1、课时分层作业(八)空间中的距离 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1在平面直角坐标系中，A(2,3)，B(3，2)，沿 x 轴把平面直角坐标系 折成 120的二面角，则 AB 的长为() A 2B2 11C3 2D4 2 B过 A，B 分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 A，B(图略)，则|AA |3，|BB | 2，|AB |5又AB AA AB BB ，所以|AB |23252222321 2 44，即|AB |2 11 2 已知直线 l 过定点 A(2,3,1)， 且 n(0,1,1)为其一个方向向量， 则点 P(4,3,2) 到直线 l 的距离为() A3 2 2 B 2 2 C 1
2、0 2 D 2 APA (2,0，1)，|PA| 5，|PA n| |n| 2 2 ，则点 P 到直线 l 的距离 d |PA |2|PA n |n| | 2 51 2 3 2 2 3如图所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ADAA12，AB4，点 E 是 棱 AB 的中点，则点 E 到平面 ACD1的距离为() A1B2 3 C1 3 D 2 B建立如图所示的坐标系 A(2,0,0)， D1(0,0,2)， C(0,4,0)， E(2,2,0)， 则AD1 (2,0,2)，CD1 (0，4,2)，ED1 (2，2,2) 设平面 ACD1的法向量为 n(x，y，z)， 则 nAD1 0
3、， nCD1 0， 2x2z0， 4y2z0. 令 y1，则 z2，x2， n(2,1,2)，d|ED1 n| |n| |2| 122222 2 3 4已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 a，则平面 AB1D1与平面 BDC1的 距离为() A 2aB 3aC 2 3 aD 3 3 a D由正方体的性质，易得平面 AB1D1平面 BDC1，则两 平面间的距离可转化为点 B 到平面 AB1D1的距离以 D 为坐标原点，DA， DC，DD1所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A(a,0,0)，B(a，a,0)，A1(a,0，a)，C(0，a,0)，
4、CA1 (a，a，a)，BA (0， a,0)，连接 A1C，由 A1C平面 AB1D1，得平面 AB1D1的一个法向量为 n(1， 1,1)，则两平面间的距离 d|BA n| |n| a 3 3 3 a 5已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 a，点 E、F 分别在 A1B、B1D1上， 且 A1E1 3A 1B，B1F1 3B 1D1，则 EF 与平面 ABC1D1的距离为() A 3 2 aB 2 3 a C 3 6 aD 2 6 a B如图所示，建立空间直角坐标系 Bxyz，易得 E 2 3a，0， 2 3a， F 1 3a， 1 3a，a， 故EF 1 3a， 1 3a， 1
5、 3a， BA (a,0,0)，BC 1 (0，a，a) 设 n(x，y，z)是平面 ABC1D1的一个法向量， 由 nBA 0， nBC1 0 ax0， ayaz0， 令 z1，得 n(0，1,1) EF n1 3a， 1 3a， 1 3a(0，1,1)0， EF n，故 EF平面 ABC 1D1 又BE 2 3a，0， 2 3a， BE n 2 3a，0， 2 3a(0，1,1)2 3a， d|BE n| |n| 2 3 a 二、填空题 6已知平行六面体 ABCD A1B1C1D1中，以顶点 A 为端点的三条棱的棱长 都等于 2，且两两夹角都是 60，则 A，C1两点间的距离是_ 2 6设
6、AB a，AD b，AA1 c，易得AC1 abc， 则|AC1 |2AC1 AC1 (abc)(abc)a22ab2ac2bcb2c244444424， 所 以|AC1 |2 6 7已知棱长为 1 的正方体 ABCDEFGH，若点 P 在正方体内部且满足AP 3 4AB 1 2AD 2 3AE ，则点 P 到 AB 的距离为_ 5 6 建立如图所示的空间直角坐标系，则AP 3 4(1,0,0) 1 2(0,1,0) 2 3(0,0,1) 3 4， 1 2， 2 3 AB (1,0,0)，APAB |AB | 3 4， 所以 P 点到 AB 的距离为 d|AP |2|AP AB |AB |2
7、181 144 9 16 5 6 8如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，所有棱长均为 1，且 AA1底面 ABC， 则点 B1到平面 ABC1的距离为_ 21 7 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A 3 2 ，1 2，0， B(0,1,0)， B1(0， 1,1)， C1(0,0,1)， 则C1A 3 2 ，1 2，1， C1B1 (0,1,0)，C1B (0,1，1) 设平面 ABC1的一个法向量为 n(x，y,1)， 则有 C1A n 3 2 x1 2y10， C1B ny10， 解得 n 3 3 ，1，1 ，则所求距离为| C1B1 n |n| | 1 1 311 21 7 三、解
8、答题 9在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABAA11 2AD1，E，F 分别是 A 1D1， BC 的中点，P 是 BD 上一点，PF平面 EC1D (1)求 BP 的长； (2)求点 P 到平面 EC1D 的距离 解(1)以 A1为原点，A1B1，A1D1，A1A 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立 空间直角坐标系， B(1,0,1)，D(0,2,1)，F(1，1,1)，E(0,1,0)，C1(1,2,0)， 设 P(a， b,1)， BP BD ， 0,1， ED (0,1,1)， EC1 (1,1,0)， BD (1,2,0)， 则BP (a1，b,0)(，2，0)， P(1，2
9、，1)，PF (，12，0)， 设平面 DEC1的法向量 n(x，y，z)， 则 nED yz0， nEC1 xy0， 取 x1，得 n(1，1,1)， PF平面 EC1D， PF n120， 解得1 3， P 2 3， 2 3，1， BP 的长|BP | 2 31 2 2 3 2 112 5 3 (2)由(1)得平面 DEC1的法向量 n(1，1,1)，EP 2 3， 1 3，1， 点 P 到平面 EC1D 的距离： d|EP n| |n| 2 3 2 3 3 10已知正方形 ABCD 的边长为 4，E，F 分别为 AD，BC 的中点，以 EF 为棱将正方形 ABCD 折成如图所示的 60的
10、二面角，点 M 在线段 AB 上且不与点 A，B 重合，直线 MF 与由 A，D，E 三点所确定的平面相交，交点为 O (1)若 M 为 AB 的中点，试确定点 O 的位置，并证明直线 OD平面 EMC； (2)若 CEMF，求 AM 的长度，并求此时点 O 到平面 CDEF 的距离 解(1)延长 FM 交 EA 的延长线于 O， M 为 AB 中点，AEBF，M 为 OF 中点， 又 ABEF，A 为 OE 中点， 连接 DF 交 CE 于 N，则 DOMN， 又 DO平面 EMC，MN平面 EMC， DO平面 EMC (2)取 AE 中点 H， 由题意可知，EF平面 DEA，EF平面 CF
11、B， DEACFB60， DEA 与CFB 是全等的正三角形， 以 H 为原点建立空间坐标系如图， 设 AMt，则 D(0,0， 3)，M(1，t,0)，E(1，0,0)，C(0,4， 3)，F(1,4,0)， CE (1，4， 3)，MF (2,4t,0)， CEMF，CE MF 2164t0， 解得 t7 2 AM 的长度为7 2 过 O 作 OTDE 于 T，则由 EF平面 DEA，得 OT平面 CDEF，即 OT 为 点 O 到平面 CDEF 的距离 OA OE AM EF ， OA OA2 7 2 4 ， OA14，OE16， OTOEsin 3 16 3 2 8 3 点 O 到平面
12、 CDEF 的距离为 8 3 11如图所示，在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，AA12，ABBC1，动 点 P，Q 分别在线段 C1D，AC 上，则线段 PQ 长度的最小值是() A 2 3 B 3 3 C2 3 D 5 3 C建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)， C1(0,1,2) 根据题意，可设点 P 的坐标为(0，2)，0,1，点 Q 的坐标为(1， 0)，0,1， 则 PQ 12242 2252221 5 1 5 2 9 5 5 9 2 4 9，当且仅当 1 9， 5 9时，线段 PQ 的长度取 得最小值2 3 12(多选题)
13、如图所示，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，AC2a，BB13a，D 是 A1C1的中点，点 F 在线段 AA1上，若 CF平面 B1DF，则 AF 的长度为() AaB 3a C2aD2 3a ACCF平面 B1DF，CFDF 在矩形 ACC1A1中，设 AFm CD2DF2CF2CC21DC2110a2， CF24a2m2，DF2(3am)2a2， 联立得 ma 或 m2a，则 AF 的长度为 a 或 2a 13(一题两空)如图所示，在已知直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面为直角 梯形，ABCD，且ADC90，AD1，CD 3，BC2，AA12，E 是 CC1 的中点，则 A1B1
14、到平面 ABE 的距离为_，二面角 ABEC 的余弦值为 _ 2 6 4 如图，以 D 为原点， DA 、 DC 、DD1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空 间直角坐标系，则 A1(1,0,2)，A(1,0,0)，E(0，3，1)， 过 C 作 AB 的垂线交 AB 于 F，易得 BF 3，B(1,2 3，0)， AB (0,2 3，0)，BE(1， 3，1) 设平面 ABE 的一个法向量为 n(x，y，z)， 则由 nAB 0， nBE 0， 得 2 3y0， x 3yz0， y0，xz，不妨取 n(1,0,1) AA1 (0,0,2)， AB1到平面 ABE 的距离 d|AA1 n|
15、|n| 2 2 2 又 B1(1,2 3，2)，BB1 (0,0,2)，CB (1，3，0) 设平面 BCE 的一个法向量为 n(x，y，z)易得 x 3y，z0，取 n ( 3，1,0)，n与 n 所成的角为， 则 cos |nn| |n|n| 3 22 6 4 14如图所示，在底面是直角梯形的四棱锥 PABCD 中，侧棱 PA底面 ABCD，BCAD，ABC90，PAABBC2，AD1，则 AD 到平面 PBC 的距离为_ 2由已知，得 AB，AD，AP 两两垂直以 A 为坐标原点，AB，AD， AP 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A(0,0,
16、0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)，PB (2,0，2)，BC (0,2,0)，设 平面 PBC 的法向量为 n(a，b，c)，则 nPB 0， nBC 0， 即 2a2c0， 2b0， 取 n(1,0,1) 又AB (2,0,0)，AD平面 PBC， 所求距离为|AB n| |n| 2 15 如图， 直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面是菱形， AA14， AB2， BAD 60，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点 (1)证明：MN平面 C1DE； (2)求点 C 到平面 C1DE 的距离 解法一：证明：(1)连接 B1C，ME，M，E 分别是 BB
17、1，BC 的中点， MEB1C，且 ME1 2B 1C 又 N 为 A1D 的中点， ND1 2A 1D， 由题设知 A1B1DC， B1CA1D，MEND， 四边形 MNDE 是平行四边形，所以 MNED， 又 MN平面 C1DE， MN平面 C1DE (2)过 C 作 C1E 的垂线，垂足为 H， 由已知可得 DEBC，DEC1C， DE平面 C1CE，故 DECH， CH平面 C1DE，故 CH 的长即为 C 到平面 C1DE 的距离， 由已知可得 CE1，CC14， C1E 17，故 CH4 17 17 ， 点 C 到平面 C1DE 的距离为4 17 17 法二：证明：(1)直四棱柱
18、ABCDA1B1C1D1的底面是菱形， AA14，AB2，BAD60， E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点 DD1平面 ABCD，DEAD， 以 D 为原点，DA 为 x 轴，DE 为 y 轴， DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系， M(1，3，2)，N(1,0,2)，D(0,0,0)，E(0，3，0)，C1(1，3，4)，MN (0， 3，0)，DC1 (1，3，4)，DE (0，3，0)， 设平面 C1DE 的法向量 n(x，y，z)， 则 nDC1 x 3y4z0， nDE 3y0， 取 z1，得 n(4,0,1)， MN n0，MN平面 C1DE， MN平面 C1DE (2)C(1，3，0)，DC (1，3，0)， 平面 C1DE 的法向量 n(4,0,1)， 点 C 到平面 C1DE 的距离 d|DC n| |n| 4 17 4 17 17
