1、1 第 2 课时直线的两点式方程与一般式方程 课后篇巩固提升 基础达标练 1.已知 M 3,7 2 ,A(1,2),B(3,1),则过点 M 和线段 AB 的中点的直线的斜率为() A.-2B.2C.1 2 D.-1 2 解析 AB 的中点 N 的坐标为 2,3 2 , kMN= 7 2- 3 2 3-2=2. 答案 B 2.下列说法中正确的是() A.经过定点 P0(x0,y0)的直线都可以用方程 y-y0=k(x-x0)来表示 B.经过定点 A(0,b)的直线都可以用方程 y=kx+b 来表示 C.不经过原点的直线都可以用方程? ? ? ? ?=1 来表示 D.经过任意两个不同的点 P1(
2、x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)来表示 答案 D 3.直线? ? ? ? ?=1 过第一、三、四象限,则( ) A.a0,b0B.a0,b0 C.a0D.a0,b0,且 BC0B.AB0,且 BC0 C.AB0D.AB0,且 BC0 解析若 B=0,直线方程化为 x=-? ?,直线不可能过第一、二、四象限,因此 B0,则直线方程化为 y=- ? ?x- ? ?, 由直线过第一、二、四象限知-? ?0,所以 AB0,BC0,故选 B. 答案 B 2.过点(-1,0),且与直线?1 5 ? ?1 -3 有相同方向向量的直线的方
3、程为() 5 A.3x+5y-3=0B.3x+5y+3=0 C.3x+5y-1=0D.5x-3y+5=0 解析由?1 5 ? ?1 -3 可得,3x+5y+8=0,即直线的斜率为-3 5, 由题意可知所求直线的斜率 k=-3 5, 故所求的直线方程为 y=-3 5(x+1),即 3x+5y+3=0. 故选 B. 答案 B 3.已知直线 a1x+b1y+1=0 和直线 a2x+b2y+1=0 都过点 A(2,1),则过点 P1(a1,b1)和点 P2(a2,b2)的直线方 程是() A.2x+y-1=0B.2x+y+1=0 C.2x-y+1=0D.x+2y+1=0 解析把 A(2,1)坐标代入两
4、条直线 a1x+b1y+1=0 和 a2x+b2y+1=0,得 2a1+b1+1=0,2a2+b2+1=0, 2(a1-a2)=b2-b1, 过点 P1(a1,b1),P2(a2,b2)的直线的方程是 ?-?1 ?2-?1 ? ?-?1 ?2-?1, y-b1=-2(x-a1),则 2x+y-(2a1+b1)=0. 2a1+b1+1=0, 2a1+b1=-1,所求直线方程为 2x+y+1=0. 故选 B. 答案 B 6 4.在平面直角坐标系 xOy 中,过点(1,1)的直线与 x 轴的正半轴,y 轴的正半轴分别交于 A,B两点,则 OAB 的面积的最小值为() A.1B.2C.3D.4 解析平
5、面直角坐标系 xOy 中,过点(1,1)的直线与 x 轴的正半轴,y 轴的正半轴分别交于 A,B 两点, 设直线方程为 y-1=k(x-1),k0,b0), 而面积 S=1 2ab, 又由面积比直线 l 在两坐标轴上的截距之和大 1,得1 2ab=a+b+1. a0,b0,a+b+12 ?+1. 结合得1 2ab2 ?+1,即( ?) 2-4 ?-20,解得 ?2+ 6或 ?2- 6(舍), ab(2+ 6)2=10+4 6, 当且仅当 a=b=2+ 6时,等号成立. 故当 a=b=2+ 6时,面积最小为 5+2 6. 答案 5+2 6 7.设直线 l 的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a
6、R). (1)若 l 在两坐标轴上的截距相等,求 l 的方程; (2)若 l 不经过第二象限,求实数 a 的取值范围. 解(1)当 a=-1 时,y=-3,不符合题意. 当 a-1 时,令 x=0,得 y=a-2;令 y=0,得 x= ?-2 ?1. l 在两坐标轴上的截距相等,a-2= ?-2 ?1, 8 解得 a=2 或 a=0, 所求的直线 l 方程为 3x+y=0 或 x+y+2=0. (2)直线 l的方程可化为 y=-(a+1)x+a-2, l 不过第二象限, -(? ? 1) 0, ?-2 0, a-1, a 的取值范围为(-,-1. 8.过点 M(2,1)作直线 l 分别交 x
7、轴、y 轴的正半轴于点 A,B. (1)当 M 为 AB 中点时,求直线 l 的方程; (2)设 O 是坐标原点,当AOB 的面积最小时,求直线 l 的方程. 解(1)设直线 l 的方程为? ? ? ? ?=1(a0,b0),则 A(a,0),B(0,b). M 为 AB 中点, ? 2=2, ? 2=1,a=4,b=2, 则直线 l 的方程为? 4 ? ? 2=1,即 x+2y-4=0. (2)M(2,1)在直线 l 上, 2 ? ? 1 ?=1,又1= 2 ? ? 1 ?2 2 ?,ab8,S= 1 2ab4, 当且仅当 a=4,b=2 时,等号成立, 直线 l 的方程为? 4 ? ? 2
8、=1,即 x+2y-4=0. 素养培优练 1. 9 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,设ABC 的顶点分别为 A(0,a),B(b,0),C(c,0),点 P(0,p)是线段 OA 上一 点(异于端点),a,b,c,p 均为非零实数.直线 BP,CP 分别交 AC,AB 于点 E,F.一同学已正确地求出直线 OE 的方程为 1 ?- 1 ? x+ 1 ?- 1 ? y=0,请你完成直线 OF 的方程:()x+ 1 ?- 1 ? y=0. 解析直线 CP 的方程为? ? ? ? ?=1, 直线 AB 的方程为? ? ? ? ?=1, 则点 F的坐标必然满足方程? ? ? ? ? ? ? ? ?
9、 ? ?, 即 1 ? - 1 ? x+ 1 ?- 1 ? y=0. 又该方程表示的直线也经过原点 O,故直线 OF 的方程就是 1 ? - 1 ? x+ 1 ?- 1 ? y=0. 答案1 ? ? 1 ? 2.在ABC 中,已知顶点 A(2,4),AB 边上的中线所在直线方程为 x+2y-5=0,内角ABC 的平分线所在直 线方程为 2x-y+10=0. (1)求点 B 的坐标; (2)求直线 BC 的方程. 解(1)由内角ABC 的平分线所在直线方程为 2x-y+10=0 知, 点 B 在直线 2x-y+10=0 上, 设 B(m,2m+10), 则 AB 中点 D 的坐标为 ?2 2 ,
10、 2?14 2 . 10 由 AB 边上的中线所在直线方程为 x+2y-5=0 知, 点 D 在直线 x+2y-5=0 上, ?2 2 +22?14 2 -5=0,解得 m=-4. 点 B的坐标为(-4,2). (2)设点 E(a,b)与点 A(2,4)关于直线 2x-y+10=0 对称,则 2 ?2 2 - ?4 2 ? 10 ? 0, ?-4 ?-2 2 ? -1, 即 2?-? ? -20, ? ? 2? ? 10,解得 ? ? -6, ? ? 8. 点 E的坐标为(-6,8). 由直线 2x-y+10=0 为内角ABC 的平分线所在直线,知点 E 在直线 BC 上. 直线 BC 方程为 y-2= 8-2 -6-(-4)(x+4), 即 3x+y+10=0.
