1、20212021 全国中考真题分类汇编（四边形）全国中考真题分类汇编（四边形） -矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形 一、选择题 ABA120 2 1.(2021安徽省安徽省)如图，在菱形ABCD中，过菱形ABCD的对称中 心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（） 3322 3231 2 3A.B.C.D. 【答案】A 【解析】 【分析】依次求出OE=OF=OG=OH，利用勾股定理得出EF和OE的长，即可求出该四边形 的周长 【详解】HFBC,EGAB, BEO=BFO=90， A=120， B=60， EOF=120，EOH=60， 由菱形的对边
2、平行，得HFAD,EGCD， 因为O点是菱形ABCD的对称中心， O点到各边的距离相等，即OE=OF=OG=OH， OEF=OFE=30，OEH=OHE=60， HEF=EFG=FGH=EHG=90， 所以四边形EFGH是矩形； 设OE=OF=OG=OH=x， EG=HF=2x，EFHG2xx3x， 2 2 如图，连接AC，则AC经过点O， 可得三角形ABC是等边三角形， BAC=60，AC=AB=2, OA=1,AOE=30， 1 AE=， 2 x=OE= 2 21 3 1 22 33 四边形EFGH的周长为EF+FG+GH+HE=, 2 3x2x2 3233 22 故选 A 2.（2021
3、 海南省）海南省）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD的中点，连接AE、 AF、EF若菱形ABCD的面积为 8，则AEF的面积为（） A2B3C4D5 3. （2021 重庆市重庆市A A） 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点， 连接OM，过点O做ONOM，交CD于点N若四边形MOND的面积是 1，则AB的长为 （） A. 1B. C. 2D. 22 2 【答案】C 【解析】 VV()VDAO MAONDO ASA 【分析】先证明，再证明四边形MOND的面积等于，的面 积，继而解得正方形的面积，据此解题 【详解】解：在正方形ABCD中，对角线BDAC
4、， AOD90 ONOM MON90 AOMDON MAONDO45,AO DO又 VV MAONDO(ASA) SS VMAOVNDO 四边形MOND的面积是 1， S1 VDAO 正方形ABCD的面积是 4， AB24 AB2 故选：C 4. （2021四川省成都市）四川省成都市）如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在BC，DC边上， 添加以下条件不能判定ABEADF的是（） ABEDFBBAEDAFCAEADDAEBAFD 【分析】由四边形ABCD是菱形可得：ABAD，BD，再根据每个选项添加的条 件逐一判断 【解答】解：由四边形ABCD是菱形可得：ABAD，BD， A、添加BEDF
5、，可用SAS证明ABEADF，故不符合题意； B、添加BAEDAF，可用ASA证明ABEADF，故不符合题意； C、添加AEAD，不能证明ABEADF，故符合题意； D、添加AEBAFD，可用AAS证明ABEADF，故不符合题意； 故选：C 5. （2021 四川省南充市）四川省南充市）如图，在菱形ABCD中，A60，点E，F分别在边AB，BC 上，AEBF2，DEF的周长为 3，则AD的长为（） AB2 C+1D21 【分析】连结BD，作DHAB,垂足为H，先证明ABD是等边三角形，再根据SAS证 明ADEBDF，得到DEF是等边三角形，根据周长求出边长DE，设AHx, 则HE2x，DHx,
6、在 RtDHE中，根据勾股定理列方程求出x,进而得到AD2x 的值 【解答】解：如图，连结BD，作DHAB,垂足为H， 四边形ABCD是菱形， ABAD,ADBC, A60， ABD是等边三角形，ABC180A120, ADBD,ABDAADB60, DBCABCABD1206060, AEBF， ADEBDF(SAS)， DEDF,FDBADE， EDFEDB+FDBEDB+ADEADB60, DEF是等边三角形， DEF的周长是 3， DE, 设AHx,则HE2x， ADBD,DHAB, ADHADB30, AD2x,DHx， 在 RtDHE中，DH+HEDE, （x）+(2x)(), 解
7、得：x(负值舍去）， AD2x1+， 故选：C 6. （2021 广西玉林市）广西玉林市）一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形： 添加条件 四边形 正方形 a.两组对边分别相等b.一组对边平行且相等 c.一组邻边相等d.一个角是直角 顺次添加的条件：acdbdcabc则正确的是：（） A. 仅B. 仅C. D. 【答案】C 7. （2021浙江省宁波市）浙江省宁波市） 如图是一个由 5 张纸片拼成的，相邻纸片之间互不重 YABCD S叠也无缝隙，其中两张等腰直角 三角形纸片的面积都为，另两张直角三角形纸片的面积 1 SEFGHS3FHGE 都为，中间一张矩形纸片的面积为，与相交于点O
8、当 2 VAEO,VBFO,VCGO,VDHO 的面积相等时，下列结论一定成立的是（） SSABAD AS=SB.C.D. 12 13 EHGH 【答案】A 【解析】 【分析】根据AED和BCG是等腰直角三角形，四边形ABCD是平行四边形，四边形 HEFG是矩形可得出AE=DE=BG=CG=a，HE=GF，GH=EF，点 O 是矩形HEFG的中心， 设AE=DE=BG=CG=a，HE=GF=b，GH=EF=c，过点O作OPEF于点P，OQGF于点 Q，可得出OP，OQ分别是FHE和EGF的中位线，从而可表示OP，OQ的长，再分别 计算出S，S，S进行判断即可 123 【详解】解：由题意得，AE
9、D和BCG是等腰直角三角形， ADEDAEBCGGBC45 四边形ABCD是平行四边形， AD=BC，CD=AB，ADC=ABC，BAD=DCB HDC=FBA，DCH=BAF， AEDCGB，CDHABF AE=DE=BG=CG 四边形HEFG是矩形 GH=EF，HE=GF 设AE=DE=BG=CG=a，HE=GF=b，GH=EF=c 过点O作OPEF于点P，OQGF于点Q， OP/HE，OQ/EF 点O是矩形HEFG对角线交点，即HF和 EG的中点， 的 OP，OQ分别是FHE和EGF的中位线， OPHEb11 11 OQEF c， 2222 1111 SBFgOQ(ab)c(a b)c
10、BOF 2224 1111 SAEgOPabab AOE 2224 SS BOFAOE 11 () ab cabacbc ab，即 44 11 SSAEgDEa 2 而， 1AED 22 11111 SSAFgBFac abaabacbcaababa ()()()() 222 2AFB 22222 所以，S=S，故选项A符合题意， 12 S3=HEgEF(ab)(ac)abcabacaababa 222 SS ，故选项B不符合题意， 13 ABADEHGHC,D 而于都不一定成立，故都不符合题意， 故选：A 8. （2021 浙江省温州市）浙江省温州市）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成
11、的大正方形ABCD 如图所示过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连结CG，延长 BE交CG于点H若AE2BE，则（） AB CD 【分析】如图，过点G作GTCF交CF的延长线于T,设BH交CF于M,AE交DF于 N设BEANCHDFa,则AEBMCFDN2a,想办法求出BH,CG,可得结论 【解答】解：如图，过点G作GTCF交CF的延长线于T,AE交DF于N,则AEBM CFDN2a, ENEMMFFNa, 四边形ENFM是正方形， EFHTFG45,NFEDFG45, GTTF,DFDG, TGFTFGDFGDGF45, TGFTDFDGa, CT3a,CGa, MHTG,
12、 CMHCTG, CM:CTMH:TG7, MHa, BH5a+aa, , 故选：C 9. （2021重庆市重庆市 B） 如图，把含 30的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，PMN 30，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN 与BD交于点O，且点O为MN的中点，则AMP的度数为（） A60B65C75D80 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知：OMOP，从而得出DPM 150，利用四边形内角和定理即可求得 【解答】解：在RtPMN中，MPN90， O为MN的中点， OP， PMN30， MPO30， DPM150， 在四边形ADP
13、M中， A90，ADB45，DPM150， AMP360AADBDPM 3609045150 75 故选：C 10.（20212021 湖北省江汉油田）湖北省江汉油田）如图，在正方形中，E为对角线上与 ABCDAB4AC EFABEGBC A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接 DE,FG 下列结论： AD E F GC B ；的最小值为 3其中正确结论 DEFGDEFGBFGADEFG 的个数有（） A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个 【答案】C 【解析】 DEFGNABMBEFGO【分析】延 长，交于点，交于点，连接，交于点，先根据正 DEBE方形的性质、三角形
14、全等的判 定定理与性质得出，再根据矩形的判定与性质可得 BEFGABEADE ，由此可判断；先根据三角形全等的性质可得，再根据矩形 OBOFBFGABE 的性质可得，然后根据等腰三角形的性质可得，由此可判断； 根据直角三角形的性质可得，从而可得， ADEAMD90BFGAMD90 DEACDE由此可判断；先根据垂线段 最短可得当时，取得最小值，再解直角三角形 可得DE的最小值，从而可得FG的最小值，由此可判断 DEFGNABMBEFGO 【详解】解：如图，延长，交于点，交于点，连接，交于点， ABCDAB4 四边形是正方形， ADAB4,ABCBAD90,BAEDAE45 ， ABAD 在AB
15、EVADE BAEDAE和 中， AEAE VABEVADE(SAS) ， BEDE,ABEADE ， ABC90,EFAB,EGBC ， BFEG 四边形是矩形， BEFG,OBOF ， DEFG，即结论正确； OBOF ， BFGABE ， BFGADE ，即结论正确； QBAD90 ， ADEAMD90 ， BFGAMD90 ， FNM90DEFG ，即，结论正确； DEACDE由垂线段最 短可知，当时，取得最小值， DEADDAE 此时在 中， RtADEsin422 2 2 又， DEFG DE2 2 FG 的最小值与的最小值相等，即为，结论错误； 综上，正确的结论为，共有 3 个，
16、 故选：C 11.(2021 内蒙古包头市内蒙古包头市)如图，在V中，ABAC，DBC和VABC关于直线 ABC CECD BC对称，连接AD，与BC相交于点O，过点C作，垂足为C，与AD相交于点 2OE+AE AD8BC6 E若，则值为（） 的 BD 435 A.B.C.D. 343 5 4 【答案】D 12.（2021 深圳）深圳）在矩形中，点E是边的中点，连接，延长 ABCDAB2BCDEEC 至点F，使得，过点F作，分别交、于N、G两点，连接 CMEGEN EFDEFGDECDAB 、，下列正确的是（） 1 CM151 ； tanGFBMNNCS 2EG22 四边形GBEM A4B3C
17、2D1 EC1 【解答】，正确； tanGFBtanEDC CD2 ， ， DMNNCF90MND CNFMDNCFN ， （）， ， （），故正确； BEECMEECBEME EFEDMDNCFN ECDEMF SASEMECDMFC DECFEM MDNCFNMNDCNFDM FCAASMNNC DMNFCN ， 在和中：， （）， MEECEMCECM RtGBERtGMEBEMEGE GE RtGBERtGMEHLBEG MEG ， 又， EMCECMBEGMEG CMCF ， GEBMCEMC/GE EGEF ， EFDEEC2CD25CFEFEC51 CMCF5155 ，故错误；
18、EGEF55 由上述可知：， BEEC1CF51BF51 151 GB1 ， tanFtanEDCGBBF BF222 151 ，故正确 S2S2BEBG 四边形 GBEMGBE 22 故选 B 二填空题 1. （2021 湖南省衡阳市）湖南省衡阳市）如图 1，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，P、Q两 点同时从O点出发，以 1 厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动点P的运动路线为 OADO，点Q的运动路线为OCBO设运动的时间为x秒，P、Q间的距离 为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图 2 所示，当点P在AD段上运动且P、Q 两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为(2+
19、3)厘米 【分析】结合图象当点P运动到A点，点Q运动到C点时，即AC2cm，同理求出 BD2cm，利用菱形性质即可求出ADABBCDC2cm，再由题意易知当点P在A D段上运动，P、Q两点的最短时P、Q分别位于AD、BC的中点时，求出此时P、Q两 点的运动路程之和即可 【解答】解：由图分析易知：当点P从OA运动时，点Q从OC运动时，y不断增大， 当点P运动到A点，点Q运动到C点时，由图象知此时yPQ2cm， AC2cm， 四边形ABCD为菱形， ACBD，OAOCcm， 当点P运动到D点，Q运动到B点，结合图象，易知此时，yBD2cm， ODOBBD1cm， 在 RtADO中，AD2(cm)，
20、 ADABBCDC2cm， 如图，当点P在AD段上运动，点P运动到点E处，点Q在CB段上运动，点Q运 动到点F处时，P、Q两点的最短， 此时，OEOF， AEAF, 当点P在AD段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为： （cm） 故答案为：(2+3) 2. （2021 长沙市）长沙市）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是边AB的 中点，若6，则的长为_ OEBC 【答案】12 3. （2021 株洲市）株洲市）蝶几图是明朝人戈汕所作一部组合家具的设计图（蜨，同“蝶” ） ， 的 它的基本组件为斜角形，包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜
21、四只、 大三斜两只，共十三只（图中的“様” 和“隻” 为“样” 和“只” ）图为某蝶几设计图， VCBD ABD 其中和为“大三斜”组件（“一様二隻”的大三斜组件为两个全等的等腰直 角三角形），已知某人位于点处，点与点关于直线对称，连接、若 PPADQCPDP D C P ADQ24，则_度 【答案】21 4.（2021 株洲市）株洲市）如图所示，线段 BC 为等腰ABC 的底边，矩形 ADBE 的对角线 AB 与 DE 交于点 O，若 OD=2，则 AC=_ 【答案】4 5. （2021 江苏省连云港）江苏省连云港）如图，菱形的对角线、相交于点O， ABCDACBD OEADAC8BD6OE
22、 ，垂足为E，则的长为_ 12 【答案】 5 【解析】 【分析】直接利用菱形的性质得出AO，DO的长，再利用勾股定理得出菱形的边长，进而 利用等面积法得出答案 【详解】解：菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，DB=6， AO=4，DO=3，AOD=90， AD=5， 11 RtVADOAOgDO=ADgOE在 中，由等面积法得：, 22 OE AOgDO3 412 = AD55 12 故答案为： 5 6. （2021 江苏省苏州市）江苏省苏州市）如图，四边形ABCD为菱形，ABC= 70，延长BC到E， 在DCE内作射线CM，使得ECM= 15，过点D作DFCM，垂足为F.若
23、DF =，则对角线BD的长为.（结果保留根号） 5 【分析】连接AC交BD于H，证明DCHDCF，得出DH的长度，再根据菱形的性 质得出BD的长度 【解答】解：如图，连接AC交BD于点H， 由菱形的性质的BDC35，DCE70， 又MCE15， DCF55， DFCM， CDF35， 又四边形ABCD是菱形， BD平分ADC， HDC35， 在CDH和CDF中， ， CDHCDF（AAS） ， DFDH， DB2， 故答案为 2 7. （2021 上海市）上海市） 定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的 P,OP2 最短距离，在平面内有一个正方形，边长为 2，中心为O，在
24、正方形外有一点， 当正方形绕着点O旋转时，则点P到正方形的最短距离d的取值范围为_ 【答案】 22d1 【解析】 【分析】先确定正方形的中心 O 与各边的所有点的连线中的最大值与最小值，然后结合旋 转的条件即可求解 【详解】解：如图 1， 设的中点为E，连接OA，OE， 则AE=OE=1， AEO=90， ADOA2 点O与正方形ABCD边上的所有点的连线中， OE最小，等于 1，OA 最大，等于2 OP2 ， 点P与正方形ABCD边上的所有点的连线中， 如图 2 所示，当点E落在OP上时，最大值PE=PO-EO=2-1=1； 如图 3 所示，当点A落在上时，最小值 OPPAPOAO22 当正
25、方形ABCD绕中心O旋转时，点P到正方形的距离d的取值范围是 22d1 故答案为：22d1 8. （2021山西山西）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，BD=8， AC=6，OE/AB，交 BC 于点 E，则 OE 的长为 5 2 【分析】 根据菱形性质，利用勾股定理求出AB的长度，再根据中位线定理求出OE的长即可 【详解】 解：四边形是菱形， ABCD ACBD ， ， BD8AC6 ， AD3，BO4 ABAD2BO232425， ，O为 AC 中点， OE/ /AB 15 OEAB ， 22 5 故答案为： 2 9. （2021 四川省凉山州）四川省凉山州）菱
26、形中，对角线，则菱形的高等于 ABCDAC10,BD24 _ 120 【答案】 13 【解析】 【分析】过A作AEBC，垂足为E，根据菱形的性质求出菱形边长，再利用菱形的面积公 式得到方程，解之可得AE 【详解】解：如图，过A作AEBC，垂足为E，即AE为菱形ABCD的高， 菱形ABCD中，AC=10，BD=24， 11 OB=BD=12，OA=AC=5， 22 在RtABO中，AB=BC=13， 12252 1 ACBDBC AES菱形 ABCD= ， 2 1 102413AE ， 2 120 解得：AE=， 13 120 故答案为： 13 10. （20212021 泸州市）泸州市）如图，
27、在边长为 4 的正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD V 上，且CF=3BF，AE，BF相交于点G，则AGF的面积是_ 56 【答案】 11 【解析】 【 分 析 】 延 长AG交DC延 长 线 于M， 过G作GHCD， 交AB于N， 先 证 明 ABEMCE，由CF=3DF，可求DF=1，CF=3，再证ABGMFG，则利用相似比可 计算出GN，再利用两三角形面积差计算SDEG即可 【详解】解：延长AG交DC延长线于M，过G作GHCD，交AB于N，如图， 点E为BC中点， BE=CE， 在ABE和MCE中， ABE MCE BECE AEBMEC ， ABEMCE（ASA） ， AB
28、=MC=4， CF=3DF，CF+DF=4， DF=1，CF=3，FM=FC+CM=3+4=7， ABMF， ABG=MFG，AGB=MGF， ABGMFG， ABGN4 ， MFGH7 ， GNGH4 1628 GN,GH ， 1111 11111656 ABHNABGN444 SAFG=SAFB-SAGB=， 22221111 56 故答案为 11 11. （2021 四川省南充市）四川省南充市）如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是 BE，BC，CE的中点，AF3，则GH的长为3 【分析】由矩形的性质及直角三角形斜边上的中线的性质可求解BE2AF6，再利用三 角形中位线
29、定理可求解 【解答】解：在矩形ABCD中，BAD90， F为BE的中点，AF3， BE2AF6 G，H分别为BC，EC的中点， GHBE3， 故答案为 3 12.（2021 青海省）青海省）如图，正方形ABCD的边长为 8，点M在DC上且DM2，N是AC 上的一动点，则DN+MN的最小值是10 【分析】要求DN+MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DN， MN的值，从而找出其最小值求解 【解答】解：正方形是轴对称图形，点B与点D是关于直线AC为对称轴的对称点， 连接BN，BD，则直线AC即为BD的垂直平分线， BNNDDN+MNBN+MN连接BM交AC于点P， 点N为AC
30、上的动点， 由三角形两边和大于第三边， 知当点N运动到点P时， BN+MNBP+PMBM， BN+MN的最小值为BM的长度， 四边形ABCD为正方形， BCCD8，CM826，BCM90， BM10， DN+MN的最小值是 10 故答案为：10 13.（2021 浙江省绍兴市）浙江省绍兴市）图 1 是一种矩形时钟，图 2 是时钟示意图，时钟数字 2 的刻度在 矩形ABCD的对角线BD上，则BC长为cm（结果保留根号） 【分析】根据题意即可求得FOD2DOE，即可求得DOE30，由矩形的性质结 合平行线的性质可求得DBC30，利用含 30 角的直角三角形的性质可求解 【解答】解：过O点作OECD
31、，OFAD，F， 由题意知FOD2DOE， FOD+DOE90， DOE30，FOD60， 在矩形ABCD中，C90， OEBC， DBCDOE30， BCCD， 故答案为 14.（2021 浙江省台州）浙江省台州）如图，点E，F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上， AFEG若AB5，AEDG1，则BF_ 【答案】 5 4 【解析】 ABBF 【分析】先证明，得到，进而即可求解 VV ABFGAE GAAE 【详解】在正方形ABCD中，AFEG， AGE+GAM=90，FAB+GAM=90， FAB=AGE， 又ABF=GAE=90， ， VABFVGAE ABBF5BF ，即：，
32、 GAAE511 5 BF= 4 5 故答案是： 4 15.（2021 湖北省十堰市）湖北省十堰市）如图，O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点，M 是 AD 的中点， 若 AB=5，AD=12，则四边形 ABOM 的周长为_. 【答案】20 【解析】 【详解】AB5，AD12， 根据矩形的性质和勾股定理，得 AC13. BO 为 RABC 斜边上的中线 BO6.5 O 是 AC 的中点，M 是 AD 的中点， OM 是ACD 的中位线 OM2.5 四边形 ABOM 的周长为：6.52.56520 故答案为 20 16.（20212021 北京市）北京市）如图，在矩形ABCD中，点E，F
33、分别在BC，AD上，AFEC只需添加 一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是（写出一个即可） 17.（2021 广西贺州市）广西贺州市）如图，在矩形ABCD中，E，F分别为BC，DA的中点，以CD 为斜边作，连接，若，则 RtGCDGDGCGEGFBC2GCEGF _ 【答案】 45 【解析】 【分析】根据矩形及等腰三角形的性质先求出，再利用中点定义 GDEGCF135 及 矩 形 性 质 可 得， 则 可 求 出， DEDGFCGCDGEDEG22.5 CGFCFG22.5 ，即可求得结果 【详解】解：四边形是矩形， ABCD ， BCDADC90BCAD ， RtGCDGDG
34、C GCDGDC 45 GDEGCF135 EFBCDA ，分别为，的中点， BC2FCAD2DE ， ， BC2GC DEDGFCGC ， DGEDEG22.5CGFCFG22.5 EGFCGDCGFDGE45 故答案为： 45 18. （20212021 呼和浩特市）呼和浩特市）已知菱形的面积为点E是一边上的中点，点P ABCD2 3BC 是对角线上的动点连接，若AE平分，则线段与的和的最小值为 BDAEBACPEPC 最_，最大值为_， 327 19.(2021 内蒙古包头市内蒙古包头市) 如图，BD是正方形ABCD的一条对角线，E是BD上一点，F 是CB延长线上一点，连接CE，EF，A
35、F若，则的度数为 DEDCEFECBAF _ 【答案】 22.5 20. （2021 襄阳市）襄阳市）如图，正方形的对角线相交于点，点在边上，点 ABCDOEBCF 1 tanBAEBF2 在的延长线上，交于点，则 CBEAF45AEBDG 2 FG _ 【答案】2 5 21. （2021 贵州省贵阳市）贵州省贵阳市）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD对角线的交点坐标是 O（0，0），点B的坐标是（0，1），且BC，则点A的坐标是（2，0） 【分析】根据菱形性质得OC的长，因而得点C的坐标，根据对称性质可得答案 【解答】解：四边形ABCD是菱形， BOC90，OCOA， 点B的坐标是（0，
36、1） ， OB1， 在直角三角形BOC中，BC， OC2， 点C的坐标（2，0） ， OA与OC关于原点对称， 点A的坐标（2，0） 故答案为：（2，0） 22. （20212021 绥化市）绥化市）在边长为 4 的正方形ABCD中，连接对角线AC、BD，点P是正方 PB3PCPC=形边上或 对角线上的一点，若，则_ 【答案】1 或2或 342 4 【解析】 【分析】按P在正方形的边上和对角线上分别画出图形，再逐个求解即可 【详解】解：PB=3PC， P点不可能位于边AB上，接下来分类讨论： 情况一：当P点位于正方形边BC上时，如下图 1 所示： PB=3PC， 1 PC=BC=1； 4 情况
37、二：当P位于正方形边CD上时，如下图 2 所示： 设PC=x，则BP=3PC=3x，在 RtBPC中，由勾股定理可知： 4+x=(3x)，解得x=(负值舍去)， 2 PC=； 2 情况三：当P位于正方形边AD上时，如下图 3 所示： 设AP=x，则DP=4-x， RtABP中，BP=AP+AB=x+16， RtCPD中，CP=PD+CD=(4-x)+16=x-8x+32， BP=3PC， x+16=9(x-8x+32)， 整理得到：x-9x+34=0，此方程无解， 故P点不可能位于边AD上； 情况四：P点位于对角线BD上时，过P点作PHBC于H点，如下图所示： 设PC=x，则BP=3PC=3x
38、， DBC=45，BPH为等腰直角三角形，其三边之比为， 1:1:2 3 23 2 BH=PH=x，CH=BC-BH=4-x， 22 在 RtPHC中，由勾股定理可知：PC=PH+CH， 23 223 22 x=(x) +(4-x)， 22 整理得：，此方程无解， 2x- 3 2x+4 =0 2 故P点不可能在对角线BD上； 情况五：P点位于对角线AC上时，过P点作PHBC于H点，如下图所示： 设PC=2x，则BP=3PC=3 2x， PCB=45，PCH为等腰直角三角形，其三边之比为1:1:2， x PH=CH=，BH=BC-CH=4-x， 在RtPHB中，由勾股定理可知：PB=PH+BH，
39、 (3 2x) =x+(4-x)， 222 2x2x2 0整理 得：， -1+ 17 解得：x=(负值舍去)， 4 34 -2 PC=2x=； 4 342 PC12 综上所述，或或 4 23.（2021 四川省眉山市）四川省眉山市）如图，在菱形ABCD中，ABAC10，对角线AC、BD相交于 点O，点M在线段AC上，且AM3，点P为线段BD上的一个动点，则MP+PB的 最小值是 【分析】过点P作PEBC于E，由菱形的性质可得ABBCAC10，ABD CBD，可证ABC是等边三角形，可求CBD30，由直角三角形的性质可得PE PB，则MP+PBPM+PE，即当点M，点P，点E共线且MEBC时，P
40、M+PE有最小 值为ME，由锐角三角函数可求解 【解答】解：如图，过点P作PEBC于E， 四边形ABCD是菱形，ABAC10， ABBCAC10，ABDCBD， ABC是等边三角形， ABCACB60， CBD30， PEBC， PEPB， MP+PBPM+PE， 当点M，点P，点E共线且MEBC时，PM+PE有最小值为ME， AM3， MC7， sinACB， ME， MP+PB的最小值为， 故答案为 三、解答题 1. 如图，的对角线，相交于点，是等边三角形， YABCDACBDOVOABAB4 （1）求证：YABCD是矩形； （2）求AD的长 【答案】（1）证明见解析；（2）4 3 2.
41、（2021 株洲市）株洲市）如图所示，在矩形ABCD中，点E在线段CD上，点F在线段AB的 EFBCGBDDEBF2 延长线上，连接交线段于点，连接，若 （1）求证：四边形BFED是平行四边形； 2 tanABD BG （2）若，求线段的长度 3 【答案】（1）证明见解析； （2） 4 3 3. （2021 湖南省衡阳市）湖南省衡阳市）如图，点E为正方形ABCD外一点，AEB90，将 RtABE 绕A点逆时针方向旋转 90得到ADF，DF的延长线交BE于H点 （1）试判定四边形AFHE的形状，并说明理由； （2）已知BH7，BC13，求DH的长 【分析】（1）利用旋转即可得到 RtABERtA
42、DF，再根据全等三角形的性质即可求 证四边形AFHE的形状； （2）设AEx,则BE7+x,AB13，利用勾股定理即可求出x,进而可求出DH的长 【解答】解：（1）四边形AFHE是正方形，理由如下： RtABE绕A点逆时针方向旋转 90得到ADF， RtABERtADF， AEBAFD90， AFH90， RtABERtADF， DAFBAE, 又DAF+FAB90， BAE+FAB90， FAE90， 在四边形AFHE中，FAE90，AEB90，AFH90， 四边形AFHE是矩形， 又AEAF， 矩形AFHE是正方形； （2）设AEx则由（1）以及题意可知：AEEHFHAFx,BH7,BCA
43、B13, 在 RtAEB中，AB2AE2+BE2， 即 132x2+(x+7)2, 解得：x5, BEBH+EH5+712, DFBE12, 又DHDF+FH， DH12+517 4. （2021 湖南省邵阳市）湖南省邵阳市）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E， F是对角线AC上的两点，且AECF连接DE，DF，BE，BF （1）证明：ADECBF （2）若AB4，AE2，求四边形BEDF的周长 【分析】（1）由正方形对角线性质可得DAEBCF45，再由SAS可证ADE CBF； （2）由正方形性质及勾股定理可求得BDAC8，DOBO4再证明四边形BEDF 为菱形，因为
44、AECF2，所以可得OE2，在 RtDOE中用勾股定理求得DE 2，进而四边形BEDF的周长为 4DE，即可求得答案 【解答】解；（1）证明：由正方形对角线平分每一组对角可知：DAEBCF45 ， 在ADE和CBF中， ， ADECBF（SAS） （2）ABAD， BD8， 由正方形对角线相等且互相垂直平分可得：ACBD8，DOBO4，OAOC4， 又AECF2， OAAEOCCF, 即OEOF422， 故四边形BEDF为菱形 DOE90， DE2 4DE 故四边形BEDF的周长为 8 5. （2021 江苏省连云港）江苏省连云港）如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形 （1）求证
45、：四边形ACED是平行四边形； ABAEACED （2）如果，求证：四边形是矩形 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质以及点C是BE的中点，得到ADCE，AD=CE，从而证 明四边形ACED是平行四边形； （2）由平行四边形的性质证得DC=AE，从而证明平行四边形ACED是矩形 【详解】证明：（1）四边形ABCD是平行四边形， ADBC，且AD=BC 点C是BE的中点， BC=CE， AD=CE， ADCE， 四边形ACED是平行四边形； （2）四边形ABCD是平行四边形， AB=DC， AB=AE， DC=AE， 四边形ACED是平行四边形， 四边形
46、ACED是矩形 6. （2021 江苏省扬州）江苏省扬州）如图，在VABC中，BAC的角平分线交BC于点D， DE/ /AB,DF/ /AC （1）试判断四边形的形状，并说明理由； AFDE BAC90AD2 2AFDE （2）若，且，求四边形的面积 【答案】（1）菱形，理由见解析；（2）4 【解析】 【分析】（1）根据DEAB，DFAC判定四边形AFDE是平行四边形，再根据平行线的性 质和角平分线的定义得到EDA=EAD，可得AE=DE，即可证明； （2）根据BAC=90得到菱形AFDE是正方形，根据对角线AD求出边长，再根据面积公 式计算即可 【详解】解：（1）四边形AFDE是菱形，理由是
47、： DEAB，DFAC， 四边形AFDE是平行四边形， AD平分BAC， FAD=EAD， DEAB， EDA=FAD， EDA=EAD， AE=DE， 平行四边形AFDE是菱形； （2）BAC=90， 四边形AFDE是正方形， AD=2 2， 2 2 AF=DF=DE=AE=2， 2 四边形AFDE的面积为 22=4 7. （2021 山东省泰安市）山东省泰安市）四边形ABCD为矩形，E是AB延长线上的一点 （1）若ACEC，如图 1，求证：四边形BECD为平行四边形； （2） 若ABAD，点F是AB上的点，AFBE，EGAC于点G，如图 2，求证：DGF 是等腰直角三角形 【分析】（1)先
48、根据四边形ABCD为矩形，CBAE,ACEC得出ABBE即可； （2） 由ABAD得出矩形ABCD是正方形，得出EGAE45，然后证明EGF AGD，再得出DGF90，GFGD,DGAFGE,从而得出结论 【解答】证明：（1)四边形ABCD为矩形， ABCD,ABCD,CBAE, 又ACEC, ABBE, BECD,BECD, 四边形BECD为平行四边形； (2)ABAD, 矩形ABCD是正方形， EGAC, EGAE45, GEGA, 又AFBE, ABFE, FEAD, 在EGF和AGD中， , EGFAGD(SAS), GFGD,DGAFGE, DGFDGA+AGFEGF+AGFAGE9
49、0, DGF是等腰直角三角形 8. （2021 遂宁市）遂宁市）如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 O 的直线 EF 与 BA、DC 的延长线分别交于点 E、F （1）求证：AECF； （2）请再添加一个条件，使四边形 BFDE 是菱形，并说明理由 【答案】（1）见解析；（2）EFBD 或 EBED，见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的证明方法证明VAOEVCOF，则可 得到AECF； （2）连接 BF，DE，由VAOEVCOF，得到 OE= OF，又 AO=CO，所以四边形 AECF 是平行四边形，则根据 EFBD 可得
50、四边形 BFDE 是菱形 【详解】证明：（1）四边形ABCD是平行四边形 OAOC，BEDF EF 在AOE 和COF 中 EF AOECOF OAOC VVAAS AOECOF AECF （2）当 EFBD时，四边形 BFDE是菱形，理由如下： 如图：连结BF，DE 四边形是平行四边形 ABCD OBOD VAOEVCOF OE OF 四边形是平行四边形 BFDE EFBD， 四边形BFDE是菱形 9. (2021 四川省自贡市四川省自贡市) ) 如图，在矩形 ABCD中，点 E、F分别是边 AB、CD的中点求 证：DE=BF 【答案】证明见试题解析 【解析】 【分析】由矩形的性质和已知得到
