1、2021 全国中考真题分类汇编（三角形） -特殊三角形 一、选择题 44AB 1. （2021 江苏省扬州）江苏省扬州）如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网 格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（） VABC A. 2B. 3C. 4D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：AB为等腰直角ABC底边；AB为 等腰直角ABC其中的一条腰 【详解】解：如图：分情况讨论： AB为等腰直角ABC底边时，符合条件的C点有 0 个； AB为等腰直角ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有 3 个 故共有 3 个点， 故选：B 2.
2、 （2021 山东省临沂市）山东省临沂市）如图，点A，B都在格点上，若BC， 则AC的长为（） ABC2D3 【分析】根据勾股定理可以得到AB的长，然后由图可知ACABBC，然后代入数据计 算即可 【解答】解：由图可得， AB2， BC， ACABBC2， 故选：B 3. （2021山西山西）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾 股定理.这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”.实际上它 也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的 许多数学公式和规律，它体现的数学思想 是（C） A.统计思想B.分类思想C.数形结合思想D.函数思想 4. （
3、2021 浙江省杭州）浙江省杭州）已知线段AB，按如下步骤作图：作射线AC，使ACAB； 作BAC 的平分线AD，以点A为圆心，AB长为半径作弧,交 AD 于 E； 过点E作 EPAB于点P，则AP：AB（） A1：B1：2C1： D1： 【分析】直接利用基本作图方法得出APPE,再结合等腰直角三角形的性质表示出 AE,AP的长，即可得出答案 【解答】解：ACAB， CAB90, AD平分BAC, EAB9045, EPAB, APE90, EAPAEP45, APPE, 设APPEx, 故AEABx, AP：ABx:x1: 故选：D 5. （2021 四川省乐山市）四川省乐山市）如图，已知点
4、P是菱形ABCD的对角线AC延长线上一点，过 点分别作、延长线的垂线，垂足分别为点、若， PADDCEFABC120 AB2PEPF ，则的值为（） 3 A.B.3C. 2D. 2 5 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的基性质，得到PAE=30，,利用勾股理求出AC=，则AP= 2 32 3 111 +PC，PE=AP=+PC，由PCF=DCA=30，得到PF=PC，最后算出结 3 222 果 【详解】解：四边形ABCD是菱形且ABC=120，AB=2， AB=BC=CD=DA=2，BAD=60，ACBD， CAE=30， ACBD，CAE=30，AD=2， AC=2 2 -1 =2
5、 3， 22 AP=2 3+PC， 在直角AEP中， PAE=30，AP=+PC， 2 3 11 PE=AP=3+PC， 22 在直角PFC中， PCF=30， 1 PF=PC， 2 11 PEPF3 =+PC-PC=， 3 22 故选：B A8,0C2,0 6. (2021 四川省自贡市四川省自贡市) )如图，以点A为圆心，AC长为半径画弧， 交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（） A.B.C.D. 0,55,06,00,6 【答案】D 【解析】 【分析】先根据题意得出OA=8，OC=2，再根据勾股定理计算即可 【详解】解：由题意可知：AC=AB A8,0C 2, 0， OA=8，OC=2
6、AC=AB=10 在RtOAB中，OBAB2OA2102826 B(0，6) 故选：D 7. （2021 浙江省绍兴市）浙江省绍兴市）如图，菱形ABCD中，B60，点P从点B出发，沿折线BC CD方向移动，移动到点D停止在ABP形状的变化过程中（） A直角三角形等边三角形等腰三角形直角三角形 B直角三角形等腰三角形直角三角形等边三角形 C直角三角形等边三角形直角三角形等腰三角形 D等腰三角形等边三角形直角三角形等腰三角形 【分析】把点P从点B出发，沿折线BCCD方向移动的整个过程，逐次考虑确定三角 形的形状即可。 【解答】解：B60，故菱形由两个等边三角形组合而成， 当APBC时，此时ABP为
7、等腰三角形； 当点P到达点C处时，此时ABP为等边三角形； 当点P在CD上且位于AB的中垂线时，则ABP为等腰三角形； 当点P与点D重合时，此时ABP为等腰三角形， 故选：C 8. （2021 新疆）新疆）如图，在RtABC中， VACB90A30AB4 CDAB 于点D，E是AB的中点，则DE的长为（） A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】A 9. （2021浙江省宁波市）浙江省宁波市）如图，在ABC中，于点D， VB45,C60,ADBC BD3ABBC的EF 若E，F分别为，中点，则的长为（） 33 A.B.C. 1D. 32 6 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件可知AB
8、D为等腰直角三角形，则BD=AD，ADC是 30、60的直 AC 角三角形，可求出AC长，再根据中位线定理可知EF=。 2 【详解】解：因为AD垂直BC， 则ABD和ACD都是直角三角形， B45,C 60,又因为 BD3 所以AD=， AD3 因 为 sinC=， AC2 所以AC=2， 因为EF为ABC的中位线， AC 所以EF=1， 2 故选：C 10. （2021 甘肃省定西市）甘肃省定西市）如图 1，在ABC中，ABBC，BDAC于点D（AD BD）动点M从A点出发，沿折线ABBC方向运动，运动到点C停止设点M的运动路 程为x，AMD的面积为y，y与x的函数图象如图 2，则AC的长为
9、（） A3B6C8D9 【分析】先根据ABBC结合图 2 得出AB，进而利用勾股定理得，AD+BD 13，再由运动结合ADM的面积的变化，得出点M和点B重合时，ADM的面积最大， 1 其值为 3，即ADBD3，进而建立二元二次方程组求解，即可得出结论 2 【解答】解：由图 2 知，AB+BC2， ABBC， AB， ABBC，BDBC， AC2AD，ADB90， 在 RtABD中，AD+BDAB13， 设点M到AC的距离为h， 1 SADMADh， 2 动点M从A点出发，沿折线ABBC方向运动， 当点M运动到点B时，ADM的面积最大，即hBD， 由图 2 知，ADM的面积最大为 3， 1 AD
10、BC3， 2 ADBD6， +2得，AD+BD+2ADBD13+2625， (AD+BD)25， AD+BD5（负值舍去）， BD5AD， 将代入得，AD(5AD)6， AD3 或AD2， ADBD， AD3， AC2AD6， 故选：B 11. （2021 广西玉林市）广西玉林市）图（1），在中，点从点出发，沿三角 RtVABCA90PA 的1cmPAPycm 形边以/秒的速度逆时针运动一周，图（2）是点运动时，线段的长度（） xP 随运动时间（秒）变化的关系图象，则图（2）中点的坐标是（） 13,4.5 13,4.8A. B. 13,5 13,5.5C. D. 【答案】C 12. （2021
11、 江苏省无锡市）江苏省无锡市）在 RtABC中，A90，AB6，AC8，点P是ABC 所在平面内一点，则PA2+PB2+PC2取得最小值时，下列结论正确的是（） A点P是ABC三边垂直平分线的交点 B点P是ABC三条内角平分线的交点 C点P是ABC三条高的交点 D点P是ABC三条中线的交点 【分析】过P作PDAC于D，过P作PEAB于E，延长CP交AB于M，延长BP交 AC于N，设ADPEx，AEDPy，则AP2+CP2+BP23（x2）2+3（y） 2+ ，当x2，y时，AP2+CP2+BP2的值最大，此时ADPE2，AEPD， 由， 得AM4，M是AB的中点，同理可得ANAC，N为AC中点
12、，即P是 ABC三条中线的交点 【解答】解 ： 过P作PDAC于D，过P作PEAB于E，延长CP交AB于M，延长BP 交AC于N，如图： A90，PDAC，PEAB， 四边形AEPD是矩形， 设ADPEx，AEDPy， RtAEP中，AP2x2+y2， RtCDP中，CP2（6x）2+y2， RtBEP中，BP2x2+（8y）2， AP2+CP2+BP2x2+y2+（6x）2+y2+x2+（8y）2 3x212x+3y216y+100 3（x2）2+3（y）2+， x2，y时，AP2+CP2+BP2的值最大， 此时ADPE2，AEPD， A90，PDAC， PDAB， ，即， AM4， AMA
13、B，即M是AB的中点， 同理可得ANAC，N为AC中点， P是ABC三条中线的交点， 故选：D 13. （2021 贵州省铜仁市）贵州省铜仁市）如图，在中，按下 RtABCC90AB10BC8 列步骤作图：步骤 1：以点A 为圆心，小于AC的长为半径作弧分别交AC、AB于点D、 1 EDEDEM 步骤 2：分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点步骤 2 3：作射线AM交BC于点F则AF的长为（） A. 6B.3 5C.4 3D. 6 2 【答案】B 14. （2021 襄阳市）襄阳市）我国古代数学著作九章算术中记载了一个问题：“今有池方一丈， 葭（ji）生其中，出水一尺，引葭赴岸，适
14、与岸齐间水深几何” （丈、尺是长度单位， 1 丈10尺，）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为 10 尺的正方形，在水池正中央有 一根芦苇，它高出水面 1 尺如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边 的水面，水的深度是多少？则水深为（） A. 10 尺B. 11 尺C. 12 尺 D. 13 尺 【答案】C 15.（2021 吉林省长春市）吉林省长春市）在ABC中，BAC90，ABAC用无刻度的直尺和圆规 在BC边上找一点D，使ACD为等腰三角形下列作法不正确的是（） ABCD 【分析】根据等腰三角形的定义一一判断即可 【解答】解：A、由作图可知AD是ABC的角平分线，推不出A
15、DC是等腰三角形， 本选项符合题意 B、由作图可知CACD，ADC是等腰三角形，本选项不符合题意 C、由作图可知DACD，ADC是等腰三角形，本选项不符合题意 D、由作图可知BDCD，推出ADDCBD，ADC是等腰三角形，本选项不符合题 意 故选：A 16. （2021湖北省黄石市）湖北省黄石市）如图，在 RtABC 中，ACB=90，按以下步骤作图：以 B 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 BA、BC 于 M、N 两点；分别以 M、N 为圆心，以大 于 1 2 MN 的长为半径作弧，两弧相交于点 P；作射线 BP，交边 AC 于 D 点若 AB=10，BC=6，则 线段 CD 的长为（） 1
16、08 A. 3B. C.D. 33 16 5 【答案】A 【解析】 【分析】由尺规作图痕迹可知，BD是ABC的角平分线，过D点作DHAB于H点，设 DC=DH=x则AD=AC-DC=8-x，BC=BH=6，AH=AB-BH=4，在 RtADH中，由勾股定理得 到，由此即可求出x的值 (8x)x4 222 【详解】解：由尺规作图痕迹可知，BD是ABC的角平分线， 过D点作DHAB于H点， C=DHB=90， DC=DH， ACAB 2 BC 2 10 2 6 2 8 ， 设DC=DH=x，则AD=AC-DC=8-x，BC=BH=6，AH=AB-BH=4， 在 RtADH中，由勾股定理：， AD2
17、AH 2 DH 2 代入数据：，解得，故， (8x)2x242x3CD3 故选：A 17.17.（20212021 绥化市）绥化市）已知在中，点为边 RtVACBC90,ABC75AB5E ACFABFEEB 上的动点，点为边上的动点，则线段的最小值是（） 5 5 3 A.B.C.D. 53 2 2 【答案】B 【解析】 【分析】作点F关于直线AB的对称点F，如下图所示，此时EF+EB=EF+EB，再由点到 直线的距离垂线段长度最短求解即可 【详解】解：作点F关于直线AB的对称点F，连接AF，如下图所示： 由对称性可知，EF=EF， 此时EF+EB= EF+EB， 由“点到直线的距离垂线段长度
18、最小”可知， 当BFAF时，EF+EB有最小值BF0，此时E位于上图中的 E0位置， 由对称性知，CAF0=BAC=90-75=15， BAF0=30， 由直角三角形中，30所对直角边等于斜边的一半可知， 115 5 BF0=AB=， 222 故选：B 18. （2021 辽宁省本溪市）辽宁省本溪市）如图，在中，由图中的尺规作图痕迹得到 VABCABBC BDACBCEFBEAC2CEF 的射线与交于点E，点F为的中点，连接，若，则 的周长为（） 315351 A.B.C.D. 4 【答案】C 【解析】 BDABCABBCRtBEC【分 析】根据作图可知平分，由三线合一，解，即可求 得 BDA
19、BC ABBC BEAC 2【详解】平分, BE AC , 1 AEECAC 1 2 BCBE2EC222125 BC 点F为的中点 15 EFBCFC 22 CEF的周长为: 55 CEEFFC151 22 故选 C 二填空题 1. （2021 湖北省黄冈市）湖北省黄冈市）在 RtABC中，C90，B30，适当长为半径画弧， 1 分别交AC，F；再分别以点E，F为圆心EF的长为半径画弧，两弧交于点P,作射线 AD 2 交 BC 于点 D，则 BD 与 CD 的数量关系为：BD2CD 【分析】证明ADDB2CD,可得结论 【解答】解：C90,B30， CAB903060， 由作图可知AD平分C
20、AB， CADBAD30， AD2CD， BADB30， ADDB， BD2CD， 故答案为：BD2CD 2. （2021 江苏省苏州市）江苏省苏州市）如图，在RtABC中，C= 90.AF=EF.若CFE= 72.则 B= 【分析】根据等边对等角可得AAEF，再根据A+AEFCFE72，求出 A的度数，最后根据在 RtABC中，C90，即可求出B的度数 【解答】解：AFEF， AAEF， A+AEFCFE72， A7236， 在 RtABC中，A36， B903654 故答案为：54 3.（2021江苏省扬州）江苏省扬州） 如图，在中，点D是的中点，过点 RtVABCACB90AB DEBC
21、CDCD5BC8DE D作，垂足为点E，连接，若，则_ 【答案】3 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质得到AB=10，利用勾股定理求出AC，再说明DEAC，得 DEBD1 到，即可求出DE ACAB2 【详解】解：ACB=90，点D为AB中点， AB=2CD=10， BC=8， AC=ABBC=6， 22 DEBC，ACBC， DEAC， DEBD1DEBD1 ， 即， ACAB26AB2 DE=3， 故答案为：3 4. （2021 湖南省娄底市）湖南省娄底市）如图，ABC中，是上任意一点， VABAC2,PBC PEABE,PFACS1PEPF 于点于点F，若，则_ ABC F C P
22、A EB 【答案】1 【解析】 【分析】将的面积拆成两个三角形面积之和，即可间接求出的值 VABCPEPF 【详解】解：连接AP，如下图： F C P A EB PEABE,PFACF 于点于点， SSS1 VABCVAPCVAPB 11 SSACPFABPE VAPCVAPB 22 2 ABAC ， SSPFPE1 ， VAPCVAPB PEPF1 ， 故答案是：1 5. （2021 四川省成都市）四川省成都市）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面 积为100 【分析】三个正方形的边长正好构成直角三角形的三边，根据勾股定理得到字母A所代 表的正方形的面积A36+64100
23、【解答】解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方36，一直角边的平方 64， 则斜边的平方36+64100 故答案为 100 6. （2021 四川省眉山市）四川省眉山市）如图，ABC中，ABAC5，BC6，AD平分BAC交BC 于点D，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和点 N，作直线MN，交AD于点E，则DE的长为 【分析】直接利用基本作图方法结合线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股 定理分别得出DC,AD的长，即可得出DE的长 【解答】解：如图所示：连接EC, 由作图方法可得：MN垂直平分AC, 则AEEC, ABAC5，BC6，AD平分BAC交
24、BC于点D， BDDC3,ADBC, 在 RtABD中，AD4, 设DEx,则AEEC4x, 在 RtEDC中， DE2+DC2EC2, 即x2+32(4x)2, 解得：x, 故DE的长为 故答案为： 7. （2021 浙江省杭州）浙江省杭州）如图，在直角坐标系中，以点A（3，1） ，AC，AD（1，1），点C （1，3），点D（4，4） （ 5，2），则BAC=DAE（填“” 、 “” 、 “”中的一 个） 【分析】在直角坐标系中构造直角三角形，根据三角形边之间的关系推出角之间的关 系 【解答】解：连接DE， 由上图可知AB2，BC2， ABC是等腰直角三角形， BAC45， 又AE=， 同
25、理可得DE=， AD=， 则在ADE中，有AE2+DE2AD7， ADE是等腰直角三角形， DAE=45， BAC=DAE， 故答案为：= 8. （2021 浙江省绍兴市）浙江省绍兴市）如图，在ABC中，ABAC，ABC70，以点C为圆心， CA长为半径作弧，交直线 BC 于点 P，连结AP，则BAP的度数是15或 75 【分析】根据等腰三角形的性质可以得到ABC各内角的关系，然后根据题意，画出图 形，利用分类讨论的方法求出BAP的度数即可 【解答】解：如右图所示， 当点P在点B的左侧时， ABAC，ABC70， ACBABC70， BAC180ACBABC180707040， CACP1，
26、CAP1CP6A55， BAP1CAP1CAB554015； 当点P在点C的右侧时， ABAC，ABC70， ACBABC70， BAC180ACBABC180707040， CACP4， CAP2CP1A35， BAP2CAP2CAB35+4075； 由上可得，BAP的度数是 15或 75， 故答案为：15或 75 9. （2021 江苏省盐城市）江苏省盐城市）如图，在 RtABC中，CD为斜边AB上的中线，若CD2， 则AB4 【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出CDAB，代入求出答案即可 【解答】解：ACB90，CD为ABC斜边AB上的中线， CDAB， CD2， AB2CD4，
27、故答案为：4 10. （20212021 齐齐哈尔市）齐齐哈尔市）若直角三角形其中两条边的长分别为 3，4，则该直角三角形斜边 上的高的长为_ 【答案】2.4 或 3 7 4 【解析】 【分析】分两种情况：直角三角形的两直角边为 3、4 或直角三角形一条直角边为 3，斜边 为 4，首先根据勾股定理即可求第三边的长度，再根据三角形的面积即可解题 【详解】若直角三角形的两直角边为 3、4，则斜边长为， 32425 设直角三角形斜边上的高为h， 11 34 5h 22 ， 2.4 h 若直角三角形一条直角边为 3，斜边为 4，则另一条直角边为 4232 7 设直角三角形斜边上的高为h， 11 37
28、4h 22 ， 3 7 h 4 3 7 故答案为：2.4 或 4 11. （2021 贵州省铜仁市）贵州省铜仁市）如图，将边长为 1 的正方形 ABCD 绕点A 顺时针旋转 30 到 ABC D 111 的位置，则阴影部分的面积是 _； 【答案】 2 2 3 3 12. （2021 深圳）深圳）如图，已知BAC60，AD是角平分线且AD10，作AD的垂直 平分线交于点F，作，则周长为_ ACDEACDEF 【解答】（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等） DFAF CDEEFAFAEDE DEF ，是角平分线 BAC60AD DAE30 AD10 ， DE5AE5 3 C55 3 DEF 13
29、. （2021 江苏省南京市）江苏省南京市） 如图，在四边形中， 设， ABCDABBCBDABC 则_（用含的代数式表示） ADC 180 【答案】 1 2 【解析】 90ABDCBD 901 1 【分析】由等腰的性质可得：ADB=，BDC=，两角相加 22 即可得到结论 【详解】解：在ABD中，AB=BD A=ADB= 11 (180ABD)90 ABD 22 在BCD中，BC=BD C=BDC= 11 (180CBD)90 CBD 22 ABCABDCBD ADCADBCBD 11 90ABD90 CBD= 22 1 180(ABD CBD)= 2 1 180 ABC= 2 1 180
30、= 2 1 180 故答案 为： 2 yx4ABP 14. （2021 广西贺州市）广西贺州市）如图，一次函数与坐标轴分别交于，两点， 点， CABOBOPC45PCPOP 分别是线段，上的点，且，则点的标为_ 2 2,42 2 【答案】 【解析】 【分析】过P作PDOC于D，先求出 A，B 的坐标，得ABO=OAB=45，再证明 PCBOPA，从而求出BD22，OD422，进而即可求解 【详解】如图所示，过P作PDOC于D， yx4B一 次函数与坐标轴分别交于A，两点， A(-4，0)，B(0，4)，即：OA=OB， ABO=OAB=45， BDP是等腰直角三角形， PBCCPOOAP45，
31、 PCBBPC135OPABPC， PCBOPA， 又PCOP， PCBOPA（AAS） ， AOBP4， RtBDP中，BDPDBP2， 22 ODOBBD42， 2 P（-2，42） 22 故答案是：P（-22，422） 三、解答题 1. （2021 江西省）江西省）如图，在ABC中，A40，ABC80，BE平分ABC交 AC于点E，EDAB于点D，求证：ADBD 证明：BE平分ABC交AC于点E， ABEABC8040， A40， AABE， ABE为等腰三角形， EDAB， ADBD 2. （2021 浙江省杭州）浙江省杭州）如图，在ABC中，ABC的平分线BD交AC边于点D，C 45
32、 （1）求证：ABBD； （2）若AE3，求ABC的面积 【分析】（1）计算出ADB和BAC，利用等角对等边即可证明； （2）利用锐角三角函数求出BC即可计算ABC的面积 【解答】（1）证明：BD平分ABC，ABC60， DBCABC30， ADBDBC+C75， BAC180ABCC75， BACADB， ABBD； （2）解：由题意得，BE3， BC3+， SABCBCAE 3. （2021 长沙市）长沙市）如图，在VABC中，ADBC，垂足为D，BDCD，延长BC至 ECECAAE ，使得，连接 （1）求证：BACB； AB5AD4ABE （2）若，求的周长和面积 164 5 【答案】（
33、1）证明见解析；（2）周长为，面积为 22 【分析】 （1）先根据垂直的定义可得，再根据三角形全等的判定定理与性质 ADBADC90 即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，从而可得，再利用勾股定理可 ABAC5CE5 得，从而可得，然后利用勾股定理可得，最后 CDBDBE11,DE8AE4 5 3 利用三角形的周长公式和面积公式即可得 【详解】 （1）证明：， ADBC ADBADC90 ， ADAD 在ABD和ACD中，ADBADC， BDCD VV ABDACD(SAS) ， BACB ； VABDVACDAB5 （2）， ABAC5 ， CECA ， CE5 ， AB5,AD4,ADBC ， BDAB2AD23 ， BDCD ， CD3 ， BEBDCDCE11,DECDCE8 ， AEAD2DE24 5 ， 则ABE的周长为ABBEAE5114 5164 5， ABE 11 BEAD114 22 22 的面积为
