1、课时分层作业(四)空间中的点、直线 与空间向量 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1已知点 A(2,3,4)，B(1,2,1)，BC 3OA ，且 O 为坐标原点，则 C 点的坐标 为() A(6,8,9)B(6,9,12) C(7,11,13)D(7，11，13) C设 C(x， y， z)， 则BC (x1， y2， z1)， OA (2,3,4)， 3OA (6,9,12)， 由BC 3OA ， 得 x16， y29， z112， x7， y11， z13， C(7,11,13) 2已知空间向量 a(1,0,3)，b(3，2，x)，若 ab，则实数 x 的值是 () A1B0C1D2
2、 C向量 a(1,0,3)，b(3，2，x)， 若 ab，则130(2)3x0， 解得 x1故选 C 3已知线段 AB 的两端点坐标为 A(9，3,4)，B(9,2,1)，则线段 AB 与坐标 平面() AxOy 平行BxOz 平行 CyOz 平行DyOz 相交 C因为AB (9,2,1)(9，3,4)(0,5，3)，所以 AB平面 yOz 4设向量 a(2,2,0)，b cos ，1 2，1，(0180)，若 ab，则角 () A30B60C120D150 B向量 a(2,2,0)，b cos ，1 2，1，(0180)，ab， ab2cos 10，cos 1 2， 0180， 角60故选
3、B 5在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，O 是底面 ABCD 的中心，E，F 分别是 CC1， AD 的中点， 那么异面直线 OE 和 FD1所成的角的余弦值等于() A 15 5 B 10 5 C4 5 D2 3 A以 D 为坐标原点， DA ， DC ，DD1 的方向为 x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空 间直角坐标系，则 F(1，0,0)，D1(0,0,2)，O(1,1,0)，E(0,2,1)，则OE (1,1,1)， FD1 (1,0,2)， |OE | 3，|FD1 | 5，OE FD1 3， cosOE ， FD1 OE FD1 |OE |FD1 | 3 3 5
4、15 5 二、填空题 6已知点 A(1,1，4)，B(2，4,2)，C 为线段 AB 上的一点，且AC 1 2AB ， 则 C 点坐标为_ 3 2， 3 2，1设 C(x，y，z)，AC (x1，y1，z4)，AB (1，5,6)， 由AC 1 2AB 得 x11 2， y15 2， z43， x3 2， y3 2， z1. C 3 2， 3 2，1 7已知 A(0，y,3)，B(1，2，z)，若直线 l 的方向向量 v(2,1,3)与直线 AB 的方向向量平行，则实数 yz 等于_ 0由题意，得AB (1，2y，z3)，则1 2 2y 1 z3 3 ，解得 y 3 2，z 3 2，所以 yz
5、0 8长方体 ABCDA1B1C1D1的底面是边长为 1 的正方形，高为 2，M，N 分 别是四边形 BB1C1C 和正方形 A1B1C1D1的中心， 则向量BM 与DN 的夹角的余弦值 是_ 7 10 30 以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角 坐标系，B(1,1,0)，M 1 2，1，1， D(0,0,0)，N 1 2， 1 2，2， BM 1 2，0，1，DN 1 2， 1 2，2， 设向量BM 与DN 的夹角为， 则 cos BM DN |BM |DN | 7 4 5 4 18 4 7 10 30 故向量BM 与DN 的夹角的余弦值为7 1
6、0 30 三、解答题 9如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别是 C1C，B1C1的中 点 求证：MN平面 A1BD 证明如图，以 D 为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1， 可求得 M 0，1，1 2 ，N 1 2，1，1， D(0,0,0)，A1(1,0,1)， 于是MN 1 2，0， 1 2 ， DA1 (1,0,1) 得DA1 2MN ，DA1 MN ，DA1MN 而 MN平面 A1BD，DA1平面 A1BD， MN平面 A1BD 10如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1底面ABC 中，CACB1
7、，BCA 90，棱 AA12，M 是 A1B1的中点 (1)求 cosBA1 ， CB1 的值； (2)求证：A1BC1M 解(1)以 C 为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空 间直角坐标系， A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，BA1 (1，1,2)，CB1 (0,1,2)， cosBA1 ， CB1 BA1 CB1 |BA1 |CB1 | 3 6 5 30 10 (2)证明：A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C1(0,0,2)，M 1 2， 1 2，2，A1B (1,1，2)， C1M 1 2， 1 2，0， 又A1B
8、 C1M 0， A1BC1M 11 (多选题)已知空间向量 a， b， ab， a(1,3,5)， 则 b 的坐标可以是() A(5,0，1)B 2，3，7 5 C(5，3，1)D(8，1，1) ABDa(1,3,5)，ab，ab0 在 A 中，ab(1,3,5)(5,0，1)15305(1)0，A 正确 在 B 中，ab(1,3,5) 2，3，7 5 1(2)335 7 5 0，B 正 确 在 C 中，ab(1,3,5)(5，3，1)153(3)5(1)90， C 错误 在 D 中，ab(1,3,5)(8，1，1)183(1)5(1)0，D 正 确 12向量 a(1,2，x)，b(2，y,4
9、)，若 ab，则 xy() A4B2 C1D1 2 B向量 a(1,2，x)，b(2，y,4)， 若 ab，则 1 2 2 y x 4， 解得 y4， x2. 所以 xy2(4)2 13(一题两空)已知向量 a(1,0，1)，b(1,1,0)，则|a|_；向量 a 与 b 的夹角是_ 260向量 a(1,0，1)，b(1,1,0)， 则|a| 120212 2； cosa，b ab |a|b| 1 2 2 1 2， 向量 a 与 b 的夹角是 60 14设向量 a(1,2，)，b(2,2，1)，若 cosa，b4 9，则实数的值 为_ 122 7 或 2向量 a(1,2，)，b(2,2，1)，
10、 ab246， |a| 142 52， |b| 4413，若 cosa，b4 9， 则 ab |a|b| 6 523 4 9， 化简得 721082440， 解得122 7 或2， 则实数的值为122 7 或 2 15在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是一直角梯形，PA底面 ABCD， BAD90，ADBC，ABBC1，ADAP2，E 为 PD 的中点以 A 为坐 标原点，分别以 AB、AD、AP 为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系 Oxyz (1)求BE 的模； (2)求AE ， DC ，异面直线 AE 与 CD 所成的角； (3)设 n(1，p，q)，满足 n平面
11、 PCD，求 n 的坐标 解(1)由已知可得 A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)， E 为 PD 的中点，E(0,1,1) |BE | 012102102 3 (2)AE (0,1,1)，DC (1，1,0) cosAE ， DC AE CD |AE |CD | 1 2 2 1 2， AE ， DC 0， AE ， DC 2 3 ， 即异面直线 AE 与 CD 所成的角为 3 (3)n平面 PCD，nPD，nCD， 又 n(1，p，q)，PD (0,2，2)，CD (1,1,0)， nPD 2p2q0，nCD 1p0， 解得 p1 且 q1，即 n(1,1,1)
