1、课时分层作业(十七)圆与圆的位置关系 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1圆 x2y24 与圆 x2y22x4y40 的位置关系为() A相离B相交 C相切D内含 B圆 x2y24 的圆心坐标为(0,0)，半径为 2，圆 x2y22x4y40， 即(x1)2(y2)29，圆心坐标为(1，2)，半径为 3，两圆的圆心距为 1222 5， 半径和为 5， 半径差的绝对值为 1， 1 55， 两圆相交 2 圆x24xy20与圆(x2)2(y3)2r2有三条公切线， 则半径r() A5B4 C3D2 C两圆的圆心分别为(2,0)，(2,3)，半径分别为 2，r，由于两圆有三条公 切线，所以两圆相外
2、切， 2220322r，即 52r，r3 3 若圆 C： x2(y4)218 与圆 D： (x1)2(y1)2R2的公共弦长为 6 2， 则圆 D 的半径为() A5B2 5 C2 6D2 7 D两圆方程相减得 2x6y4R2，又由圆 C 的方程为 x2(y4)218， 其圆心为(0,4)，半径 r3 2，两圆的公共弦长为 6 2，则点(0,4)在直线 2x6y 4R2上，则有 20644R2，R228，R2 7 4半径为 5 且与圆 x2y26x8y0 相切于原点的圆的方程为() Ax2y26x8y0 Bx2y26x8y0 Cx2y26x8y0 Dx2y26x8y0 或 x2y26x8y0
3、B已知圆的圆心为(3，4)，半径为 5，所求圆的半径也为 5，由两圆相 切于原点，知所求圆的圆心与已知圆的圆心关于原点对称，即为(3,4)，可知选 B 5已知两圆 x2y24ax4a240 和 x2y22byb210 恰有三条公 切线，若 aR，bR，且 ab0，则 1 a2 1 b2的最小值为( ) A3B1 C4 9 D1 9 B两圆的标准方程为(x2a)2y24 和 x2(yb)21， 圆心为(2a,0)和(0，b)，半径分别为 2,1， 若两圆恰有三条公切线， 则等价为两圆外切， 即满足圆心距 2a2b2213， 即 4a2b29， 则 4 9a 21 9b 21， 则 1 a2 1
4、b2 1 a2 1 b2 4 9a 21 9b 2 4 9 1 9 4a2 9b2 b2 9a2 5 92 4a2 9b2 b2 9a2 5 9 4 9 1， 故选 B 二、填空题 6两圆相交于两点 A(1,3)和 B(m，1)，两圆圆心都在直线 xyc0 上， 则 mc 的值为 3由题意知，线段 AB 的中点在直线 xyc0 上， 且 kAB 4 1m1，即 m5， 又点 1m 2 ，1 在该直线上， 所以1m 2 1c0，所以 c2，所以 mc3 7已知点 P 在圆 x2y28x4y110 上，点 Q 在圆 x2y24x2y1 0 上，则|PQ|的最小值是 3 55两圆的圆心和半径分别为
5、C1(4,2)，r13， C2(2，1)，r22， |PQ|min|C1C2|r1r2 422212323 55 8在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x2y28x150，若直线 y kx2 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点， 则 k 的最大值是 4 3 圆 C：(x4)2y21，如图，要满足直线 ykx2 上至少存在一点， 使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，只需保证圆心 C 到 ykx 2 的距离小于或等于 2， 即|4k2| 1k22，解得 0k 4 3k max4 3 三、解答题 9求圆心在直线 xy40 上，且经过两圆 x
6、2y24x60 和 x2y2 4y60 交点的圆的方程 解法一：由 x2y24x60， x2y24y60， 得到两圆公共弦为 yx， 由 yx， x2y24y60， 解得 x11， y11 或 x23， y23. 两圆 x2y24x60 和 x2y24y60 的交点分别为 A(1，1)， B(3,3)， 线段 AB 的垂直平分线方程为 y1(x1) 由 y1x1， xy40， 得 x3， y1. 所求圆的圆心为(3，1)， 半径为 3323124 所求圆的方程为(x3)2(y1)216 法二：由法一知 A(1，1)，B(3,3) 设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2， 由 ab40， 1a
7、21b2r2， 3a23b2r2， 得 a3， b1， r216， 所求圆的方程为(x3)2(y1)216 10求与圆(x2)2(y1)24 相切于点 A(4，1)且半径为 1 的圆的方程 解设所求圆的圆心为 P(a，b)，则 a42b121 (1)若两圆外切， 则有 a22b12123， 联立，解得 a5，b1，所以，所求圆的方程为(x5)2(y1)21； (2)若两圆内切， 则有 a22b12|21|1， 联立，解得 a3，b1，所以，所求圆的方程为(x3)2(y1)21 综上所述，所求圆的方程为(x5)2(y1)21 或(x3)2(y1)21 11(多选题)如果圆(xa)2(ya3)21
8、 上存在两个不同的点 P、Q，使 得|OP|OQ|2(O 为坐标原点)，则 a 的可能取值为() A1B3 2 C2D3 ABC由题意知点 P、Q 满足|OP|OQ|2，则 P、Q 在以(0,0)为圆心，半 径为 2 的圆上其方程为 x2y24若圆(xa)2(ya3)21 上存在两个不 同的点 P、 Q 满足条件， 则两个圆有两个交点 即 21 a02a302 21，变形得 a23a0 且 a23a40，解得 0a3故 A、B、C 正确 12 设两圆 C1， C2都和两坐标轴相切， 且都过点(4,1)， 则两圆心的距离|C1C2| () A4B4 2 C8D8 2 C两圆与两坐标轴都相切，且都
9、经过点(4,1)，两圆圆心均在第一象限 且横、纵坐标相等设两圆的圆心分别为(a，a)，(b，b)，则有(4a)2(1a)2 a2，(4b)2(1b)2b2，即 a，b 为方程(4x)2(1x)2x2的两个根， 整理得 x210 x170， ab10，ab17 (ab)2(ab)24ab10041732， |C1C2| ab2ab2 3228 13(一题两空)在直角坐标系 xOy 中，点 A(x1，y1)和点 B(x2，y2)是单位圆 x2 y21 上两点，|AB|1，则AOB，|y12|y22|的最大值 为 3 4 3由|AB|1， 单位圆的半径为 1， 则AOB 为正三角形， 故AOB 3，
10、设 A(cos ，sin )，知 B cos 3 ，sin 3 ，则|y12|y22|4sin sin 3 4 3sin x 6 ， 故|y12|y22|的最大值为 4 3 14与直线 xy20 和曲线 x2y212x12y540 都相切的半径最小 的圆的标准方程是 (x2)2(y2)22曲线化为(x6)2(y6)218，其圆心 C1(6,6)到直线 xy20 的距离为 d|662| 2 5 2过点 C1且垂直于 xy20 的直线 为 y6x6， 即 yx， 所以所求的最小圆的圆心 C2在直线 yx 上， 如图所示， 圆心 C2到直线 xy20 的距离为5 23 2 2 2，则圆 C2的半径长
11、为 2设 圆心 C2的坐标为(x0，y0)，则|x0y02| 2 2，y0 x0，解得 x02(x00 舍去)， 所以圆心坐标为(2,2)， 所以所求圆的标准方程为(x2)2(y2)22 15已知圆 O1的方程为 x2(y1)24，圆 O2的圆心 O2(2，1) (1)若圆 O2与圆 O1外切，求圆 O2的方程，并求内公切线方程； (2)若圆 O2与圆 O1交于 A，B 两点，且|AB|2 2，求圆 O2的方程 解(1)由两圆外切，所以|O1O2|r1r2， r2|O1O2|r12( 21)， 故圆 O2的方程及(x2)2(y1)24( 21)2 两圆的方程相减，即得两圆内公切线的方程为 xy12 20 (2)设圆 O2的方程为：(x2)2(y1)2r22， 因为圆 O1的方程为：x2(y1)24， 所以两圆的方程相减，即得两圆公共弦 AB 所在直线的方程： 4x4yr2280 作 O1HAB(略)，则 AH1 2AB 2， O1H 2，由圆心(0，1)到直线的距离得|r 2 212| 4 2 2， 得 r224 或 r2220， 故圆 O2的方程为： (x2)2(y1)24 或(x2)2(y1)220
