1、1 第二章测评第二章测评 (时间:120 分钟满分:150 分) 一、单项选择题:本题共 8小题,每小题 5分,共 40分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知直线 l 过点(2,-1),且在 y 轴上的截距为 3,则直线 l 的方程为() A.2x+y+3=0B.2x+y-3=0 C.x-2y-4=0D.x-2y+6=0 解析由题意直线过(2,-1),(0,3), 故直线的斜率 k=3+1 0-2=-2, 故直线的方程为 y=-2x+3,即 2x+y-3=0. 答案 B 2.已知点 P(-2,4)在抛物线 y2=2px(p0)的准线上,则该抛物线的焦点坐标是()
2、A.(0,2)B.(0,4)C.(2,0)D.(4,0) 解析因为点 P(-2,4)在抛物线 y2=2px 的准线上, 所以-? 2=-2,所以 p=4,则该抛物线的焦点坐标是(2,0). 答案 C 3.已知直线 l1:xcos2+ 3y+2=0,若 l1l2,则 l2倾斜角的取值范围是() A. 3 , 2 B. 0, 6 C. 3 , 2 D. 3 , 5 6 2 解析因为 l1:xcos2+ 3y+2=0 的斜率 k1=-cos 2? 3 - 3 3 ,0 ,当 cos =0 时,即 k1=0 时,k 不存在,此时倾斜 角为1 2,由 l1l2,k10 时,可知直线 l2的斜率 k=-
3、1 ?1 3,此时倾斜角的取值范围为 3 , 2 . 综上可得 l2倾斜角的取值范围为 3 , 2 . 答案 C 4.设抛物线 y2=4x 的焦点为 F,准线为 l,则以 F 为圆心,且与 l 相切的圆的方程为() A.(x-1)2+y2=4B.(x-1)2+y2=16 C.(x-2)2+y2=16D.(x+2)2+y2=4 解析根据题意,抛物线 y2=4x,其焦点在 x轴正半轴上,且 p=2,则其焦点 F(1,0),准线方程为 x=-1, 以 F 为圆心,且与 l 相切的圆的半径 r=2, 则该圆的方程为(x-1)2+y2=4. 答案 A 5.在一个平面上,机器人到与点 C(3,-3)的距离
4、为 8 的地方绕 C 点顺时针而行,它在行进过程中到经过 点 A(-10,0)与 B(0,10)的直线的最近距离为() A.8 2-8B.8 2+8 C.8 2D.12 2 解析机器人到与点 C(3,-3)距离为 8 的地方绕 C 点顺时针而行,在行进过程中保持与点 C 的距离不变, 机器人的运行轨迹方程为(x-3)2+(y+3)2=64,如图所示; A(-10,0)与 B(0,10), 直线 AB 的方程为 ? -10 + ? 10=1,即为 x-y+10=0, 3 则圆心 C 到直线 AB 的距离为 d=|3+3+10| 1+1 =8 28,最近距离为 8 2-8. 答案 A 6.设 P
5、是双曲线? 2 ?2 ? ?2 ?2=1(a0,b0)上的点,F1、F2是焦点,双曲线的离心率是 4 3,且F1PF2=90, F1PF2的面积是 7,则 a+b 等于() A.3+ 7B.9+ 7C.10D.16 解析由题意,不妨设点 P是右支上的一点,|PF1|=m,|PF2|=n,则 1 2?t = 7, ?-t = 2?, ?2+ t2= 4?2, ? ? = 4 3, a=3,c=4. b= ?2-?2=7.a+b=3+ 7. 答案 A 7.位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥(如图所示)有“仙境之桥”之称,它的桥形可近似地看成抛物线, 该桥的高度为 h,跨径为 a,则桥形对应的抛物线的
6、焦点到准线的距离为() A.? 2 8? B.? 2 4? C.? 2 2? D.? 2 ? 解析根据题意,以桥顶为坐标原点,桥形的对称轴为 y 轴建立如右图所示的平面直角坐标系,该抛物线 方程可写为 x2=-2py(p0). 4 该抛物线经过点 ? 2 ,-? ,代入抛物线方程可得? 2 4 =2hp,解得 p=? 2 8?.桥形对应的抛物线的焦点到 准线的距离即为 p=? 2 8?. 答案 A 8.平面直角坐标系中,设 A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),点 M 在单位圆上,则使得MAB 为直角三角形的点 M 的个数是() A.1B.2C.3D.4 解析根据题意,如图,若
7、MAB 为直角三角形,分 3 种情况讨论: MAB=90,则点 M 在过点 A 与 AB 垂直的直线上,设该直线为 l1, 又由 A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),则 kAB= 2.56-0.56 1.02-(-0.98)=1, 则?1=-1,直线 l1的方程为 y-0.56=-(x+0.98),即 x+y+0.42=0, 此时原点 O到直线 l1的距离 d=|0.42| 2 = 21 2 100 1, 直线 l2与单位圆相离,没有公共点,即没有符合题意的点 M; AMB=90,此时点 M 在以 AB 为直径的圆上, 5 又由 A(-0.98,0.56),B(1.02,2.
8、56),设 AB 的中点为 C,则 C的坐标为(0.02,1.56),|AB|= 4 + 4=2 2,则 以 AB 为直径的圆的圆心 C 为(0.02,1.56),半径 r=1 2|AB|= 2, 此时|OC|= (0.02)2+ (1.56)2=2.434 0, 则有 2-1|OC|0)交于不同的 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,下列结论正确的有 () A.a(x1-x2)+b(y1-y2)=0 B.2ax1+2by1=a2+b2 C.x1+x2=a D.y1+y2=2b 解析两圆方程相减可得直线 AB 的方程为 a2+b2-2ax-2by=0,即 2ax+2by=a2+b2,故 B
9、 正确; 分别把 A(x1,y1),B(x2,y2)两点代入 2ax+2by=a2+b2得 2ax1+2by1=a2+b2,2ax2+2by2=a2+b2, 两式相减得 2a(x1-x2)+2b(y1-y2)=0, 即 a(x1-x2)+b(y1-y2)=0,故 A 正确; 由圆的性质可知,线段 AB 与线段 C1C2互相平分, x1+x2=a,y1+y2=b,故 C 正确,D错误. 答案 ABC 10.若 P 是圆 C:(x+3)2+(y-3)2=1 上任一点,则点 P 到直线 y=kx-1 距离的值可以为() A.4B.6C.3 2+1D.8 6 解析直线 y=kx-1 恒过定点 A(0,
10、-1)点,当直线与 AC 垂直时,点 P 到直线 y=kx-1 距离最大,等于 AC+r, 圆心坐标为(-3,3), 所以为 (-3)2+ (3 + 1)2+1=6, 当直线与圆有交点时,点 P 到直线的距离最小为 0,所以点 P 到直线 y=kx-1 距离的范围为0,6. 答案 ABC 11.在平面直角坐标系中,曲线 C 上任意点 P 与两个定点 A(-2,0)和点 B(2,0)连线的斜率之和等于 2,则 关于曲线 C的结论正确的有() A.曲线 C是轴对称图形 B.曲线 C 上所有的点都在圆 x2+y2=2 外 C.曲线 C 是中心对称图形 D.曲线 C上所有点的横坐标 x 满足|x|2
11、解析设 P(x,y),则 kPA+kPB=2,即 ? ?+2 + ? ?-2=2(x2),整理得 x 2-xy=4(x2), 所以曲线 C是中心对称图形,不是轴对称图形,故 C 正确,A错误; 由 x2-xy=42=x2+y2,所以曲线 C 上所有的点都在圆 x2+y2=2 外,故 B 正确; 由 x2-xy=4 可知,xR 且 x0,x2,故 D错误. 答案 BC 12.已知 P 是椭圆 E:? 2 8 + ?2 4 =1 上一点,F1,F2为其左右焦点,且F1PF2的面积为 3,则下列说法正确的 是() A.P 点纵坐标为 3 B.F1PF2 2 C.F1PF2的周长为 4( 2+1) D
12、.F1PF2的内切圆半径为3 2( 2-1) 7 解析设 P 点坐标为(x,y),S=1 22c|y|= 1 24|y|=3,得 y= 3 2或 y=- 3 2,故 A错误; 椭圆中焦点三角形面积为 S=b2tan? 2(为焦点三角形的顶角),S=4tan ? 2=3,得 tan ? 2 = 3 4,则 ? 2 ? 4, F1PF20,b0)的左、右焦点,P 是双曲线上一点,F2到左顶 点的距离等于它到渐近线距离的 2 倍, (1)求双曲线的渐近线方程; (2)当F1PF2=60时,PF1F2的面积为 48 3,求此双曲线的方程. 解(1)因为双曲线的渐近线方程为 bxay=0, 则点 F2到
13、渐近线距离为 |?0| ?2+?2=b(其中 c是双曲线的半焦距),所以由题意知 c+a=2b. 又因为 a2+b2=c2,解得 b=4 3a, 故所求双曲线的渐近线方程是 4x3y=0. (2)因为F1PF2=60,由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos 60=|F1F2|2, 即|PF1|2+|PF2|2-|PF1|PF2|=4c2. 又由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a, 平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|=4a2, 相减得|PF1|PF2|=4c2-4a2=4b2. 根据三角形的面积公式得 S=1 2|PF1|PF2|sin 6
14、0= 3 4 4b2= 3b2=48 3,得 b2=48. 12 由(1)得 a2= 9 16b 2=27, 故所求双曲线方程是? 2 27 ? ?2 48=1. 20.(12 分)已知抛物线 y2=2px(p0)的焦点为 F,A 点在抛物线上,且 A 的横坐标为 4,|AF|=5. (1)求抛物线的方程; (2)设 l 为过(4,0)点的任意一条直线,若 l 交抛物线于 B,C 两点,求证:以 BC 为直径的圆必过坐标原点. (1)解抛物线 y2=2px(p0)的焦点为 F ? 2,0 ,准线为 x=- ? 2,由抛物线的定义可得,|AF|=4+ ? 2=5,解得 p=2, 即抛物线的方程为
15、 y2=4x. (2)证明设直线 l:x=my+4,B(x1,y1),C(x2,y2), 代入抛物线方程 y2=4x,可得 y2-4my-16=0, 判别式为 16m2+640 恒成立, y1+y2=4m,y1y2=-16, x1x2= ?1 2 4 ?2 2 4 =16, 即有 x1x2+y1y2=0,则?t ? ? ? ? ?,则以 BC 为直径的圆必过坐标原点. 21.(12 分)在平面直角坐标系 xOy 中有曲线:x2+y2=1(y0). (1)如图 1,点 B 为曲线上的动点,点 A(2,0),求线段 AB 的中点的轨迹方程; (2)如图 1,点 B 为曲线上的动点,点 A(2,0)
16、,求三角形 OAB 的面积最大值,并求出对应 B 点的坐标; 13 (3)如图 2,点 B 为曲线上的动点,点 A(2,0),将OAB 绕点 A 顺时针旋转 90得到DAC,求线段 OC 长度的最大值. 解(1)设点 B的坐标为(x0,y0),则 y00,设线段 AB 的中点为点 M(x,y), 由于点 B 在曲线上,则?0 2 + ?0 2=1, 因为点 M 为线段 AB 的中点,则 2x=x0+2,2y=y0,得 x0=2x-2,y0=2y, 代入式得(2x-2)2+4y2=1,化简得(x-1)2+y2=1 4,其中 y0. (2)设 B(x0,y0),02)上运动, 问题转化为原点 O
17、到右半圆 D上一点 C 的距离的最大值, 连接 OD 并延长交右半圆 D 于点 C,当点 C 与点 C重合时,|OC|取最大值, 且|OC|max=|OD|+1=2 2+1. 22. (12 分)如图所示,取同离心率的两个椭圆成轴对称内外嵌套得一个标志,为美观考虑,要求图中标记的 ,三个区域面积彼此相等. 已知椭圆面积为圆周率与长半轴、短半轴长度之积,即椭圆 ?2 ?2 + ?2 ?2=1(ab0)面积为 S 椭圆=ab 14 (1)求椭圆的离心率的值; (2)已知外椭圆长轴长为 6,用直角角尺两条直角边内边缘与外椭圆相切,移动角尺绕外椭圆一周,得到 由点 M 生成的轨迹将两椭圆围起来,整个标
18、志完成.请你建立合适的坐标系,求出点 M 的轨迹方程. 解(1)建立如图平面直角坐标系.设外椭圆的方程为? 2 ?2 + ?2 ?2=1(ab0), 内外椭圆有相同的离心率且共轴, 可得内椭圆长轴为 b,设内椭圆短轴长为 b,焦距长为 c,得? ? = ? ?,c= ? ? ,b2=b2-c2=b2-? 2?2 ?2 = ?2(?2-?2) ?2 = ?4 ?2.内椭圆的方程为 ?2 ?2 + ?2 ?4 ?2 =1. 图中标记的,三个区域面积彼此相等,由对称性只需 S外=3S内,即ab=3b.? 2 ? 得 a2=3b2, 即 a2=3(a2-c2),故 e= 6 3 . (2)同(1)建立
19、如图平面直角坐标系,由于外椭圆长轴为 6,a=3,又 e= 6 3 ,c= 6,b2=3. 则外椭圆方程为? 2 9 + ?2 3 =1. 设点 M(x0,y0),切线方程为 y-y0=k(x-x0), 代入椭圆方程得,(1+3k2)x2+6k(y0-kx0)x+3(y0-kx0)2-9=0. =36k2(y0-kx0)2-4(1+3k2)3(y0-kx0)2-9=0. 化简得(x0-9)k2-2x0y0k+?0 2-3=0. 两条切线互相垂直,k1k2=-1, 15 即 ?0 2-3 ?0 2-9=-1,即?0 2 + ?0 2=12(x03). 当两切线与坐标轴垂直时,四点(3,3),(-3,3)也满足方程,轨迹方程为 x2+y2=12.
