1、1 2.7抛物线及其方程 2.7.1抛物线的标准方程抛物线的标准方程 课后篇巩固提升 基础达标练 1.(多选)对抛物线 x2=4y,下列描述不正确的是() A.开口向上,焦点为(0,1) B.开口向上,焦点为 0, 1 16 C.开口向右,焦点为(1,0) D.开口向右,焦点为 1 16 ,0 解析抛物线的标准方程为 x2=4y, 2p=4,p=2,解得? 2=1,因此抛物线的焦点为(0,1),准线为 y=-1,可得该抛物线的开口向上. 答案 BCD 2.抛物线 y=2x2的焦点到准线的距离是() A.2B.1C.1 4 D.1 2 解析抛物线 y=2x2化为 x2=1 2y, 焦点到准线的距
2、离为1 4. 答案 C 2 3.平面上动点 M 到点 F(3,0)的距离等于 M 到直线 l:x=-3 的距离,则动点 M 满足的方程是() A.y2=6xB.y2=12x C.x2=6yD.x2=12y 解析由条件可知,点 M 到点 F(3,0)的距离与到直线 x=-3 的距离相等,所以点 M 的轨迹是以 F(3,0)为 焦点,x=-3 为准线的抛物线,其方程为 y2=12x. 答案 B 4.已知抛物线 y2=2px(p0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为() A.(-1,0)B.(1,0) C.(0,-1)D.(0,1) 解析抛物线 y2=2px(p0)的准线方程为 x=-?
3、 2,由题设知- ? 2=-1,即 p=2,故焦点坐标为(1,0). 答案 B 5.已知抛物线 C:y2=x 的焦点为 F,A(x0,y0)是 C上一点,|AF|=5 4x0,则 x0等于( ) A.4B.2C.1D.8 解析如图,F 1 4,0 , 过 A 作 AA准线 l, |AF|=|AA|, 5 4x0=x0+ ? 2=x0+ 1 4, x0=1. 3 答案 C 6.如图,抛物线的顶点在坐标原点,焦点为 F,过抛物线上一点 A(3,y)作准线 l 的垂线,垂足为 B.若ABF 为等边三角形,则抛物线的标准方程是() A.y2=1 2x B.y2=x C.y2=2xD.y2=4x 解析设
4、直线 l 交 x 轴于点 C.ABl,lx 轴,ABx 轴,可得BFC=ABF=60,RtBCF 中,|CF|=|BF|cos 60=p, 解得|BF|=2p, 由 ABy 轴,可得 3+? 2=2p,p=2,抛物线的标准方程是 y 2=4x. 答案 D 7.若抛物线 y2=4x 上的点 M 到焦点的距离为 10,则 M 到 y轴的距离是. 解析抛物线 y2=4x 的焦点 F(1,0),准线为 x=-1.由 M 到焦点的距离为 10,可知 M 到准线 x=-1 的距离也 为 10,故 M 的横坐标满足 xM+1=10,解得 xM=9,所以点 M 到 y 轴的距离为 9. 答案 9 4 8.一抛
5、物线形拱桥,当桥顶离水面 2 米时,水面宽 4 米,若水面下降 2 米,则水面宽为米. 解析以拱桥的拱顶为原点,以过拱顶且平行于水面的直线为 x 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,设 抛物线方程为 x2=-2py(p0). 由当桥顶离水面 2 米时,水面宽 4 米可得图中点 A 的坐标为(2,-2), 所以 4=-2p(-2),解得 p=1. 所以抛物线的方程为 x2=-2y. 当水面下降 2 米,即当 y=-4 时, 可得 x2=-2(-4)=8,解得 x=2 2, 因此水面宽为 4 2米. 答案 4 2 9.根据下列条件分别求抛物线的标准方程. (1)抛物线的焦点是双曲线 16x2-9y2
6、=144 的左顶点; (2)抛物线的焦点 F 在 x 轴上,直线 y=-3 与抛物线交于点 A,|AF|=5. 解(1)双曲线方程可化为? 2 9 ? ?2 16=1,左顶点为(-3,0), 由题意设抛物线方程为 y2=-2px(p0)且-? 2=-3,p=6,抛物线的方程为 y 2=-12x. (2)设所求焦点在 x 轴上的抛物线的方程为 y2=2nx(n0),A(m,-3), 由抛物线定义得 5=|AF|= ? + ? 2 . 又(-3)2=2nm,n=1 或 n=9, 5 故所求抛物线方程为 y2=2x或 y2=18x. 10.已知点 P 是抛物线 x2=4y 上的动点,点 P 在 x
7、轴上的射影是点 Q,点 A 的坐标是(8,7),求|PA|+|PQ| 的最小值. 解抛物线的焦点为 F(0,1),准线方程为 y=-1, 如图,设点 P 在准线上的射影是点 M, 根据抛物线的定义知,|PF|=|PM|=|PQ|+1. 所以|PA|+|PQ|=|PA|+|PM|-1=|PA|+|PF|-1|AF|-1= 82+ (7-1)2-1=10-1=9, 当且仅当 A,P,F 三点共线时,等号成立. 故|PA|+|PQ|的最小值为 9. 能力提升练 1.AB 是抛物线 y2=2x的一条焦点弦,|AB|=4,则 AB 中点 C 的横坐标是() A.2B.1 2 C.3 2 D.5 2 解析
8、设 A(x1,y1),B(x2,y2), 根据抛物线的定义可知,|AB|=x1+x2+p=x1+x2+1=4,?1+?2 2 ? 3 2. 答案 C 2.抛物线 y2=2px(p0)上有 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)三点,F 是它的焦点,若|AF|,|BF|,|CF|成等差数列,则 () A.x1,x2,x3成等差数列B.x1,x3,x2成等差数列 C.y1,y2,y3成等差数列D.y1,y3,y2成等差数列 6 解析抛物线 y2=2px(p0), 其准线方程为 x=-? 2, 设点 A,B,C 在直线 x=-? 2上的射影分别为 M,N,Q,由抛物线的定义得 |AF|
9、=|AM|=x1+? 2,|BF|=|BN|=x2+ ? 2,|CF|=|CQ|=x3+ ? 2, |AF|,|BF|,|CF|成等差数列, 2|BF|=|AF|+|CF|, 2 ?2+ ? 2 =x1+? 2+x3+ ? 2,2x2=x1+x3, x1,x2,x3成等差数列. 答案 A 3.(多选)方程 (?-2)2+ (?-2)2? |3?-4?-6| 5 表示的曲线不可能为() A.抛物线B.椭圆 C.双曲线D.圆 解析设 P(x,y),由方程 (?-2)2+ (?-2)2? |3?-4?-6| 5 得,点 P 到点 F(2,2)的距离等于点 P 到直线 3x-4y-6=0 的距离,又点
10、 F 不在直线 3x-4y-6=0 上,由抛物线的定义得,曲线为抛物线. 答案 BCD 4.以下四个命题: 平面内与一定点 F和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹是抛物线; 抛物线 y=ax2的焦点到原点的距离是|?| 4; 直线 l 与抛物线 y2=2px(p0)交于两点 A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+p; 正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线 y2=2px(p0)上,则此正三角形的边长为 4 3p. 7 其中正确命题的序号是. 解析当定点 F 正好在定直线 l 上时,平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹不是 抛物线,故错
11、; 当 a0 时,整理抛物线方程得 x2=1 ?y,p= 1 2?. 所以焦点坐标为 0, 1 4? ,抛物线 y=ax2的焦点到原点的距离是 1 4|?|,故错; 当直线 l 不是过抛物线焦点的直线时,直线 l 与抛物线 y2=2px(p0)交于两点 A(x1,y1),B(x2,y2), 则|AB|=x1+x2+p 不成立,故错; 设正三角形另外两个顶点的坐标分别为 ?2 2? ,? , ?2 2? ,-? ,由 tan 30= 3 3 ? ? ?2 2? , 解得 m=2 3p,故这个正三角形的边长为 2m=4 3p,故正确. 答案 5.已知曲线 C 上的任意一点到定点 F(1,0)的距离
12、与到定直线 x=-1 的距离相等. (1)求曲线 C 的方程; (2)若曲线 C 上有两个定点 A,B 分别在其对称轴的上、下两侧,且|FA|=2,|FB|=5,求原点 O 到直线 AB 的距离. 解(1)曲线 C 上任意一点到点 F(1,0)的距离与到直线 x=-1 的距离相等, 曲线 C 的轨迹是以 F(1,0)为焦点的抛物线,且? 2=1,曲线 C 的方程为 y 2=4x. (2)由抛物线的定义结合|FA|=2 可得,A到准线 x=-1 的距离为 2, 即 A 的横坐标为 1,代入抛物线方程可得 y=2,即 A(1,2),同理可得 B(4,-4),故直线 AB 的斜率 k=2-(-4)
13、1-4 =-2, 故 AB 的方程为 y-2=-2(x-1), 即 2x+y-4=0,由点到直线的距离公式可得,原点 O 到直线 AB 的距离为 |-4| 22+12 ? 4 5 5 . 8 素养培优练 1.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 3,点 M 在 AB 上,且|AM|=1 3|AB|,点 P在平面 ABCD 上,且动点 P 到直线 A1D1的距离与 P 到点 M 的距离相等,在平面直角坐标系 xAy 中,动点 P 的轨迹方程 是,此曲线的焦点为. 解析作 PNAD,NHA1D1,N,H为垂足,图略,则 PN面 A1D1DA, 由线面垂直的判定可得出 PHA1D1. 以
14、 AD,AB,AA1为 x 轴,y 轴,z轴,建立空间直角坐标系,设 P(x,y,0),由题意可得 M(0,1,0),H(x,0,3),|PM|=|PH|,?2+ (?-1)2?2+ 9, 整理,得 x2=2y+8,即 x2=2(y+4),该曲线的焦点可以看作是由 x2=2y 的焦点向下平移 4 个单位长 度得到的,即 0,- 7 2 . 答案 x2=2y+80,- 7 2 2.已知 M 到点 F(1,0)和直线 x=-1 的距离相等,记点 M 的轨迹为 C. (1)求轨迹 C 的方程; (2)过点 F 作相互垂直的两条直线 l1,l2,曲线 C 与 l1交于点 P1,P2,与 l2交于点 Q
15、1,Q2,试证明: 1 |?1?2| + 1 |?1?2| ? 1 4. (1)解点 M 到点 F(1,0)和直线 x=-1 的距离相等, 由抛物线的定义可知,点 M 的轨迹是抛物线, 设方程为 y2=2px(p0), 9 ? 2=1,p=2. 轨迹 C 的方程为 y2=4x. (2)证明由题意知,l1,l2的斜率均存在且不为 0. 设 l1的方程为 y=k(x-1),代入抛物线方程, 整理可得 k2x-(2k2+4)x+k2=0, 设 P1,P2的横坐标分别为 x1,x2, 则 x1+x2=2? 2+4 ?2 , |P1P2|=x1+x2+p=4? 2+4 ?2 , 以-1 ?代入,可得|Q1Q2|=4+4k 2, 1 |?1?2| + 1 |?1?2| ? 1 4.
