3 2 ? . 于是|AE| = ? 2 ? ? 2 ? 3 2 ?-0 2 = ?2 4 ? ? ? ?2? 3 4? 2 ?2? ? ? ?2, |CD|=? ? ? 2 2 ? 0- 3 2 ? 2 = ?2? ? ? ?2 4 ? 3
7、 4? 2 ?2? ? ? ?2, 所以|AE|=|CD|. 能力提升练 1.当数轴上的三个点 A,B,O 互不重合时,它们的位置关系共有六种情况,其中使?t ? ? ? ?t ? ? ? ? ? ?和 |?t ? ?|=|?t? ?|-|? ?|同时成立的情况有( ) A.1 种B.2 种C.3 种D.4 种 5 解析 ?t ? ? ? ?t ? ? ? ? ? ?恒成立,而要使|?t? ?|=|?t? ?|-|? ?|成立,则点 A 应在点 O 和点 B 中间,共有 2 种可能. 答案 B 2.某县位于山区,居民的居住区域大致呈如图所示的五边形,近似由一个正方形和两个等腰直角三角 形组成,
8、若 AB=60 km,AE=CD=30 km,为了解决当地人民看电视难的问题,准备建一个电视转播台,理 想方案是转播台距五边形各顶点距离的平方和最小,图中 P1,P2,P3,P4是 AC 的五等分点,则转播台应 建在() A.P1处B.P2处C.P3处D.P4处 解析以 A 为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则 P4(6,6),P3(12,12),P2(18,18),P1(24,24). 设转播台的坐标为 P(x,y),则|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2+|PE|2=x2+y2+(x-60)2+y2+(x-30)2+(y- 30)2+(x-30)2+(y-60)2+x2+(y
9、-30)2=5x2-(120+120)x+5y2-(120+120)y+2602+4302,故当 x=24,且 y=24 时,|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2+|PE|2最小,故 P 应在 P1处. 答案 A 3.使得|x-3|+|x+1|a 恒成立的 a 的取值范围为. 解析设函数 y=|x-3|+|x+1|, 因为函数 y=|x-3|+|x+1|的最小值为 4,即 y4, 所以使|x-3|+|x+1|a 恒成立 a 的取值范围为(-,4. 答案(-,4 6 4.已知 x,y(0,1),则 ?2? ?2?2? (?-1)2?(?-1)2? ?2?(x-1)2? (?-1)2的最
10、小值 是. 解析x,y(0,1),?2? ?2?2? (?-1)2?(?-1)2? ?2?(?-1)2? (?-1)2表示以 (0,0),(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的正方形内部的动点(x,y)到四个顶点距离的和,根据两点之间线段最短,可 得当(x,y)为正方形对角线的交点,即 x=y=1 2时, ? 2? y2 ?2? (?-1)2?(?-1)2? ?2? (?-1)2? (?-1)2的最小值为 2 2. 答案 2 2 5.已知一平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,-2),(3,1),(0,2),求这个平行四边形第四个顶点的坐标. 解设 A(-1,-2),B(3,1),C(0,
11、2),第四个顶点 D的坐标为(x,y), (1)若四边形 ABCD 是平行四边形, 则由中点坐标公式得 ?3 2 ? -1?0 2 , ?1 2 ? -2?2 2 , 解得 ? ? -4, ? ? -1, 点 D的坐标为(-4,-1); (2)若四边形 ABDC 是平行四边形, 则由中点坐标公式得 ?-1 2 ? 3?0 2 , ?-2 2 ? 1?2 2 , 解得 ? ? 4, ? ? 5,点 D 的坐标为(4,5); (3)若四边形 ACBD 是平行四边形, 7 则由中点坐标公式得 -1?3 2 ? ?0 2 , -2?1 2 ? ?2 2 , 解得 ? ? 2, ? ? -3, 点 D的
12、坐标为(2,-3). 综上所述,满足条件的平行四边形第四个顶点的坐标为(-4,-1)或(4,5)或(2,-3). 6.用坐标法证明:三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半. 证明以线段 BC 的中点为原点,BC 所在直线为 x 轴,建立如图所示的平面直角坐标系. 设 A(a,b),C(c,0)(c0),则 B(-c,0). 线段 AB 的中点 E 的坐标是 ?-? 2 , ? 2 . 线段 AC 的中点 F 的坐标是 ? 2 , ? 2 , 则|EF|= ?-? 2 - ? 2 2 ? ? 2- ? 2 2 =c. 因为|BC|=2c,所以|EF|=1 2|BC|. 又 E,F的纵坐标相
13、同,所以 EFBC. 综上所述,三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半. 7. 8 河流的一侧有 A,B 两个村庄,如图所示,计划在河上共建一座水电站给两村供电.已知 A,B 两村到河边 的垂直距离分别为 300 m和 600 m,且两村相距 500 m.为了使水电站到两村的距离之和最小,水电站 P 应建在什么位置? 解如图所示,以河边所在直线为 x 轴,以 AC 为 y 轴建立平面直角坐标系,则 A(0,300),B(400,600). 设 A 关于 x轴的对称点为 A,则 A(0,-300),连接 AB 交 OD于点 P,此时|PA|+|PB|最小. 设|OP|=x, 则由OAPDB
14、P,得 ? 400-? ? 300 600. 解得 x=400 3 ,故水电站 P 应建在 C,D 之间距离点 C400 3 m 的地方. 素养培优练 1.已知点 A(-1,2),B(1,3),在直线 y=2x 上求一点 P,使|PA|2+|PB|2取得最小值,并写出 P 点坐标. 解设 P 点的坐标为(x,y),由于点 P 在直线 y=2x 上,所以 y=2x. |PA|= (? ? 1)2? (?-2)2 = (? ? 1)2? (2?-2)2 = ?2? 2? ? 1 ? 4?2-8? ? 4 = 5?2-6? ? 5, |PB|= (?-1)2? (?-3)2 9 = (?-1)2?
15、(2?-3)2 = ?2-2? ? 1 ? 4?2-12? ? 9 = 5?2-14? ? 10, 所以|PA|2+|PB|2=5x2-6x+5+5x2-14x+10=10 x2-20 x+15=10(x-1)2+5, 因此,当 x=1 时,|PA|2+|PB|2取得最小值为 5,y=21=2, 所以所求 P点的坐标为(1,2). 2.如图所示,在ABC 中,C=90,P 为三角形内一点,且 SPAB=SPBC=SPCA.求证:|PA|2+|PB|2=5|PC|2. 证明如图所示,以 CA 所在的直线为 x 轴,点 C 为原点建立平面直角坐标系,设 C(0,0),A(3a,0),B(0,3b),P(x,y). SPCA=SPCB=SPAB,SPCA=1 3SABC. 即1 23ay= 1 3 ? 1 23a3b, y=b.又 SPBC=1 3SABC, 即1 23bx= 1 3 ? 1 23a3b, x=a.适合条件的点 P 的坐标为(a,b).此时, 10 |PA|2=(3a-a)2+b2=4a2+b2, |PB|2=(3b-b)2+a2=a2+4b2,|PC|2=a2+b2, |PA|2+|PB|2=5(a2+b2)=5|PC|2, 结论成立.
