1、新人教版高中数学优质公开课精品教案及点评资料 二项式定理（一二项式定理（一） 教学设计教学设计 贵州省铜仁第一中学贵州省铜仁第一中学沈沈 XXXX 一、教学内容解析一、教学内容解析 1.3.1 二项式定理是普通高中课程标准实验教科书-数学选修 2-3 第一章第 三部分第一节的内容，这节课内容上只有一个二项式定理但它却是前面内容的继续，也 是后面内容的开始。在计数原理之后学习二项式定理，一方面是因为它的证明要用到计 数原理，可以把它看做为计数原理的一个应用。另一方面也是为后面学习随机变量及分 布做准备。 二项式定理具有较高应用价值和思维训练价值,不仅能解决某些整除性、近似计算 问题的一种方法，并
2、能解释集合的子集个数问题；再者，二项式定理不仅仅是初中多项 式乘法的拓展， 它又是学生进一步学习数学分析中函数级数展开式的一个特例，在组合 理论、开高次方、高阶等差数列求和中有广泛的应用，因此这节课在高中数学中有 着十分重要的作用。通过本课的教学，进一步提高学生的归纳演绎能力，让学生感受体 验数学的简洁美、和谐美和对称美。 教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，二项式系数的性质等通过 二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近 似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学 生正确情感、态度和世界观的培养和形成。 二项式
3、定理本身是教学重点，因为它是后面各种应用的基础通项公式，二项式系 数的性质，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点。 二项式定理的证明是一个教学难点这是因为证明中符号比较抽象、需要恰当地运 用组合数的性质。 二、学情分析二、学情分析 学生已经学习了计数原理、排列组合及合情推理的相关知识，已经具备了一定的归 纳演绎和分析事件方法种数的能力。但是学生对数学严谨性的把握还不够，研究问题的 方法和能力有待提高，有些学生容易粗心，对细节知识的把握还不够好。本节课二项式 定理的推导运用了先猜想后证明，由特殊到一般的研究问题的思想方法。因此本堂课采 新人教版高中数学优质公开课精品教案及点评资料 用小组
4、讨论学习，让学生在相互讨论的过程中直接或间接地感受和体验知识的产生、发 展和演变过程，提高学生分析解决问题的能力。 在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生 活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造 意识，以使他们能在再创造的氛围中学习。 三、教学目标设置三、教学目标设置 1.1.知识技能目标知识技能目标 （1）理解二项式定理是代数乘法公式的推广。 （2）理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理。 （3）掌握对简单的二项式进行展开，能够对项的系数与二项式系数进行区分，并 能求出指定项。 2.2.过程与方法目标过程与方
5、法目标 通过学生经历二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、归纳的能力，以及化 归的意识与方法迁移的能力，体会归纳猜想论证的思想方法,发展探究能力。 3.3.情感、态度、价值观目标情感、态度、价值观目标 培养学生自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学 语言的简捷和严谨。 四、教学重点、难点四、教学重点、难点 重点：重点：用两个计数原理分析 3 )(ba 的展开式得到二项式定理；掌握二项展开式的 通项公式；能应用它解决一些简单问题。 难点：难点：用两个计数原理分析推导 3 )(ba 的展开式；用两个计数原理证明二项式定 理。 五、五、教学过程教学过程 新人教版高中数学
6、优质公开课精品教案及点评资料 教 学 程 序 问题 设 计 意 图 师 生 活 动 创 设 问 题 情 境 引 入 新 课 引出问题：如果今天是星期五，14 天后 的这一天是星期几呢？23 天后的这一天 呢？ 师生归纳：比如 23=73+2，所以 23 天 后是星期日。 算法：用各个数除以 7，看余数是多少， 再用五加余数来推算 师： 再过 8 2016天后是星期几， 你知道吗？ 不方便求出 8 2016除以的余数，可以利用 8=7+1，得到 8 2016=(7+1)2016=? 如果不用计算器的话,此时就需要研究 * ()?() n abnN 提 出 问 题激发学生 探索欲望， 并 引出课题
7、 让 学 生 用 计 算 器 计 算 从特殊开始 由(a+b) 1=a+b (a+b) 2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2; (a+b) 3=(a+b)2(a+b)=? 结果： 33223 ()33abaa babb 体 会 多 项式乘法计 算过程,加深 对因式展开 原理的理解。 与 学 生 一同计算，得 到计算结果， 为 后 面 做 铺 垫。 探究一：通过组合思想来分析(a+b) 3的 展开式)()()( 3 babababa展开后 项的形式为： 3223 ,babbaa 项的系数，考虑b， 3 a： 每个都不取b的情况有 1 种， 即 0 3 C, 则 3 a前的系数为 0 3
8、C ba 2 ： 恰有1个取b的情况有 1 3 C种， 则 ba 2 前的系数为 1 3 C 2 ab：恰有 2 个取b的情况有 2 3 C种，则 2 b前的系数为 2 3 C 3 b： 恰有 3 个取b的情况有 3 3 C种， 则 3 b 前的系数为 3 3 C所以 33 3 22 3 21 3 30 3 3 )(bCabCbaCaCba 考 察 学 生对因式展 开的各项形 式及系数的 理解。 学 生 说 出 自 己 的 思 路，老师做分 析 与 讲 解 为 后 面 猜 想 做 铺垫。 新人教版高中数学优质公开课精品教案及点评资料 探究二：观察展开式中的项数、指数变 化以及系数变化，你发现了
9、什么？由此猜想 （a+b） 4 ,(a+b)n的展开式中项数，指数变 化及系数变化又如何呢？并试着写出他们的 展开式。 回答： 404132223344 44444 ()abC aC a bC a bC abC b 011 ()n nnrn rr nnn abC aC abC ab * () nn n C bnN 让 学 生 通过特例去 观察相同之 处与不同之 处， 以及不同 之处的处理 方法， 从而提 出猜想。 学 生 先 观 察 总 结 特 点： 1. 项 数 是指数加 1； 2.字母 a 按降幂排列， 字母b按照升 幂排列，二者 指 数 之 和 是 二项式指数； 3、每一项的 系 数 有
10、 上 面 的 问 题 2 给 出，这很好的 突 破 了 本 节 的难点。 探究三： 对于猜想 01122 2 (). nnnn nnn a bCaCa b Ca b . rn rrnn nn C abC b 我们如何进行证明 呢？ 证明： n ba)( 是 n 个)(ba相乘，每个 )(ba在相乘时，有两种选择，选 a 或选 b， 由分步计数原理可知展开式共有 n 2项（包括 同类项） ， 其中每一项都是 rrn ba ), 1 , 0(nr 的形式，对于每一项 rrn ba ，它是由 r 个 )(ba选了 b，nr 个)(ba选了 a 得到的， 它出现的次数相当于从n个)(ba中取r个b 的
11、组合数 r n C，将它们合并同类项，就得二项 展开式，这就是二项式定理 让 学 生 体会利用组 合思想从特 殊到一般， 对 猜想给出严 谨的证明过 程。 并理解如 何用“说理” 的方式阐述 证明过程。 师 生 讨 论证明思路， 通过 阅 读 课 本 上 的 证 明 过程，老师最 后 做 出 方 法 归类，提示学 生 证 明 的 思 路。并留下课 下 演 练 二 项 式 定 理 的 数 学 归 纳 法 证 明。 新人教版高中数学优质公开课精品教案及点评资料 思 考 观 察 学 习 新 课 观察二项展开式中的项数、指数以及系 数有何特点，谁最具代表性？ (1)项：二项展开式共有1n项； (2)次
12、数：各项的次数都等于 n； 字母 a 按降幂排列，次数由 n 递减到 0； 字母 b 按升幂排列，次数由 0 递增到 n (3)二项式系数：), 2 , 1 , 0(nkC k n (4)二项展开式的通项： 1k T= kknk n baC 考 察 学 生的观察力， 以及分析问 题的能力。 学 生 继 续 总 结 这 三 点，以强化已 有的认识，同 时老师强调： 二项式系数， 与 二 项 展 开 式 系 数 的 区 别。 特殊的情况 1.用-b 代替 b. 写出（） n ab的展开式 2.令 a=1,b=2x. 写出 5 12x（）的展开式 对 二 项 式定理的简 单应用， 同时 也是告诉学
13、生二项式定 理在解决问 题时的方法： 赋值或是赋 表达式。 学 生 自 主完成，老师 进行检查，通 过 投 影 仪 将 学 生 的 结 果 进行展示，错 误 时 做 出 点 拨与分析。 破 解 疑 惑 今天是星期五, 再过 8 2016 天后是星期 几，你知道吗？ 20162016 8(7 1) 0 2016 20167C 1 2015 20167C 2015 20167C 2016 2016C 0 2015 2016 7(7 C 1 2014 20167C 2015 2016)C 1 即 8 2016除以 7 余数是 1。 故再过 8 2016天后的那一天是星期六。 破 解 疑 惑让学生感
14、受计算的简 单与快捷， 增 强对数学学 习的热情， 学 生 提 出解决思路， 老 师 点 评 分 析，怎么才能 被7整除好计 算呢?联想二 项 式 定 理 的 表达形式，问 题得到解决， 留 为 课 下 计 算。 精 讲 精 析 巩 固 新 再探索对于 5 12x（）的展开式 思考 1： 展开式的第2 项的系数是多少？ 思考 2：展开式的第 2 项的二项式系数 是多少？ 思考 3：你能否直接求出展开式的第 2 熟 悉 二 项式定理， 以 及对二项式 系数， 展开式 系数，以及 x 的系数问题 教 师 板 演过程，给学 生以示范，为 后 面 步 骤 的 整洁做铺垫。 新人教版高中数学优质公开课精
15、品教案及点评资料 知项？的理解与记 忆。 反 馈 练 习 课堂练习 1、求 6 (2)xy的展开式的第三项 2、求 6 (2 )yx的展开式的第三项 熟 悉 二 项式定理， 二 项式系数， 二 项展开式系 数， 以及通项 的初步应用， 理解二项式 展开式的项 的顺序。 学 生 自 主练习，反馈 教学效果，老 师 巡 视 做 个 别辅导。 课 堂 小 结 本节课你学习了什么知识，他是怎么得 到的呢？在学习这部分知识时要注意什么 呢？ 让 学 生 回顾本节要 点， 观察学生 掌握情况。 学生说， 教 师 课 件 演 示，并强调： 二 项 式 系 数 与 二 项 展 开 式 系 数 的 区 别。 布
16、 置 作 业 课本 37 页 习题 1.3 A 组 2、4 课后探究：用数学归纳法证明二项式定 理 让 学 生 巩固本节课 的所学内容 和知识。 六、板书设计六、板书设计 1.3.1 二项式定理 )()( *110 NnbCbaCbaCaCba nn n rrnr n n n n n n (1)项：二项展开式共有1n项； (2)次数：各项的次数都等于 n； 字母 a 按降幂排列， 次数由 n 递减到 0；字母 b 按升幂排列，次数由 0 递增到 n (3)二项式系数：), 2 , 1 , 0(nkC k n (4) 二 项 展 开 式 的 通 项 ： 例题 1 例题 2 练习 1 练习 2 作业：课本 37 页 习题 1.3 A 组 2、 4 课后探究：用数学归纳法证明二项式 定理 （根据课堂教学活动的推荐，反复使 新人教版高中数学优质公开课精品教案及点评资料 1k T= kknk n baC 用。 ）
