1、课时分层作业(十六)直线与圆的位置关系 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1对任意的实数 k，直线 ykx1 与圆 x2y22 的位置关系一定是() A相离B相切 C相交但直线不过圆心D相交且直线过圆心 C易知直线过定点(0,1)且点(0,1)在圆内，但是直线不过圆心(0,0) 2直线 3x4yb 与圆 x2y22x2y10 相切，则 b 的值是() A2 或 12B2 或12 C2 或12D2 或 12 D由圆 x2y22x2y10 知圆心坐标为(1,1)，半径为 1，所以 |3141b| 3242 1， 解得 b2 或 b12 3如果直线 axby4 与圆 x2y24 有两个不同的交点
2、，则点 P(a，b)与 圆的位置关系是() AP 在圆外BP 在圆上 CP 在圆内D不能确定 A直线 axby4 与圆 x2y24 的圆心之间的距离为 d |4| a2b2 又直线与圆有两个不同的交点， 所以 dr，即 4 a2b22，a 2b24，点 P(a，b)在圆外 4直线 l 与圆 x2y22x4ya0(a3)相交于 A、B 两点，若弦 AB 的中 点 C(2,3)，则直线 l 的方程为() Axy50Bxy10 Cxy50Dxy30 A由圆的一般方程可得圆心 O(1,2)， 由圆的性质易知 O(1,2)， C(2,3) 的连线与弦 AB 垂直，故有 kABkOC1kAB1，故直线 A
3、B 的方程为 y3 x2，即 xy50 5若直线 xy2 被圆(xa)2y24 所截得的弦长为 2 2，则实数 a 的值 为() A1 或 3B1 或 3 C2 或 6D0 或 4 D由弦长公式 l2 r2d2， 可知圆心到直线的距离 d 2， 即 |a2| 1212 2，解得 a0 或 a4 二、填空题 6若直线 x2y30 与圆 C：(x2)2(y3)29 交于 E，F 两点，则 ECF 的面积为 2 5圆心 C(2，3)到直线 x2y30 的距离为 d 5 5 5，又知圆 C 的半径长为 3，|EF|2 32 524，SECF1 2|EF|d 1 24 52 5 7直线 l：yxb 与曲
4、线 C：y 1x2有两个公共点，则 b 的取值范围 是 1b 2曲线C的方程可化为x2y21(y0)， 易知曲线的图象为以(0,0) 为圆心，1 为半径的圆的上半部分，如图所示，直线 yxb 是平行于 yx 的直 线，由图知直线夹在 l1与 l2之间，含 l2，不含 l1，故 1b 2 8过点 P(1,2)且与圆 C：x2y25 相切的直线方程是 x2y50点 P(1,2)是圆 x2y25 上的点， 圆心为 C(0,0)，则 kPC 2 12， 所以 k1 2，y2 1 2(x1)故所求切线方程是 x2y50 三、解答题 9已知：圆 C：x2y28y120，直线 l：axy2a0 (1)当 a
5、 为何值时，直线 l 与圆 C 相切？ (2)当直线 l 与圆 C 相交于 A、B 两点，且 AB22时，求直线 l 的方程 解圆 C 方程可化为 x2(y4)24，此圆的圆心为(0,4)，半径为 2 (1)若直线 l 与圆 C 相切，则有|42a| a212，解得 a 3 4，即当 a 3 4时， 直线 l 与圆 C 相切 (2)过圆心 C 作 CDAB，则根据题意和圆的性质，得 |CD|42a| a21， |CD|2|DA|2|AC|222， |DA|1 2|AB| 2， 解得 a7 或 a1， 故所求方程为：7xy140 或 xy20 10已知以点 A(1,2)为圆心的圆与直线 l1：x
6、2y70 相切，过点 B( 2,0)的动直线 l 与圆 A 相交于 M，N 两点，Q 是 MN 的中点 (1)求圆 A 的方程； (2)当|MN|219时，求直线 l 的方程 解(1)设圆 A 的半径为 r， 圆 A 与直线 l1：x2y70 相切， r|147| 5 2 5， 圆 A 的方程为(x1)2(y2)220 (2)当直线 l 与 x 轴垂直时， 则直线 l 的方程 x2， 此时有|MN|2 19，即 x2 符合题意 当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的斜率为 k， 则直线 l 的方程为 yk(x2)， 即 kxy2k0， Q 是 MN 的中点，AQMN， |AQ|2 1
7、2|MN| 2 r2， 又|MN|2 19，r2 5，|AQ| 20191， 解方程|AQ| |k2| k211，得 k 3 4， 此时直线 l 的方程为 y03 4(x2)， 即 3x4y60 综上所述，直线 l 的方程为 x2 或 3x4y60 11(多选题)圆 C：x2y22x4ym20 与直线 2x4ym20 的位置关 系是() A相交B相切 C相离D无法判断 BC由 x2y22x4ym20， 2x4ym20， 得，x2y20，xy0 代入得，m20，即当 m0 时，方程组有一个解 x0， y0. 而当 m0 时，方程组无解，当 m0 时直线 l 与圆 C 相切；当 m0 时， 直线与
8、 C 相离 12若直线 axby30 和圆 x2y24x10 相切于点 P(1,2)，则 ab 的值为() A3B2 C2D3 C圆的标准方程为(x2)2y25，直线与圆相切，则圆心到直线的距离 为 5，所以|2a3| a2b2 5， 整理得 a212a5b290，又直线过 P(1,2)， 代入得 2ba30， 两式联立，得 a1，b2，所以 ab2 13(一题两空)已知直线 l：2mxy8m30，则直线过定点， 该直线被圆 C：x2y26x12y200，截得最短弦长为 (4，3)2 15将直线 l 变形得 2m(x4)y3，即直线 l 恒过定点 P(4， 3)，圆的方程可化为(x3)2(y6
9、)225 如图，当圆心 C(3，6)到直线 l 的距离最大时，线段 AB 的长度最短 此时 PCl，又 kPC36 43 3， 所以直线 l 的斜率为1 3， 则 2m1 3，所以 m 1 6 在 RtAPC 中，|PC| 10，|AC|r5 所以|AB|2 |AC|2|PC|22 15 故当 m1 6时，l 被 C 截得的弦长最短，最短弦长为 2 15 14圆 x2y22x4y30 上到直线 xy10 的距离为 2的点有 个 3圆的方程可化为(x1)2(y2)28， 所以弦心距为 d|121| 2 2 又圆的半径为 2 2，所以到直线 xy10 的距离为 2的点有 3 个 15(1)圆 C
10、与直线 2xy50 切于点(2,1)，且与直线 2xy150 也相 切，求圆 C 的方程； (2)已知圆 C 和 y 轴相切，圆心 C 在直线 x3y0 上，且被直线 yx 截得 的弦长为 2 7，求圆 C 的方程 解(1)设圆 C 的方程为(xa)2(yb)2r2 两切线 2xy50 与 2xy150 平行， 2r|155| 2212 4 5，r2 5， |2ab15| 221 r2 5，即|2ab15|10， |2ab5| 221 r2 5，即|2ab5|10， 又过圆心和切点的直线与过切点的切线垂直， b1 a2 1 2， 由解得 a2， b1. 所求圆 C 的方程为(x2)2(y1)220 (2)设圆心坐标为(3m，m) 圆 C 和 y 轴相切，得圆的半径为 3|m|， 圆心到直线 yx 的距离为|2m| 2 2|m|由半径、弦心距、半弦长的关系 得 9m272m2，m1， 所求圆 C 的方程为(x3)2(y1)29 或(x3)2(y1)29
