1、高等数学（高教出版社高职高高等数学（高教出版社高职高 专）全册配套精品完整课件专）全册配套精品完整课件 第一节函数第一节函数 一、函数的概念一、函数的概念 三、分段函数三、分段函数 四、反函数四、反函数 五、初等函数五、初等函数 六、函数的基本性态六、函数的基本性态 七、建立函数关系举例七、建立函数关系举例 二、函数的表示法二、函数的表示法 第一章函数极限连续第一章函数极限连续 八、常见曲线的图形八、常见曲线的图形 一、函数的概念一、函数的概念 定义定义设设 D 为一个非空实数集合为一个非空实数集合，若存在确定若存在确定 的的对应规则对应规则 f ，使得对于数集使得对于数集 D 中的任意一个数
2、中的任意一个数 x , 按照按照 f 都有都有唯一确定的唯一确定的实数实数 y 与之对应与之对应，则称则称 f 是是 定义在集合定义在集合 D 上的函数上的函数 . D : f 的定义域的定义域 x : 自变量自变量 y : 因变量因变量 如果对于自变量如果对于自变量 x 的某个确定的值的某个确定的值 x0，因，因 变量变量 y 能够得到一个确定的值，那么就称函数能够得到一个确定的值，那么就称函数 f 在在 x0 处有定义，其因变量的值或函数处有定义，其因变量的值或函数 f 的的 函数值记为函数值记为 )( )(, 0 00 xfxfy xxxx 或或 实数集合实数集合 DxxfyyB ),(
3、 称为函数称为函数 f 的值域的值域 . ( (其中其中 为大于为大于 0 的常的常 数数) )的一切的一切 x，称为点称为点 x0 的的 邻域，记作邻域，记作 U( x0 , ). 0 xx满足不等式满足不等式 对于不等式对于不等式 0 | x x0 | 称为点称为点 x0 的的 的空心邻域，记作的空心邻域，记作 U ( , , ) . 如图如图 ( (b) ) 所示所示. . 0 x 它的几何意义是：以它的几何意义是：以 x0 为中心，为中心， 为半径的为半径的 开区间开区间 (x0 , x0 + + ) ，即，即 x0 x x0 + + ， 如图如图 ( (a) )所示所示 . . (a
4、) ) O x0 x0 + + x0 x ( (b) ) Ox x0 x0 + + x0 确定函数确定函数 显然，其定义域是满足不等式显然，其定义域是满足不等式 的的 x 值的集合值的集合, 解此不等式解此不等式 , 则得其定义域为则得其定义域为: 也可以用集合形式表示也可以用集合形式表示 为为 解解 例例 1 . 32 1 )( 2 的定义域的定义域 xx xf 032 2 xx ), 3()1,(:, 13+ 即即或或 xx .), 3()1,(|+ xxD 的定义域的定义域 . 解解该函数的定义域应为满足不等式组该函数的定义域应为满足不等式组 解此不等式组，得其定义域解此不等式组，得其定
5、义域 也可以用集合形式表示为也可以用集合形式表示为 .3 , 2(| xxD 的的 x 值的全体，值的全体， 确定函数确定函数 例例 2 )2ln(23)( 2 + + + + xxxxf + + 02 , 023 2 x xx . 3 , 2( 32，即，即x 解解 3 21 3) 1 (2) 1 () 1 ( 3 3 + + + + + aaaaa f ， 3 23 123 a aa + + ，323)(2)()( 262322 + + + + tttttf ， 232 )32()(+ + bbbf . 32 1 )( 1 3 + + cccf ，32)( 3 + + xxxf .0)(,
6、 0 )( 1 ,)(, )( 2 2 ) )其中其中( ( cfa cf bftf 例例 3 设函数设函数 f (x) = x3 - - 2x + 3，求，求 ，) 1 ( a f 二、函数的表示法二、函数的表示法 函数的表示法通常有三种：公式法、表格法函数的表示法通常有三种：公式法、表格法 和图示法和图示法. 1. 以数学式子表示函数的方法叫做函数的公以数学式子表示函数的方法叫做函数的公 式表示法，公式法的优点是便于理论推导和计算式表示法，公式法的优点是便于理论推导和计算. 2. 以表格形式表示函数的方法叫做函数的表以表格形式表示函数的方法叫做函数的表 格表示法，它是将自变量的值与对应的函
7、数值列格表示法，它是将自变量的值与对应的函数值列 为表格，表格法的优点是所求的函数值容易查得为表格，表格法的优点是所求的函数值容易查得. 3. 以图形表示函数的方法叫做函数的图示法，以图形表示函数的方法叫做函数的图示法， 图示法的优点是直观形象，且可看到函数的变化图示法的优点是直观形象，且可看到函数的变化 趋势趋势. 三、分段函数三、分段函数 例例 4 旅客乘坐火车可免费携带不超旅客乘坐火车可免费携带不超 20 kg 的的 物品，超过物品，超过 20 kg 而不超过而不超过 50 kg 的部分每的部分每 kg 交交 费费 a 元，超过元，超过 50 kg 部分每部分每 kg 交费交费 b 元元
8、 . 求运费求运费 与携带物品重量的函数关系与携带物品重量的函数关系 . 解解设物品重量为设物品重量为 x kg，应交运费为，应交运费为 y 元元. 由由 题意可知这时应考虑三种情况：题意可知这时应考虑三种情况： 情况二情况二：重量大于：重量大于 20 kg，但不超过，但不超过 50 kg，这时，这时 . 50,20( ,)20( xaxy 情况三情况三：重量超过：重量超过 50 kg，这时，这时 .50 ,)50()2050( + + xbxay 情况一情况一：重量不超过：重量不超过 20 kg，这时，这时 . 20, 0 , 0 xy 因此，所求的函数是一个分段函数因此，所求的函数是一个分
9、段函数 + + .50 , )50()2050( , 50,20( )20( , 20, 0 0 xxba xxa x y， ， 例例 6 函数函数 . 2 ,(上的一个分段函数上的一个分段函数为定义在为定义在 , 20,1 , 0),cos( )( 2 x xx xf ; )cos( , 0 ,( 2 计算计算 其函数值均以其函数值均以对于任何一个对于任何一个 x x .1 , 2 , 0( 其函数值均为其函数值均为 对于任何一个对于任何一个 x 四、反函数四、反函数 设设 y = f (x)为定义在为定义在 D 上的函数，其值域为上的函数，其值域为 A . 若对于数集若对于数集 A 中的每
10、个数中的每个数 y , 数集数集 D 中都有唯一的中都有唯一的 一个数一个数 x 使使 f (x) = y， 这就是说变量这就是说变量 x 是变量是变量 y 的的 函数函数 . . 这个函数称为这个函数称为函数函数 y = f (x) 的反函数的反函数, , 其定义域为其定义域为 A . 值域为值域为 D . 函数函数 y = f (x) 与与 x f - -1 (y) 二者的图形是相同的二者的图形是相同的. . 记为记为 x = f - -1 (y). 交换交换 x、y 的位置的位置, 即得所求的反函数即得所求的反函数 x x y 1 log 2 . )1(loglog 22 xxy 或或
11、).1 , 0 (其定义域为其定义域为 , 1 log 12 2 2 y y xy x x + + 可解得可解得由由解解 . 12 2 的反函数的反函数求函数求函数 + + x x y例例 8 1. .基本初等函数基本初等函数 ;1) )且且 a );1, 0( aa且且 三角函数三角函数 反三角函数反三角函数 y = arc sinx, y = arc cos x, y = arc tan x, y = arc cot x ； 五、初等函数五、初等函数 等五类函数统称为等五类函数统称为基本初等函数基本初等函数 . y = sinx, y = cos x, y = tan x, y = cot
12、 x, y = sec x, y = csc x ； xy a log , 0 aay x( ( ; ) )( ( 为任意实数为任意实数axy a 幂函数幂函数 指数函数指数函数 对数函数对数函数 2. .复合函数复合函数 若函数若函数 y = F(u), 定义域为定义域为 U1 , 函数函数 u = j j ( (x) ) 的值的值 域为域为 U2, 12 UU 其中其中则则 y 通过变量通过变量 u 成为成为 x 的函数的函数, 这个函数称为由函数这个函数称为由函数 y = F(u) 和函数和函数 u = j j ( (x) ) 构成的构成的 复合函数复合函数, , ,)(xFyj j 其
13、中变量其中变量 u 称为中间变量称为中间变量. 记为记为 . cos 2 合合函函数数 构构成成的的复复与与试试求求函函数数xuuy 例例 9 中，中，代入代入将将 2 cosuyxu 即为所求的复即为所求的复 合函数合函数 ,cos 2 xy 其定义域为其定义域为 (, + + ) . 解解 解解 1 例例 11, 1 1 )( x xf + + 设设,sin)(xx j j ).(),( xfxfj jj j 求求 求求 f j j ( (x) ) 时时, 应将应将 f (x) 中的中的 x 视为视为j j ( (x) ), x xf sin1 1 )( + + j j 2),( )( ,
14、)(xfxxxf视为视为中的中的应将应将时时求求j jj j 因此因此 . 1 1 sin)( x xf + + j j 因此因此 例例 12,)1( 2 xxf 设设).12(+ +xf求求 解解 方法一方法一 令令 u = x 1, 得得 f (u) = (u + + 1)2, 再将再将 u = 2x + + 1 代入代入, 即得复合函数即得复合函数 .)1(4 1)12()12( 2 2 + + + + + + + x xxf 方法二方法二 因为因为 f (x 1) = x2 = (x 1) + 12, 于是于是 问题转化为问题转化为 求求 y = f (x) = (x + + 1)2
15、与与 j j (x) = 2x + + 1 的的 复合函数复合函数 f j j (x) , 因此因此 .)1(41)12()12( 22 + + + + + + +xxxf 例例 13)2(sinlog,)53( 10 x a xyxy+ + + + 指出指出 是由哪些函数复合而成的是由哪些函数复合而成的. . 解解 . 53)53( 1010 而而成成的的 复复合合和和是是由由+ + + + xuuyxy )2(sinlog x a xy+ + .2sin ,log, 复复合合而而成成的的 是是由由 x a xv vuuy + + 3. .初等函数初等函数 由基本初等函数及常数由基本初等函数
16、及常数 经过有限次四则运算和经过有限次四则运算和 有限次复合构成有限次复合构成, , 并且可以用并且可以用一个数学式子表示的一个数学式子表示的 函数函数, , 叫做初等函数叫做初等函数. .例如例如 等等等等, , x x xx xx yxxy + + + + 2sin 3tan2 sin35ln 2 3 2 ， 都是初等函数都是初等函数 . . 六、函数的基本性态六、函数的基本性态 设设函数函数 y = f (x) 的定义域关于原点对称，如的定义域关于原点对称，如 果对于定义域中的任何果对于定义域中的任何 x，都有，都有 f (x) = f (- - x) ， 则称则称 y = f (x)
17、为偶函数；如果有为偶函数；如果有 f (- - x) = - - f (x) ， 则称则称 f (x) 为奇函数为奇函数. 不是偶函数也不是奇函数的不是偶函数也不是奇函数的 函数，称为非奇非偶函数函数，称为非奇非偶函数. 1. .奇偶性奇偶性 2. .周期性周期性 设设函数函数 y = f (x) 的定义域为的定义域为 (- - , + + ) ，若，若 存在正数存在正数 T，使得对于一切实数，使得对于一切实数 x，都有：，都有： 则称则称 y = f (x) 为周期函数为周期函数. f (x + T) = f (x). 设设 x1 和和 x2 为区间为区间 (a, b) 内的任意两个数内的任
18、意两个数， 若当若当 x1 x2 时时, , 函数函数 y = f (x) 满足满足 ),()( 21 xfxf 则称该函数在区间则称该函数在区间 (a, b) 内内单调增加单调增加， ，或 或称称递增递增； 若当若当 x1 0 ，使得，使得 | un | M ( (n = 1, 2, ) )恒成立，恒成立， 或存在两个数或存在两个数 M 和和 m，使得，使得 m un M ( (M 称为上界称为上界, m 称为称为 下界下界) )， 若数列若数列 un 满足满足 un un+1 ( (n = 1, 2, ) )或或 un un+1 ( (n = 1, 2, ) )则分别称则分别称 un 为为
19、单调递增数列或单调递减数列单调递增数列或单调递减数列， 则称数列则称数列 un 为有界数列，或称为有界数列，或称数列有界数列有界； 这两种数列统称为这两种数列统称为单调数列单调数列. 例如例如 un : 1 1 3 4 2 3 2， n + + 为单调递减数列为单调递减数列; ， n un 1 1 4 3 3 2 2 1 0 : 为单调递增数列；为单调递增数列； )1(1 11 2 3 121:， n u n n + + + + 是有界数列，是有界数列， 但不是单调数列但不是单调数列 . 又如又如 而而 前面三个数列都有一种共同的现象，即当前面三个数列都有一种共同的现象，即当 n 无限变大时，
20、它们都无限无限变大时，它们都无限 地接近于地接近于 1，这就是极限现象，这就是极限现象. 显然，数列显然，数列 un 无限地接近于无限地接近于 1，可用数列，可用数列 un与与 1 之差的绝对值可以之差的绝对值可以 任意地小来描述任意地小来描述 . 如果用符号如果用符号 e e 表示任意小的正数，表示任意小的正数， 那么就可用那么就可用 | un 1 | e e 表示表示 . . 于是于是, 数列数列 un 的极限现象可表述为：当的极限现象可表述为：当 n 无限变大时，无限变大时， 就有就有 | un 1 | e e . . 一般地，当一般地，当 n 无限变大时，数列无限变大时，数列 un 无
21、限接近于一个常数无限接近于一个常数 A 的极限现象的极限现象 可定义如下：可定义如下： 定义定义如果如果当当 n 无限变大时无限变大时，数数列列 un 与与 A 之差的绝对值小于任意小正之差的绝对值小于任意小正 数数 e e ，即即 | un A| N 就表示了这个意思，就表示了这个意思， N 表示了表示了n 无限变大的程度，无限变大的程度， 时，时，就是指：当就是指：当这样这样 lim NnAun n 恒有恒有 | un A | N 时，点时，点 un 都落在点都落在点 A 的的 e e 邻域内，而不管邻域内，而不管 e e 有多么小有多么小( (如图如图) )， 形象一点讲，数列形象一点讲
22、，数列 un 会密集在点会密集在点 A 的周围的周围. A A e e A + +e e uN+1 uN+2 O x 如果把数列如果把数列 un 中每一项都用数轴中每一项都用数轴 Ox 上一个点来表示，那么数列上一个点来表示，那么数列 un 趋趋 向于向于 A 可解释为可解释为: 定理定理若数列收敛若数列收敛，则数列有界则数列有界 . 并非所有数列都是有极限的，并非所有数列都是有极限的，例如例如 当当 n 时时, 它们均不与一个常数它们均不与一个常数 A 无限接近，所以这些数列没有极限无限接近，所以这些数列没有极限 , 没有极限的数列称为没有极限的数列称为发散数列或称数列发散发散数列或称数列发
23、散 . ,)1( ,1, 1, 1 :)1( 11 nn n u数数列列 , 3, 2, 1 :nnun 数数列列 ,)1( , 9, 4 , 1 :)1( 2121 nnu nn n 数数列列 二、函数的极限二、函数的极限 当当 x 无限接近于无限接近于 1 时，时， . 4 )1(2 1 )1(2 )( 2 趋趋向向于于+ + x x x xf 显 然 ， 当显 然 ， 当 x 1 时时 , 1 )1(2 )( 2 x x xf函数函数 趋向于什么？趋向于什么？函数函数 一般地，当一般地，当 x 无限接近于无限接近于 x0 时，函数时，函数 f ( (x) ) 趋向于趋向于 A 的定义的定
24、义 如下：如下： 定义定义如果当如果当 x 无限接近于无限接近于 x0 时，时，恒有恒有| f (x) - - A| e e ( (e e 是任意是任意 小的正数小的正数) )， 则则称当自变量称当自变量 x 趋向于趋向于 x0 时时，函函 数数 f (x) 趋向于趋向于 A ，记作记作 ).)(,( 0 Axfxx时时或或当当Axf xx )(lim 0 几点说明：几点说明： ( (1) )与数列极限相似，与数列极限相似， f ( (x) ) 趋向于趋向于 A 的过程中的过程中，可以有大于可以有大于 A 的，可以的，可以 有小于有小于 A 的，也可以有等于的，也可以有等于 A 的的 . (
25、(2) ) 中看到中看到从上面例子从上面例子 1 )1(2 )( 2 x x xf x 是不能等于是不能等于 1 的，因为的，因为 x = 1 处处 函数没有定义函数没有定义 . 一般地，在自变量一般地，在自变量 xx0 过程中是不能等于过程中是不能等于 x0 的的. ( (3) )自变量自变量 x x0 也可以用不等式表示也可以用不等式表示. 如果用如果用 记作充分小的正数记作充分小的正数. 那么那么 x 无限接近无限接近 x0 ，可由，可由 x0 的的 空心邻域表示，即空心邻域表示，即 0 | x x 0| . . 表示表示 x 与与 x0 接近的程度接近的程度. 这样这样 ， Axf x
26、x )(lim 0 就是指，当就是指，当 0 | x - - x 0| 时时恒有恒有 | f (x) ) - - A | e e . . A A e e f ( (x) ) A + + e e ( (4) ) 几何解释几何解释 . . Axf xx )(lim 0 A A+ +e e A A e e y = f (x) x0 x0 + x0 y xO 不管它们之间的距离有多不管它们之间的距离有多 么小么小. 只要只要 x 进入进入 U( ( , 0 x 是指：当是指：当 0 |x x0| 时，时， 恒有恒有 | f (x) A | N ( ( N 是充分大的正数是充分大的正数 ) ) 时，恒有
27、时，恒有 | f (x) A | N 时，曲线时，曲线 y = f (x) 落在这两条直线之间落在这两条直线之间. .)(lim,)(limAxfAxf xx 还还有有 前者是指当前者是指当 x 无限变大时，无限变大时， f ( x ) 趋向于趋向于 A ， .)(lim )(limAxfAxf xx + + 同同时时， 而后者是指而后者是指 例如例如 ;02lim ;0 1 lim + + x xx x ;0 1 1 lim 1 lim 2 + + + + x x x x xx . arctanlim , 2 arctanlim, 2 arctanlim 不不存存在在所所以以x xx x x
28、x + + p p p p . 2 23 lim 2 2 + + x xx x 求求 例例 3 解解 2 23 lim 2 2 + + x xx x 2 )1)(2( lim 2 x xx x .1)1(lim 2 x x . )(lim 2 2 xx x + + 求求 例例 4 解解 . 622)(lim 22 2 + + + + xx x 解解 例例 5).(lim , 0,0 , 0, )( 0 2 xf x x x xx xf x + + 求求设设函函数数 .1)1(limlim)(lim 0 2 00 + + + + x x xx xf xxx 例例 3, 4 和和 5 说明了下列几
29、种重要现象：说明了下列几种重要现象： ( (1) ) 函数函数 f (x) 在在 x0 处极限存在，但函数处极限存在，但函数 f (x) 在在 x0 处可以没有定义处可以没有定义( (如例如例 3) ) . ( (2) ) 函数函数 f (x) 在在 x0 处虽然有定义，且在处虽然有定义，且在 x0 处有极限，处有极限， 但两者不等，但两者不等， . )5()()(lim 0 0 如如例例即即xfxf xx ( (3) ) 函数函数 f (x) 在在 x0 处有定义，也有极限且两者相等处有定义，也有极限且两者相等 . 定理定理 若若 x x0 ( (或或 x ) )时时，函数函数 f ( x
30、)的极限存在的极限存在, 则函则函 数数 f ( x ) 在在 x0 的一个空心小邻域内的一个空心小邻域内( (或或 | x | 充分大范围内充分大范围内) )有界有界. 三、无穷大量三、无穷大量 若函数若函数 y = f ( x ) 的绝对值的绝对值 | f ( x )| 在在 x 的某种趋向下无限增大的某种趋向下无限增大，则称则称 y = f ( x ) 为在为在 x 的这种趋向下的无穷大量的这种趋向下的无穷大量，简称为无穷大简称为无穷大. 当当 x x0 时，时， f ( x ) 为无穷大量，为无穷大量， 记作记作 ,)(lim 0 xf xx .)(lim xf x 当当 x 时，时，
31、 f ( x ) 为无穷大量，为无穷大量， 记作记作 若在若在 x 的某种趋向下，的某种趋向下，f ( x ) 恒正地无限变大，恒正地无限变大， 或者恒负，但绝对值无限或者恒负，但绝对值无限 变大，则记为变大，则记为 . )(lim )(lim )()( 00 + + xfxf x xx x xx 或或 有时，所研究的无穷大量具有确定的符号，有时，所研究的无穷大量具有确定的符号， 第一章函数极限连续 第三节极限运算 一、无穷小量及其运算 二、极限的运算法则 三、两个重要极限 一、无穷小量及其运算 若函数 a = a (x) 在 x 的某种趋向下以零为极限， 则称函数 a = a (x) 为 x
32、 的这种趋向下的无穷小量，简称为无穷小. 例如，函数 a (x) = x x0，当 xx 0 时，a (x)0， 所 以 a ( x ) = x x 0 是 当 x x 0 时 的 无 穷 小 量 . , 2 1 )( x x a a又又如如 它 是 当 x 时 的 无 穷 小 量 . )1()( aax x a a而而 是 当 x + 时 的 无 穷 小 量 . 定理 1若函数 y = f( x ) 在 x x0 (或 x )时的极限为 A，则 f ( x ) = A + a ( x )(简记 y = A + a )， 定理 2有限个无穷小(当 x x0 或 x 时)的代数和仍然是无穷小量
33、. . 0)(lim 0)(lim 0 ) )或或( ( xx xxx a aa a其其中中 反之若 ，)()(xAxfa a+ + ，) )( (0)(lim 0)(lim 0 xx xxx a aa a其中其中 则 A 为 f(x) 的极限，).)(lim()(lim 0 AxfAxf xxx 或即即 定理 3有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量. 证设函数 f (x) 有界. | f (x) | M . 又 a (x) 是无穷小量，即 | a (x) | e (e 为任意小的正数)，则 | a (x) f (x) | = | a (x) | | f (x) | M (M 0) 时， 0 x
34、 有 则 O x R A B C .1 sin lim 0 x x x 证证明明 证 AOB 面积 扇形AOB 面积 M，M 0 时 )， 满足 u ( x ) v ( x ) 或 u ( x ) M, M 0 时)，f ( x ) 0(或 0)， lim f ( x ) 0 (或 0). 则 则 . 1 1 的的极极限限存存在在证证明明数数列列 + + n n n u 2.第二个重要极限 . e 1 1lim + + x x x 定理 8单调有界数列必有极限 . 证因为由 nn n nn nnnn n nn n n n u + + + + + + + + + + + 1 ! ) 1() 1(
35、1 ! 2 ) 1(1 ! 1 1 1 1 2 2 1 1 1 ! 3 11 1 ! 2 1 2+ + + + + + nnn , 1 1 2 1 1 1 ! 1 + + n n nnn 例 . 1 1 1 2 1 1 1 1 )!1( 1 1 1 1 1 1 1 ! 1 1 2 1 1 1 1 ! 3 1 1 1 1 ! 2 1 2 1 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + n n n nnn n nn nnn un 由此可知，un+1 的前 n 项不小于 un 的相应项， 而且 un + 1 比 un 的展开式
36、, 1 1 1 2 1 1 1 1 )!1( 1 + + + + + + + + n n n nn 还多一个正项还多一个正项 所以 un+1 un. 因此un 是单调递增数列. 此外，由 un 的展开式可得 所以 un 是有界数列. 综上所述，un 是单调有界数列，因此极限存在. ! 1 ! 3 1 ! 2 1 2 1 1 nn u n n + + + + + + + 2 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 11 12 + + + + + + + + n n . 3 2 1 3 1 n 我们还可以证明， , 1 1)(时时当当函函数数 + + x x xf x 时，时，当当或者或者
37、 0 )1()( 1 + + xxxf x都有极限，且 ， n n x x x x n x x + + + + + + 1 1lim)1(lim 1 1lim 1 0 人们记这个极限为数 e，于是有 .e)1(lim 1 1lim 1 0 + + + + x x x x x x 数 e 是一个无理数， 它的近似值可由 n n + + 1 1 展开式中取前若干项计算， 以 e 为底的指数函数 y = ex 的反函数 y = logex，叫做自然对 数，在工程技术中经常被运用，常简记为 y = ln x. 它的前八位数是 e = 2.718 281 8 . 1 1lim 2 x x x + + 计
38、计算算 解因为 ， 1 1 1 1 2 1 2 + + + + x x xx ，且且e 1 1lim + + x x x 所以，有 2 1 2 1 1lim 1 1lim + + + + x x x x xx .e 1 1lim 2 12 1 + + x x x 例 14 ( () ).1lim 2 0 x x x 计计算算 例 15 解方法一令 u = -x， 因为 x 0 时 u 0， ( () ) u u x x ux 2 0 2 0 )1(lim1lim + + 2 10 )1( 1 lim + + u u u . e 1 2 所以 方法二掌握熟练后可不设新变量 ( () ) 2 )
39、1 ( 0 2 0 )(1lim1lim + + x x x x xx 2 ) 1 ( 0 )(1lim + + x x x . e 1 2 . )1ln( lim 0 x x x + + 计计算算 例 16 解 ， )1ln(lim )1ln( lim 1 00 x xx x x x + + + + 则当 x 0 时，u e， .1 )1ln( lim 0 + + x x x ，令令 x xu 1 )1( + + 所以原式 = 1，即 . 1e lim 0 x x x 计计算算 例 17 解令 u = ex - 1 ，则 x = ln(1 + u)， 当 x 0 时 u 0. .1 )1ln
40、( lim 1e lim 00 + + u u x u x x .1 1e lim 0 x x x 所以 . 3 2 lim 2+ + x x x x 计计算算 例 18 解因为 . 3 1 1 3 )1(3 3 2 + + + + xx x x x 所以令 u = x - 3 ，当 x 时 u ， 5 1 1lim 3 2 lim + + + + u u x x ux x . e1e 1 1 1 1lim 5 + + + + uu u u 因此 .)21(lim 1 0 x x x+ + 计计算算 例 19 解 2 2 1 0 1 0 )21(lim)21(lim + + + + x x x
41、 x xx .e 2 第一章函数极限连续第一章函数极限连续 第四节无穷小量的比较第四节无穷小量的比较 定义定义设设 a a ( x ) 和和 b b ( ( x ) 为为( ( x x0 或或 x ) ) 两个无穷小量两个无穷小量. 若它们的比有非零极限若它们的比有非零极限， c x x )( )( lim b b a a ， )0( c 若若 c = 1，则称则称 a a ( x ) 和和 b b ( (x ) 为等价无穷为等价无穷 小量小量， 则 称则 称 a a ( x ) 和 和 b b ( ( x ) 为 同 阶 无 穷 小 为 同 阶 无 穷 小 . 并记为并记为a a ( x )
42、 b b ( ( x )，( ( x x0 或或 x ) ) . 即即 例如，在例如，在 x 0 时时 sin x 和和 5 x 都是无穷小量，都是无穷小量， 且且 . 5 1 5 sin lim 0 x x x 所以当所以当 x 0 时，时，sin x 和和 5 x 是同阶无穷小量是同阶无穷小量. 又如，因为在又如，因为在 x 0 时，时， x ，sin x，tan x， 1 - - cos x，ln(1 + + x) 等都是等都是 无穷小量无穷小量. , 1 sin lim 0 x x x , 1 tan lim 0 x x x , 1 2 1 cos1 lim 2 0 x x x . 1
43、 )1ln( lim 0 + + x x x 所以，当所以，当 x 0 时，时， x 与与 sin x， x 与与 tan x， 都是等价无穷小量，都是等价无穷小量，),cos1( 2 1 2 xx 与与 x sin x，x tan x，ln(1 + x) x. , 2 cos1 2 x x 即即 x 与与 ln(1 + x ) 并且并且 定义定义设设 a a ( x ) 和和 b b ( (x ) 为为 x x0 ( (或或 x ) ) 时的无穷小量时的无穷小量， 0 )( )( lim x x b b a a 则称当则称当 x x0 ( (或或 x ) )时时，a a ( x ) 是是 b
44、 b ( ( x ) 的的高阶无穷小量高阶无穷小量， 例如，例如， x2, sin x 都是都是 x 0 时的无穷小量时的无穷小量, 且且 ， 0 sin lim 2 0 x x x 所以，当所以，当 x 0 时，时， x2 是是 sin x 的高阶无穷小量，即的高阶无穷小量，即 x2 = o(sin x). 或称或称 b b ( ( x ) 是是 a a ( x ) 的的低阶无穷小量低阶无穷小量，记为记为 a a ( x ) = o (b b ( ( x ) . 若它们的比的极限为零若它们的比的极限为零，即即 定理定理 1设设a a ( x ) a a1(1( x )，b b ( x ) b
45、 b1(1( x )， )( )( lim )( )( lim 1 1 x x x x b b a a b b a a . )( )( lim x x b b a a 或或 )( )( lim 1 1 x x b b a a 且且存在存在( (或无穷大量或无穷大量) )， )( )( lim x x b b a a 则则 也存在或也存在或( (无穷大量无穷大量) )，并且并且 ，和和1 )( )( lim 1 )( )( lim 11 x x x x b b b b a a a a 证证 由定理条件可知由定理条件可知 因此有因此有 )( )( )( )( )( )( lim )( )( lim
46、 1 1 1 1 x x x x x x x x b b b b b b a a a a a a b b a a )( )( lim )( )( lim )( )( lim 1 1 1 1 x x x x x x b b b b b b a a a a a a . )( )( lim 1 1 x x b b a a ，那么考虑，那么考虑若若0 )( )( lim )( )( lim 1 1 1 1 x x x x a a b b b b a a 即可仿上面的证法即可仿上面的证法 . . 1e )1ln( lim 0 + + x x x 计算计算 例例 1 解解因为因为 x 0 时，时， ln
47、(1 + x) x，ex - - 1 x， 所以所以 .1lim 1e )1ln( lim 00 + + x xx x x x . 3 5tan lim 0 x x x 计算计算 例例 2 解解因为因为 x 0 时，时， tan 5x 5x， 所以所以 . 3 5 3 5 lim 3 5tan lim 00 x x x x xx . sin sintan lim 3 0 x xx x 计算计算 例例 4 解解 . sin cos cos1 sin lim sin sintan lim 3 0 3 0 x x x x x xx xx x x x xx 2 00 sin cos1 lim cos
48、1 lim . 2 1 2 1 lim1 2 2 0 x x x 若直接用若直接用 x 代替代替 tanx 及及 sinx， . 0lim sin sintan lim 3 0 3 0 x xx x xx xx 因为，虽然因为，虽然 tanx x，sinx x ，但，但 tanx - - sinx 0 则不成立，因此，这里则不成立，因此，这里 用用 0 代替代替 tanx sinx 是错误的是错误的. 是错误的是错误的. 则则 第一章函数极限连续第一章函数极限连续 第五节函数的连续性第五节函数的连续性 一、连续函数的概念一、连续函数的概念 二、连续函数的基本性质二、连续函数的基本性质 三、闭区
49、间上连续函数的性质三、闭区间上连续函数的性质 四、函数间断点及其分类四、函数间断点及其分类 一、连续函数的概念一、连续函数的概念 定义定义 1设函数设函数 y = f (x) 在在 x0 的一个邻域内有定义的一个邻域内有定义， . )()(lim 0 0 xfxf xx 则称函数则称函数 y = f ( x ) 在在 x0 处处连续连续，或称或称 x0 为函数为函数 y = f (x) 的连续点的连续点 . 且且 记记 x = x - - x0，且称之为自变量且称之为自变量 x 的改变量或增量的改变量或增量， 记记 y = f (x) - - f (x0) 或或 y = f (x0+ + x)
50、 - - f (x) 称为函数称为函数 y = f (x) 在在 x0 处的处的 增量增量. 那么函数那么函数 y = f (x) 在在 x0 处连续也可以叙述为处连续也可以叙述为： 定义定义 2设函数设函数 y = f (x) 在在 x0 的一个邻域内有定义的一个邻域内有定义， 如果如果 .0lim 0 y x 则称函数则称函数 y = f (x) 在在 x0 处处连续连续. 若函数若函数 y = f (x) 在点在点 x0 处有处有： ，或或 )()(lim )()(lim 00 00 xfxfxfxf xxxx + + 则分别称函数则分别称函数 y = f (x) 在在 x0 处是处是左
