1、课时分层作业(七)二面角 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1在长方体 ABCDA1B1C1D1中，已知 ABBC 2 2 AA1，E 为 CC1的中点， 则二面角 EBDC 的平面角的大小为() A 6 B 4 C 3 D 2 B如图，连接 AC，BD，相交于点 O， ABBC， OCBD， 而BCEDCE， BEDE， 则 OEBD， EOC 为二面角 EBDC 的平面角， 设 ABBC2，则 OC1 2AC 2， AA12 2，则 CE1 2CC 11 2AA 1 2 EOC 4 即二面角 EBDC 的平面角的大小为 4 2过正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 AP 垂直于平面 A
2、BCD，且 APAB，则 平面 ABP 与平面 CDP 所成的锐二面角的大小为() A 4 B 3 C 6 D以上都不正确 A设 APAB1，以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z 轴，建 立空间直角坐标系，P(0,0,1)，D(0,1,0)，C(1,1,0)，PC (1,1，1)，PD (0,1， 1) 设平面 PCD 的法向量 m(x，y，z)， 则 mPC xyz0， mPD yz0， 取 y1，得 m(0,1,1)， 平面 ABP 的法向量 n(0,1,0)， 设平面 ABP 与平面 CDP 所成的角为， 则 cos |mn| |m|n| 1 21 2 2 ，
3、 4 3把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，当以 A，B，C，D 四点为顶点的三 棱锥体积最大时，二面角 BACD 的大小为() A30B45 C60D90 D如图所示，欲使得三棱锥体积最大， 三棱锥底面积一定， 只须三棱锥的高最大即可， 即当平面 BAC平面 DAC 时，三棱锥体积最大， 当以 A，B，C，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时， 二面角 BACD 的大小为 90 4如图，已知三棱锥 ABCA1B1C1的底面是正三角形，侧面 ABB1A1是菱形， 且A1AB60，M 是 A1B1的中点，MBAC，则二面角 A1BB1C 的余弦值为 () A2 5 5 B 5 5 C1 2 D
4、 6 3 B取 AB 的中点 O，连接 OC，OA1则 ABOC， ABOA1，建系如图所示，设 OAOB1，则 OA1OC 3，则平面 ABB1 的法向量为 m(1,0,0) B(0,1,0)，C( 3，0,0)，A1(0,0， 3)，M(0,1， 3)， B1(0,2， 3) 则BC ( 3，1,0)，BB1 (0,1， 3) 设平面 BB1C 的法向量为 n(x，y，z)， 则 nBC 0， nBB1 0， 3xy0， y 3z0. 令 x1，得 n(1， 3，1)， cosm，n mn |m|n| 1 5 5 5 5如图，将边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折成大小等于的
5、二面角 BACD，M，N 分别为 AC，BD 的中点，若 3， 2 3 ，则线段 MN 长度的取 值范围为() A 2 4 ， 6 4B 1 2， 3 2 C 1 3， 3 3D1， 3 A连接 BM，DM，得 ACBM，ACDM， DMB是二面角 BACD 的平面角，且 BMDM 2 2 ， 在等腰DMB中，MNBD， 且DMN1 2DMB 1 2， 3， 2 3 ， 则 MNDMcos1 2 2 4 ， 6 4 线段 MN 长度的取值范围为 2 4 ， 6 4 二、填空题 6若二面角内一点到两个面的距离分别为 5 和 8，两垂足间的距离为 7，则 这个二面角的大小是_ 120设二面角大小为
6、，由题意可知 cos()8 25272 285 642549 80 1 2， 所以120 7 若 P 是ABC 所在平面外一点， 且PBC 和ABC 都是边长为 2 的正三 角形，PA 6，则二面角 PBCA 的大小为_ 90取 BC 的中点 O，连接 PO，AO(图略)，则POA 就是二面角 PBCA 的平面角又 POAO 3，PA 6，所以POA90 8如图，在边长为 2 的正方体中，M 为棱 AB 的中点，则二面角 B1CMB 的正切值是_ 5以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐 标系， B(2,2,0)，B1(2,2,2)，C(0,2,0
7、)，M(2,1,0)，CM (2，1,0)，CB1 (2,0,2)， 设平面 CMB1的法向量 n(x，y，z)， 则 mCM 2xy0， mCB1 2x2z0， 取 x1，得 n(1,2，1)， 平面 CBM 的法向量 n(0,0,1)， 设二面角 B1CMB 的平面角为， 则 cos |mn| |m|n| 1 61 1 6， tan 5二面角 B1CMB 的正切值为 5 三、解答题 9如图所示，ABCD 是正方形，V 是平面 ABCD 外一点，且 VAVBVC AB，求二面角 AVBC 的余弦值 解取 VB 的中点为 E， 连接 AE，CE VAVBVCAB，ABCD 为正方形， AEVB
8、，CEVB AEC 是二面角 AVBC 的平面角 设 ABa，连接 AC，在AEC 中，AEEC 3 2 a，AC 2a，由余弦定理 可知： cosAEC 3 2 a 2 3 2 a 2 2a2 2 3 2 a 3 2 a 1 3，所求二面角 AVBC 的余弦值 为1 3 10如图所示，在梯形 ABCD 中，ABAD，ADBC，AD6，BC2AB 4，E，F 分别在线段 BC，AD 上(异于端点)，EFAB将四边形 ABEF 沿 EF 折起，连接 AD，AC，BC (1)若 BE3， 在线段 AD 上取一点 P， 使 AP1 2PD， 求证： CP平面 ABEF； (2)若平面 ABEF平面
9、EFDC，且线段 FA，FC，FD 的长成等比数列，求平 面 EAC 和平面 ACF 夹角的大小 解(1)证明：在梯形 ABCD 中，ADBC，EFAB，BE3， AF3 又 AD6，BC4，EC1，FD3， 在线段 AF 上取点 Q，使 AQ1 2QF，连接 PQ，QE， AP1 2PD，PQ 1 3DF， CE 1 3DF，CE PQ， 四边形 ECPQ 为平行四边形，CPEQ， CP平面 ABEF，EQ平面 ABEF， CP平面 ABEF (2)在梯形 ABCD 中， ABAD， ABEF， EFAF， EFFD， 平面 ABEF 平面 EFDC， 平面 ABEF平面 EFDCEF， A
10、F平面 ABEF， AF平面 EFDC 设 FAx(0 x4)，EFAB2， FD6x，EC4x，FC 44x2， 线段 FA，FC，FD 的长成等比数列， FC2FAFD，即 4(4x)2x(6x)， 化简得 x27x100，x2 或 x5(舍去) 以点 F 为坐标原点，FE，FD，FA 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直 角坐标系，如图所示， 则 F(0,0,0)，E(2,0,0)，C(2,2,0)，A(0,0,2)， EC (0,2,0)，EA (2,0,2)， 设 n1(x1，y1，z1)是平面 EAC 的法向量， 则 n1EC 0， n1EA 0， 即 2y10， 2x12z
11、10， 取 z11，则 x11，y10， 平面 EAC 的一个法向量为 n1(1,0,1) 又FC (2,2,0)，FA (0,0,2)， 设 n2(x2，y2，z2)是平面 ACF 的法向量， 则 n2FC 0， n2FA 0， 即 2x22y20， 2z20， 取 x21，则 y21，z20， 平面 ACF 的一个法向量为 n2(1，1,0) cosn1，n2 n1n2 |n1|n2| 1 2 2 1 2 平面 EAC 和平面 ACF 的夹角为锐角， 平面 EAC 和平面 ACF 的夹角为 60 11(多选题)如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为线段 AA1上的一个动 点，F
12、 为线段 B1C1上的一个动点，则平面 EFB 与底面 ABCD 所成的锐二面角的 平面角余弦值可能为() A1 3 B1 6 C2 3 D1 2 ABCD在正方体 ABCDA1B1C1D1中， E 为线段 AA1上的一个动点， F 为线 段 B1C1上的一个动点， 当 F 与 B1重合时，平面 EFB 即为平面 ABB1A， 此时平面 EFB 与底面 ABCD 所成的二面角的平面角为 90，余弦值为 0， 当 E 与 A 重合，F 与 C1重合时，平面 EFB 是平面 ABC1D1， 此时平面 EFB 与底面 ABCD 所成的锐二面角的平面角为 45，余弦值为 2 2 平面 EFB 与底面
13、ABCD 所成的锐二面角的平面角余弦值的取值范围是 0， 2 2 12如图所示，已知点 P 为菱形 ABCD 外一点，且 PA平面 ABCD，PA ADAC，点 F 为 PC 中点，则二面角 CBFD 的正切值为() A 3 6 B 3 4 C 3 3 D2 3 3 D如图所示，连接 BD，ACBDO，连接 OF以 O 为原点，OB，OC， OF 所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 Oxyz设 PAADAC1， 则 BD 3所以 B 3 2 ，0，0 ，F 0，0，1 2 ，C 0，1 2，0，D 3 2 ，0，0 结合图形可知，OC 0，1 2，0且OC 为平面 BDF 的一个
14、法向量， 由BC 3 2 ，1 2，0，FB 3 2 ，0，1 2 ， 可求得平面 BCF 的一个法向量 n(1，3， 3) 所以 cosn， OC 21 7 ，sinn， OC 2 7 7， 所以 tann， OC 2 3 3 即二面角 CBFD 的正切值为2 3 3 13 (一题两空)在四棱锥 PABCD 中， PDAC， AB平面 PAD， 底面 ABCD 为正方形，且 CDPD3若四棱锥 PABCD 的每个顶点都在球 O 的球面上， 则球 O 的表面积的最小值为_；当四棱锥 PABCD 的体积取得最大值时， 二面角 APCD 的正切值为_ 65设 CDx(0 x3)，则 PD3x， 因
15、为 AB平面 PAD，所以 ABPD， 又 PDAC，所以 PD平面 ABCD， 则四棱锥 PABCD 可补形为一个长方体，球 O 的球心为 PB 的中点， 从而球心 O 的表面积为：4 x2x23x2 2 2 3(x1)226 四棱锥的体积为 V1 3(3x)x 2(0 x3)， 则 Vx22x，当 0 x2 时，V0，当 2x3 时， V0，所以 VmaxV(2)，此时 ADCD2，PD1， 过 D 作 DHPC 于 H， 连接 AH，则AHD 为二面角 APCD 的平面角 DH21 5 2 5 5 ， tanAHDAD DH 5 14已知边长为 2 的正方形纸片 ABCD，现将其沿着对角
16、线 AC 翻折，使得 二面角 BACD 的大小等于 45，则四面体 ABCD 的体积为_ 2 3 如图，连接 AC，BD，设 AC 与 BD 相交于 E，则 BEAC，DEAC， BED 为二面角 BACD 的平面角，大小等于 45，且 AC平面 BED， 在平面 BED 中，过 B 作 BO平面 ACD，则 O 在 DE 上， 原正方形的边长为 2， SACD1 2222，BE 2，则 BO1 四面体 ABCD 的体积为1 321 2 3 15如图，正方形 ABCD 的边长为 4，ABAEBF1 2EF，ABEF，把 四边形 ABCD 沿 AB 折起，使得 AD平面 AEFB，G 是 EF
17、的中点，如图 图图 (1)求证：AG平面 BCE； (2)求二面角 CAEF 的余弦值 解(1)证明：连接 BG，因为 BCAD，AD底面 AEFB， 所以 BC底面 AEFB， 又 AG底面 AEFB， 所以 BCAG， 因为 ABAE，所以四边形 ABGE 为菱形，所以 AGBE， 又 BCBEB，BE平面 BCE，BC平面 BCE，所以 AG平面 BCE (2)由(1)知四边形 ABGE 为菱形，AGBE，AEEGBGAB4， 设 AGBEO，所以 OEOB2 3，OAOG2， 以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 O(0,0,0)，A(2,0,0)，E(0，2 3，0)，F(4,2 3，0)，C(0,2 3，4)，D( 2,0,4)， 所以AC (2,2 3，4)，AE (2，2 3，0)， 设平面 ACE 的法向量为 n(x，y，z)， 则令 y1，则 x 3，z 3， 即平面 ACE 的一个法向量为 n( 3，1， 3)， 易知平面 AEF 的一个法向量为AD (0,0,4)， 设二面角 CAEF 的大小为，由图易知 0， 2 ， 所以 cos |nAD | |n|AD | 4 3 74 21 7 故二面角 CAEF 的余弦值为 21 7
