1、课时分层作业(二十)椭圆的几何性质 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，且长轴长为 12，离心率为 1 3，则椭圆的方程是( ) A x2 144 y2 1281 Bx 2 36 y2 201 Cx 2 32 y2 361 Dx 2 36 y2 321 D由 2a12，c a 1 3，解得 a6，c2， b2622232， 焦点在 x 轴上，椭圆的方程为x 2 36 y2 321 2如图所示，底面直径为 12 cm 的圆柱被与底面成 30角的平面所截，截 口是一个椭圆，则这个椭圆的离心率为() A1 2 B3 4 C1 3 D2 3 A由题意得
2、2a 12 cos 308 3(cm)，短轴长即 2b 为底面圆直径 12 cm， c a2b22 3 cm，ec a 1 2故选 A 3已知椭圆 C 的短轴长为 6，离心率为4 5，则椭圆 C 的焦点 F 到长轴的一 个端点的距离为() A9B1 C1 或 9D以上都不对 C b3， c a 4 5， a2b2c2， 解得 a5，b3，c4 椭圆 C 的焦点 F 到长轴的一个端点的距离为 ac9 或 ac1 4若椭圆x 2 a2 y2 b21(其中 ab0)的离心率为 3 5，两焦点分别为 F 1、F2，M 为椭圆上一点，且F1F2M 的周长为 16，则椭圆 C 的方程为() Ax 2 16
3、 y2 251 Bx 2 25 y2 9 1 Cx 2 9 y 2 251 Dx 2 25 y2 161 D由题意知 2a2c16又 ec a 3 5，所以 a5，c3，则 b4，所以 椭圆方程为：x 2 25 y2 161 5已知 F1、F2为椭圆x 2 a2 y2 161 的左右焦点，M 为椭圆上一点，若满足 MF1F2内切圆的周长等于 3的点 M 恰好有两个，则 a2( ) A20B25 C36D48 B设MF1F2的内切圆的半径等于 r，则由题意可得：2r3， r3 2，由椭圆的定义可得|MF 1|MF2|2a， 又 c2a2b2a216， c a216，由满足条件的点恰有两个，知 M
4、 是椭圆的短轴顶点 即|yM|4，SMF1F21 22c|y M|4 a216 又MF1F2的面积为1 2(|MF 1|MF2|2c)r(ac)r3 2(a a 216)， 由3 2(a a 216)4 a216得 a225 二、填空题 6如果方程 x2 5m y2 m41，表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围 是 9 2m5 由题意方程 x2 5m y2 m41 表示焦点在 y 轴上的椭圆， 可得 m40,5m0，并且 m45m， 解得9 2m5 7已知椭圆 W： x2 b2 y2 a21(ab0)的离心率为 6 3 ，两点 A(0，0)、B(2,0)若 椭圆 W 上存在点 C，使
5、得ABC 为正三角形，则椭圆 W 方程为 x2 2 y 2 6 1因为 A(0,0)、B(2,0)，且ABC 为正三角形，所以根据正三角形 的性质可得点 C(1， 3)或(1， 3)， 又点 C 在椭圆 W 上， 1 b2 3 a21， 1 b2 3 a21， c a 6 3 ， a2b2c2， 解得 a 6， b 2， c2， 椭圆 W 的方程为x 2 2 y 2 6 1 8若椭圆x 2 4 y 2 m 1 上一点到两焦点的距离之和为 m3，则 m 的值 为 9若椭圆的焦点在 x 轴上，有 4m，则 a2，由题意知，2am34， m7，由 4m 知 m7(舍去)； 若焦点在 y 轴，有 m4
6、，则 a m，由 2am32 m，得 m9 或 m 1(舍去) 三、解答题 9设椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)长轴的两个顶点分别为 A、B，点 C 为椭圆上 不同于 A、B 的任一点，若将ABC 的三个内角记作 A、B、C，且满足 3tan A 3tan Btan C0，求椭圆的离心率 解因为 3tan A3tan Btan C0 可得3sin A cos A 3sin B cos B sinAB cosAB，即 3sin Acos Bsin Bcos A cos Acos B sinAB cosAB， 而在三角形中， sin Acos Bcos Asin Bsin (AB)0， 所
7、以上式可得 3cos (A B)cos Acos B0 而 cos (AB)cos Acos Bsin Asin B， 所以可得 2cos Acos B3sin Asin B，即 tan Atan B2 3， 由题意可得 A(a,0)，B(a,0)，设 C(x0，y0)， 可得x 2 0 a2 y20 b21，由双曲线的对称性设 C 在第一象限，如图所示： 在ACD 中，tan A y0 x0a， 在BDC 中，tan B y0 ax0， 所以 tan Atan B y0 x0a y0 ax0 y20 a2x20 b2 1x 2 0 a2 a2x20 b 2 a2， 所以可得b 2 a2 2
8、3， 所以离心率 ec a 1b 2 a2 12 3 3 3 10如图，已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)，F 1，F2分别为椭圆的左、右焦点， A 为椭圆的上顶点，直线 AF2交椭圆于另一点 B (1)若F1AB90，求椭圆的离心率； (2)若AF2 2F2B ，AF1 AB 3 2，求椭圆的方程 解(1)若F1AB90， 则AOF2为等腰直角三角形， 所以有|OA|OF2|， 即 bc 所以 a 2c，ec a 2 2 (2)由题意知 A(0，b)，F1(c,0)，F2(c,0) 其中，c a2b2，设 B(x，y) 由AF2 2F2B (c，b)2(xc，y)， 解得 x3c
9、2 ，yb 2，即 B 3c 2 ，b 2 将 B 点坐标代入x 2 a2 y2 b21，得 9 4c 2 a2 b2 4 b2 1， 即9c 2 4a2 1 41， 解得 a23c2 又由AF1 AB (c，b) 3c 2 ，3b 2 3 2b 2c21，即有 a22c21 由解得 c21，a23， 从而有 b22 所以椭圆方程为x 2 3 y 2 2 1 11已知椭圆x 2 5 y 2 m1 的离心率为 e 10 5 ，则 m 的值为() A5B4 C25 3 或 3D8 C由椭圆的标准方程，易知 m0 且 m5 若 0m5, 则 a25，b2m 由m 5 1 10 5 2 3 5，得 m
10、3 若 m5，则 a2m，b25 由5 m1 10 5 2 3 5，得 m 25 3 所以 m 的值为 3 或25 3 12(多选题)已知椭圆 C 的中心为坐标原点，焦点 F1、F2在 y 轴上，短轴长 等于 2，离心率为 6 3 ，过焦点 F1作 y 轴的垂线交椭圆 C 于 P、Q 两点，则下列 说法正确的是() A椭圆 C 的方程为y 2 3 x21 B椭圆 C 的方程为x 2 3 y21 C|PQ|2 3 3 DPF2Q 的周长为 4 3 ACD由已知得 2b2，b1，c a 6 3 ， 又 a2b2c2解得 a23 椭圆方程为 x2y 2 3 1，又|PQ|2b 2 a 2 3 2 3
11、 3 PF2Q 的周长为 4a4 3 13(一题两空)如图，已知 F1，F2分别是椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、 右焦点，点 P 在椭圆 C 上，线段 PF2与圆 x2y2b2相切于点 Q，且点 Q 为线 段 PF2的中点，则椭圆 C 的离心率为若 a3，则圆面积为 5 3 4由题意知 OQ 垂直平分 PF2 所以|PO|OF2|c 又 O 为 F1F2的中点， Q 为 PF2的中点， 所以 PF1OQ， PF1PF2， 且|PF1| 2|OQ|2b，|PF2| |F1F2|2|PF1|2 4c24b22 c2b2 由椭圆的定义可知 2a|PF1|PF2|2b2 c2b2
12、，即 ab c2b2，两 边平方整理可得 3b22ab， 3b2a，9b24a2，9(a2c2)4a2， 即 5a29c2， 5a3c，ec a 5 3 由 a3 结合上述解法知，3b2a， b2，圆的半径为 2，S224 14已知椭圆 C：x 2 9 y 2 4 1，点 M 与 C 的焦点不重合，若 M 关于 C 的焦点 的对称点分别为 A，B，线段 MN 的中点在 C 上，则|AN|BN| 12如图令 MN 的中点为 Q，易得|AN|2|QF1|， |BN|2|QF2|， Q 在椭圆 C 上， |QF1|QF2|2a6， |AN|BN|12 15已知椭圆 G：x 2 a2 y2 b21(a
13、b0)在 y 轴上的一个顶点为 M，两个焦点分 别是 F1，F2，F1MF2120，MF1F2的面积为 3 (1)求椭圆 G 的方程； (2)过椭圆 G 长轴上的点 P(t,0)的直线 l 与圆 O： x2y21 相切于点 Q(Q 与 P 不重合)，交椭圆 G 于 A，B 两点若|AQ|BP|，求实数 t 的值 解(1)由椭圆性质，知|MF2|a， 于是 casin 60 3 2 a，bacos 601 2a 所以MF1F2的面积 S1 2(2c)b 1 2( 3a) 1 2a 3，解得 a2，b1 所以椭圆 G 的方程为x 2 4 y21 (2)显然，直线 l 与 y 轴不平行，可设其方程为 yk(xt) 由于直线 l 与圆 O 相切， 则圆心 O 到 l 的距离 d |kt| k211， 即 k2t2k21， 联立 x24y24， ykxt， 化简得(14k2)x28tk2x4(t2k21)0 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2 8tk2 14k2 设 Q(x0，y0)，有 y0kx0t， y0 x0 1 k， 解得 x0 tk2 1k2 由已知可得，线段 AB，PQ 中点重合，即有 x1x2tx0 因此 8tk2 14k2t tk2 1k2，化简得 k 21 2， 将其代入式，可得 t 3
