1、20212021 年高考真题和模拟题分类汇编年高考真题和模拟题分类汇编 数数学学 专题专题 1818 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 解答题 1.(2021高考全国甲卷理 T22)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极 轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为2 2 cos （1）将 C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）设点 A 的直角坐标为 1,0 ，M 为 C 上的动点，点 P 满足 2APAM ，写出的轨 迹 1 C 的参数方程，并判断 C 与 1 C 是否有公共点 【解析】（1）由曲线 C 的极坐标方程2 2 cos可得 2 2 2cos， 将cos ,sin
2、xy代入可得 22 2 2xyx，即 2 2 22xy， 即曲线 C 的直角坐标方程为 2 2 22xy； （2）设,P x y，设22cos ,2sinM 2APAM ， 1,222cos1,2sin22cos2,2sinxy， 则 122cos2 2sin x y ，即 322cos 2sin x y ， 故 P 的轨迹 1 C的参数方程为 322cos 2sin x y （为参数） 曲线 C 的圆心为 2,0，半径为 2，曲线1 C的圆心为 32,0，半径为 2， 则圆心距为3 2 2 ， 32 222 ，两圆内含， 故曲线 C 与 1 C没有公共点. 2.(2021高考全国乙卷文 T2
3、2)在直角坐标系xOy中，C的圆心为2,1C，半径为 1 （1）写出C的一个参数方程; （2） 过点4,1F作C的两条切线 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 求这两条切线的极坐标方程 【解析】（1）由题意，C的普通方程为 22 (2)(1)1xy， 所以C的参数方程为 2cos 1 sin x y ， （为参数） （2） 由题意， 切线的斜率一定存在，设切线方程为1(4)yk x ， 即140kxyk ， 由圆心到直线的距离等于 1 可得 2 | 2 | 1 1 k k ， 解得 3 3 k ，所以切线方程为3334 30 xy或3334 30 xy， 将cosx，siny
4、代入化简得 2cos()43 3 或2cos()43 3 . 3.(2021河南郑州三模理 T22) 在平面直角坐标系 xOy 中， 以坐标原点为极点， x 轴正半轴 为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为cos（），曲线 C 的极坐标方 程为2（1+3sin2）4 （）写出直线 l 和曲线 C 的直角坐标方程； （） 已知点 A （1， 0） ， 若直线 l 与曲 C 线交于 P， Q 两点， PQ 中点为 M， 求 的值 【解析】（1）直线的极坐标方程为cos（），整理得cossin10， 根据，转换为直角坐标方程为 xy10 曲线 C 的极坐标方程为2（1+3sin2）4根据，转换为直角
5、坐标方程 为 （2）把直线方程 xy10 转换为参数方程为（t 为参数），代入直角坐 标方程为 得到，点 P 和 Q 对应的参数为 t1和 t2， 所以，点 M 对应的参数为 故 4.(2021河南开封三模文理 T22)已知在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数）以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 C 的极坐标方程为 （1）求曲线 C 的直角坐标方程； （2）设点 P（0，2），若直线 l 与曲线 C 交于不同的两点 A，B，求|PA|+|PB|的取值范围 【解析】（1）曲线 C 的极坐标方程为，整理得2+22sin23， 根据，整理得
6、 x2+3y23， 化简得曲线 C 的直角坐标方程为 （2）联立直线 l 的参数方程与曲线 C 的直角坐标方程得：（tcos）2+3（2+tsin）23， 化简得（1+2sin2）t2+12tsin+90， 则， 且144sin236（1+2sin2）0，2sin210， 则有， 则， 令，有， 所以|PA|+|PB|的取值范围为 5.(2021河南焦作三模理 T22)在直角坐标系 xOy 中， 曲线 C 的参数方程为（ 为参数），直线 l 的参数方程为（t 为参数，0） （）若曲线 C 与 y 轴负半轴的交点在直线 l 上，求； （）若 tan，求曲线 C 上与直线 l 距离最大的点的坐标
7、【解析】（）曲线 C 的参数方程为（为参数）， 转换为直角坐标方程为 曲线 C 与 y 轴的负半轴交于点（0，1）， 由于直线 l 的参数方程为（t 为参数，0）， 所以直线 l 恒过点（1，0） 所以直线的斜率 k1，即 tan1， 整理得 （）若 tan， 所以直线的 l 的普通方程为，即， 曲线C上的点到直线l的距离d， 当（kZ）， 所以，即， 故 P（） 6.(2021四川内江三模理 T22 )在直角坐标系 xOy 中， 直线的参数方程为（t 为参数），以原点 O 为极点，曲线 C 的极坐标方程为 （1）求曲线 C 的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线； （2） 设直线 l 与曲线
8、C 交于 A， B 两点， 若点 P 的直角坐标为 （1， 0）时， |PA|+|PB| 的值 【解析】（1）曲线 C2：，可以化为， 72cos2sin， 因此，曲线 C 的直角坐标方程为 x3+y22x+2y0 它表示以（7，1）为圆心、 （2）当时，直线的参数方程为 点 P（1，0）在直线上，把 代入 x2+y22x+2y6 中得 设两个实数根为 t8，t2，则 A，B 两点所对应的参数为 t1，t8， 则，t1t25 7.(2021安徽蚌埠三模文 T22)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 ，（t 为参数），以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标 系，曲
9、线 C 的极坐标方程为2asin（a0），曲线 C 与 l 有且只有一个公共点 （1）求实数 a 的值； （2）若 A，B 为曲线 C 上的两点，且AOB，求|OA|OB|的最大值 【解析】（1）直线 l 的参数方程为，（t 为参数），转换为普通方程为 曲线 C 的极坐标方程为2asin（a0），根据， 转换为直角坐标方程为 x2+（ya）2a2， 因为曲线 C 与 l 有且只有一个公共点 所以圆心（0，a）到直线的距离 d 解得 a1，故 a1 （2）设 A（1，），B（）， 所以|OA|OB|1+2sin（2）|3， 当时，|OA|OB|的最大值为 3 8.(2021 贵 州 毕 节 三
10、模 文T22 ) 如 图 ， 在 极 坐 标 系Ox中 ， ， 弧， 弧， 弧所 在圆的圆心分别是， 曲线 C1是弧， 曲线 C2是弧， 曲线 C3是弧，曲线 C：f（，）0（02）由 C1，C2，C3构成 （） 写出曲线 C 的极坐标方程， 并求曲线 C 与直线所围成图形的面积； （）若点 M 在曲线 C 上，且，求点 M 的极坐标 【解析】（1）在极坐标系 Ox 中， ， 弧， 弧， 弧所 在圆的圆心分别是， 曲线 C 的极坐标方程为 所围成的图形即为两个四分之一圆、一个半圆和一个矩形所组成， 所以面积为： （2）设曲线 C 上一点 P（，）， 由题设若，由， 得，； 若或，由， 得，或；
11、 若，由， 得，； 点M的极坐标为： 9.(2021河南济源平顶山许昌三模文 T22 )已知在平面直角坐标系 xOy 中， 曲线 C 的参数 方程为（t 为参数）以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直 线 l 的极坐标方程为cos（+）1 （1）求曲线 C 和直线 l 的直角坐标方程； （2）若直线 l 交曲线 C 于 A，B 两点，交 x 轴于点 P，求的值 【解析】（1）曲线 C 的参数方程为（t 为参数）转换为直角坐标方程为 x2 4y21（x1）， 直线 l 的极坐标方程为cos（+）1根据，转换为直角坐标方程 为 （2）直线 l 交交 x 轴于点 P，所以 P（2，0
12、）， 所以直线的参数方程为（t 为参数）， 把直线我的参数方程代入 x24y21， 得到， 故，t1t212， 所以 10.(2021 四 川泸 州 三 模 理 T22 ) 在 平 面直 角 坐 标系 中 ，圆 C1的 参数 方 程 为 （为参数），以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极 坐标系，圆 C2的极坐标方程为2sin，记圆 C1与圆 C2异于原点的交点为 A （）求点 A 的极坐标； （）若过点 A 的直线 l 分别交圆 C1和 C2于 M、N 两点，求|MN|的最大值 【解析】（），圆 C1的参数方程为（为参数），转换为普通方 程为； 根据，转换为极坐标方程为， 圆 C
13、2的极坐标方程为2sin， 由，解得， 所以， 故 A（）（kZ） 设直线的倾斜角为， 则直线的参数方程为（t 为参数），代入圆 C1的普通方程为 ； 故， 所以， 将直线的参数方程为（t 为参数），代入圆 C2的普通方程 x2+y22y 0， 得到， 所以， 建立方程组，解得， 所以|MN|tMtN|， 当时，|MN|的最大值为 4 11.(2021宁夏中卫三模理 T22)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 （为参数），以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极 坐标系，曲线 C2的极坐标方程为cos+20 （1）求曲线 C1的极坐标方程并判断 C1，C2的位置关系；
14、（2）设直线（，R）分别与曲线 C1交于 A，B 两点，与 C2交于 点 P，若|AB|3|OA|，求|OP|的值 【解析】（1）由曲线 C1得：， 平方相加得（x3）2+y25， 即 x2+y26x+40，又2x2+y2，xcos， 得曲线 C1的极坐标方程为26cos+40 联立，得2+160，此方程无解， C1，C2相离； （2）由，得26cos+40 直线与曲线 C1有两个交点 A，B， 36cos2160，即 设方程的两根分别为1，2，则， |AB|3|OA|，|OB|4|OA|，即241， 联立式解得11，24，满足0， 联立， 12.(2021江西南昌三模理 T22)在平面直角坐
15、标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为： （为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 C2的极坐标方程为：0（00，），R） （）求曲线 C1的极坐标方程； （）设 A，B 是曲线 C1、C2的公共点，若，求曲线 C2的直角坐标方 程 【解析】（）曲线 C1的参数方程为：（为参数），整理得曲线 C1的 直角坐标方程为 x2+y22x30， 根据，曲线 C1的极坐标方程为22cos30 （）因为曲线 C2的极坐标方程为0，由， 得到22cos030， 设|OA|A|，|OB|B|， 则A+B2cos0，AB3， 则A，B异号，不妨设A0，B0， 则， 所以， 则
16、cos01，因为00，）， 所以00， 所以曲线 C2的直角坐标方程为 y0 13.(2021江西上饶三模理 T22)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1是过点 P（3，0）且 倾斜角为的直线，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2的极坐标 方程为4cos2sin （1）求曲线 C1的参数方程及曲线 C2的直角坐标方程； （2）设曲线 C1、C2交于 A，B 两点，求当最大时，曲线 C 的直角坐标方程 【解析】（1）曲线 C1是过点 P（3，0）且倾斜角为的直线，转换为参数方程为 （为参数） 曲线 C2的极坐标方程为4cos2sin 根据 ， 转换为直角坐标方程为
17、（x2）2+（y+1）25 （2）把直线的参数方程代入（x2）2+（y+1）25， 得到 t2+2（cos+sin）t30， 故 t1+t22（sin+cos），t1t23， 所以， 当时， 14.(2021安徽宿州三模文理 T22)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为： （为参数），已知直线 l1：xy0，直线 l2：x+y0，以坐标原 点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 （）求曲线 C 以及直线 l1，l2的极坐标方程； （）若直线 l1与曲线 C 分别交于 O、A 两点，直线 l2与曲线 C 分别交于 O、B 两点，求 AOB 的面积 【解析】（）依题意，由曲线 C
18、 的参数方程（为参数） 消参得（x2）2+y24， 故曲线 C 的普通方程为 x2+y24x0 根据， 曲线 C 的极坐标方程为：4cos 直线 l1的极坐标方程分别为（R） ， 直线 l2和的极坐标方程为 （）把代入4cos，得，所以 A（2）， 把代入4cos，得22，所以 B（2，） 所以 15.(2021安徽马鞍山三模文理 T22)平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 （为参数）以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系 中，曲线 C2的极坐标方程为 （1）求曲线 C1的普通方程与曲线 C2的直角坐标方程； （2）设点 M（0，1），若曲线 C1，C2相交于
19、A，B 两点，求|MA|+|MB|的值 【解析】（1）曲线 C1的参数方程为（为参数），转换为普通方程 为（x1）2+（y1）22 曲线 C2的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标 方程为 xy10 （2）由于点 M（0，1）满足直线 xy10 的方程， 故（t 为参数）， 代入（x1）2+（y1）22， 得到：， 所以，t1t23， 故|MA|+|MB| 16.(2021江西鹰潭二模理 T22)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的方程为：（x+） 2+（y+1）24以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2，C3的极坐 标方程分别为：2sin，2cos（+） （1）若
20、曲线 C2，C3相交于异于极点的点 Q，求点 Q 的直角坐标； （2）若直线 l：（R）与 C1，C2相交于异于极点的 A，B 两点，求|AB|的最大值 【解析】（1）曲线 C2的极坐标方程为2sin，根据转换为直角坐标 方程为 x2+y22y 曲线 C3的极坐标方程为2cos（+），根据转换为直角坐标方程为 所以，解得或， 故 Q（） （2）曲线 C1的方程为：（x+）2+（y+1）24，转换为， 根据转换为极坐标方程为， 直线 l：（R）与 C1，C2相交于异于极点的 A，B 两点， 所以，整理得A2sin， ，整理得 所以|AB|AB|2， 当 sin（）1 时， 17.(2021江西上
21、饶二模理 T22)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 （t 为参数），以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为2sin，直线 l 的极坐标方程为（R，0） （1）求曲线 C1的极坐标方程； （2）直线 l 与曲线 C1交于点 A，与曲线 C2交于 O，B 两点，求|AB|的最大值 【解析】（1）曲线 C1的参数方程为程为（t 为参数）（t 为参数，且 t0）， 整理得 ytx，所以 t， 代入关系式得到 x2+y22x0， 根据 xcos，ysin，转换为极坐标方程为2cos （2）直线 l与曲线 C1的交点为 A， 所以，解得A2co
22、s， 直线 l：与曲线 C2的交点坐标为 B， 故，所以， 所以|AB|AB|， 由于 0， 当时，所以|AB|max4 18.(2021江西九江二模理 T22 )在极坐标系 Ox 中， 射线 l 的极坐标方程为（0） ， 曲线 C 的极坐标方程为24sinr24（r0），且射线 l 与曲线 C 有异于点 O 的两 个交点 P，Q （）求 r 的取值范围； （）求+的取值范围 【解析】（）射线 l 的极坐标方程为（0），转换为直角坐标方程为 （x0） 曲线 C 的极坐标方程为24sinr24（r0），根据，转换为直角 坐标方程为 x2+（y2）2r2 且射线 l 与曲线 C 有异于点 O 的两
23、个交点 P，Q 所以圆心（0，2）到直线 y的距离 d， 所以 1r2 （）把为，代入24sinr24， 得到， 所以， 由于 r（1，2）， 所以 4r2（0，3） 所以+ 19.(2021河南郑州二模文 T22)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程是 （t 是参数，0，），以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立 极坐标系，曲线 C2的极坐标方程是4sin（）2cos （）写出曲线 C2的直角坐标方程； （）若曲线 C1与 C2有且仅有一个公共点，求 sin2sincos的值 【解析】（）曲线 C2的极坐标方程是4sin（）2cos， 根据转换为直角坐标方程为 x2+y2
24、2x+4y， 即（x1）2+（y2）25 （）曲线 C1的参数方程是（t 是参数，0，）， 转换为直角坐标方程为 ykx+5，（k0）， 利用圆心（1，2）到直线的距离公式， 解得 k，（负值舍去）， 故 k2， 即 tan2， 所以 sin，cos， 故 sin2sincos 20.(2021山西调研二模文 T22)已知曲线?： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 为参数?，曲线?：? ? ?cos? ? cos? ?求?的普通方程与?的直角坐标方程； ?设曲线?，?的公共点为 A，B，O 为坐标原点，求? ? 的面积. 【解析】?曲线?： ? ? ? ? ? ? ? ?
25、 ? ? ? ? ? ? 为参数?，消去参数转换为普通方程为 ? ? ? ? ? ? ? 曲线?：? ? ?cos? ? cos?，根据 ? ? ?cos? ? ? ?sin? ? ? ? ，转换为直角坐标方程为? ? ?由 ? ? ? ? ? ? ? ，化简为? ? ? ?， 解得 ? ? ? ? ? ? 或 ? ? h ? ? ? 故? ? ? ? ?， 则：点 O 到直线 AB 的距离 ? ? ? ? ?， 所以? ? ? ? ? ? ? ? ? t? 【解析】?直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； ?利用两点间的距离公式和点到直线的距离公式和三三角形的面积
26、公式的应用求出结果 本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离 公式的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础 题 21.(2021宁夏银川二模文 T22)在直角坐标系中，已知曲线 M 的参数方程为 （为参数），以原点为极点 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l1的极 坐标方程为：，直线 l2的极坐标方程为 （）写出曲线 M 的极坐标方程，并指出它是何种曲线； （）设 l1与曲线 M 交于 A，C 两点，l2与曲线 M 交于 B，D 两点，求四边形 ABCD 面 积的取值范围 【解析】（）由（为参数）消去参数得：（x1
27、）2+（y1）24， 展开可得：x2+y22x2y20 将曲线 M 的方程化成极坐标方程得：22（cos+sin）20， 曲线 M 是以（1，1）为圆心，2 为半径的圆 （）设|OA|1，|OC|2，由 l1与圆 M 联立方程可得22（sin+cos）20， 1+22（sin+cos），122， O，A，C三点共线，则 ， 用代替可得， l1l2， ， sin220，1，S四边形ABCD 22.(2021安徽淮北二模文 T22)在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C1的参数方程为 （t 为参数），以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2极坐标方程为cos（+）4
28、（）写出曲线 C1，C2的普通方程； （）过曲线 C1上任意一点 P 作与 C2夹角为的直线，交 C2于点 A，求|PA|的最大值 与最小值 【解析】（）由（t 为参数），两式平方作和可得 x2+y21（x1）； 由cos（+）4，得， 即， 可得 x 曲线 C1，C2的普通方程分别为 x2+y21（x1）；x （）设 P（cos，sin），（02且）， 则 P 到直线 x的距离 d|2cos（）8| |cos（）4| |PA|cos（）4| 当 cos（）1 时， 当 cos（）1 时， 23.(2021新疆乌鲁木齐二模文 T22)已知点 M 是曲线 C1：x2+y22y0 上的动点，以坐
29、标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，将点 M 绕 O 点顺时针旋转 90到点 N，设点 N 的轨迹为曲线 C2 （）求曲线 C1和 C2的极坐标方程； （）设直线 l：y2，射线 m：，（0，），若 m 与曲线 C2、直线 l 分别 交于 A、B 两点，求的最大值 【解析】（）曲线 C1：x2+y22y0，根据，转换为极坐标方程为 2sin 将点 M 绕 O 点顺时针旋转 90到点 N，设点 N 的轨迹为曲线 C2， 设曲线 C2上的点的极坐标为 N（，），所以 M（），满足2sin， 故，即曲线 C2的极坐标方程 （）直线 l：y2，根据，转换为极坐标方程为， 射线 m：，（0，
30、），若 m 与曲线 C2交于点 B， 建立方程组，整理得， 直线 l 与曲线 C2交于 A 点， 故，整理得A2cos， 所以， 由于（0，）， 所以 2（0，） 故 故最大值为 24.(2021吉林长春一模文 T22.) 已知直线l的参数方程为 12xt yt (t为参数),以坐标 原 点 为 极 点 ,x轴 的 非 负 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 , 圆C的 极 坐 标 方 程 为 2cos4sin . (I)求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程; ()若直线l与圆C相交于,A B两点,求|.AB 【解析】(1)直线l的普通方程是210 xy ,圆的直角坐标方程是 22 240 xyxy（5 分） (2)圆心(1,2)到直线l的距离 4 . 5 d 圆半径5,r 所以| 166 5 | 2 5 55 AB （10 分）
