1、新人教版高中数学优质公开课精品教案及点评资料 课题：导数的概念课题：导数的概念 授课教师：深圳市布吉中学 田 XX 一、教学内容解析一、教学内容解析 导数的概念是选修 2-2第一章第 1.1 节中第 1.1.2 小结的内容，是高中数学 的一节概念课.数学学习离不开推理，推理离不开判断，而判断是以一切概念为基础的. 因此，数学教师必须要重视概念的教学. 纵观导数及其应用这章内容，导数以高起点，高观点和更一般的方法简化了中 学数学中许多与函数相关的问题.导数的出现也为我们今后微积分的发展提供了方法和 工具， 从而使得它在其它学科领域也有了广泛的应用.但我们又不能将导数作为一种规则 和步骤来学习，否
2、则，学生很难体会导数的思想及其内涵，这样导数概念的学习就至关 重要. 一般地，导数概念学习的起点是极限，但就高中学生的认知水平而言，他们很难理 解极限的形式化定义.因此， 我们对导数概念的引入从变化率入手， 用形象直观的 “逼近” 方法定义导数. 我们将导数概念的建立分为两个阶段，在明确瞬时速度含义的基础上，将瞬时速度 一般化，即抽象为一般的函数，从而形成导数的概念. 第一阶段： 明确瞬时速度的含义及平均速度与瞬时速度的区别和联系.让学生在观察 实验的同时，体会当|t变小，趋于0时， t s 趋于一个定值，这个定值就是瞬时速度. 在经历平均速度到瞬时速度的过程中，第一次体会逼近的数学思想. 第
3、二阶段，将平均速度和瞬时速度抽象为一般的表达式，完全转化为数学问题，在 揭示研究瞬时变化率必要性的同时，用类比的思想方法，经历从平均变化率到瞬时变化 率的过渡，再次体会逼近的思想方法.最后，建立导数的概念. 因此，根据以上对教学内容的分析，确立本节课的教学重点：在充分经历导数概念 的建立过程中，体会逼近的数学思想，理解导数的思想及其内涵. 二、教学目标二、教学目标 1.在导数概念建立的过程中，引导学生通过观察、数值逼近、几何直观感受、解析 式抽象、类比等方法体会数学概念的发生和形成. 2.理解导数的概念，初步掌握导数的计算方法，并在具体数学问题中进一步理解导 数的概念. 新人教版高中数学优质公
4、开课精品教案及点评资料 3.通过对瞬时速度、瞬时变化率的探索，激发学生对本部分内容学习的兴趣. 三、学生学情分析三、学生学情分析 1.导数是对变化率的一种“度量”.实际生活中，学生最为熟悉的一种变化率就是物 体的运动速度.学生在 1.1.1 小结学习了导数的物理意义，掌握了变化率，在高一年级的 物理课程中学习过瞬时速度，因此，学生已经具备了一定的认知基础，他们不会对新知 识感到无所适从. 2.可能存在的问题： （1） “逼近”的思想对于学生而言，还是比较陌生，需要精心设 计教学活动，比如借助物理知识等，激发学生的兴趣，从学生已有的知识背景出发，帮 助学生经历从平均速度到瞬时速度，从平均变化率到
5、瞬时变化率的过渡.（2）使学生能 通过观察发现：运动的物体在某一时刻的平均速度在时间间隔越来越小时，逐渐趋于一 个不变的常数，而且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度.这个过程学生难以想象， 同时数值逼近的运算繁琐，但又不能采取简单的方式告知学生，而是要学生通过实际的 计算，在计算过程中，充分感知当|t趋于0时， t h 趋于一个定值；当|x趋于0时， x y 趋于一个定值.（3）在实际教学中，学生需要用到思想方法和表达形式的迁移，即 把从平均速度到瞬时速度过渡中所运用的“逼近”的思想方法迁移到从平均变化率到瞬 时变化率的过渡， 从对一个具体函数在一个确定点的瞬时变化率的表达式迁移到任意一 个
6、函数在任意一点的瞬时变化率的表达，这样的探究方法可能会导致学生的不适应而产 生困难. 因此，如何引导学生根据生活中具体的实例，结合已有的知识经验，通过“逼近” 的方法，由特殊到一般，用类比的方法归纳探究出导数的概念是本节课的难点. 四、教学策略分析四、教学策略分析 根据学生情况，为了完成本节课的教学目标，突破教学重难点，主要采取教师问题 引导，学生自主探究、归纳的教学方法.具体的策略有: 1.从具体到抽象的教学方法.学生由生活中的具体实例和已有的知识背景出发，历经 平均速度到瞬时速度的过渡，再把物体的运动变化量抽象为一般的函数，从而得到瞬时 变化率的概念. 2.从特殊到一般的教学方法.让学生在
7、知道2t是的瞬时速度以后， 直观地理解运动 员在任意时刻t的瞬时速度.同样，在学生探究出一个指定函数在某一点处的瞬时变化率 之后，可以归纳出一般函数在任意一点的瞬时变化率. 3.几何直观感受.通过几何画板的演示让学生形象的感知“逼近”. 新人教版高中数学优质公开课精品教案及点评资料 4.利用计算器进行分组合作，取不同的t，x，计算 t h 以及 x y 的值. 预 计 时 间 教 学 内 容 教师活动学生活动 教学 评价 1 5 分 钟 1 1 回回 顾顾 复复 习习 实实 例例 研研 究究 讲授：讲授：上节课我们通过气球膨胀率、高台跳水的 实例，建立起了平均变化率的概念.也请大家计算了高 台
8、跳水运动员在 49 65 0 t这段时间里的平均速度. 经过计算，大家发现运动员在 49 65 0 t这段时间 里的平均速度是 0.难道说运动员在这段时间是静止 的？ 显然，运动员在这段时间里不是静止的.由此可 见，用平均速度描述运动员的运动状态是有一定的局 限性.所以我们说“平均速度”只能粗略地描述运动员 的运动状态.还有一种速度，它能更精确地刻画运动员 在每个时刻的运动状态，我们称之为：瞬时速度. 那如何求运动员的瞬时速度呢？比如，高台跳水 运动员在st2时的瞬时速度是多少呢？大家有没有 好的想法？ 讲授：讲授：我们来看物理中测瞬时速度的小视频. 学生思考. 学 生 思 考 . 找不到好的
9、方法 来求运动过程中 的瞬时速度. 根据已有的 物理知识，学生 回答仪器是通过 测量气轨上滑块 组 织 学 生 讨 论、交流 计 算 结 果，激发 学生的求 知 欲 . 明 确本节课 的教学内 容. 平 均 速 度 为 0 ？ 通 过 计算结果 与学生的 认知产生 冲突. 在 实 例 观 察 中，感受 逼近的思 新人教版高中数学优质公开课精品教案及点评资料 问：问：观看的时候思考仪器在测量瞬时速度时的工 作原理是什么？ 问：问：这里所得的真是瞬时速度吗？为什么？ . 问问：对，也就是我们很难测量到真正的瞬时速度， 我们测量到的是千分之一，万分之一秒，以致更短时 间间隔内的平均速度. 那如何使得
10、平均速度更接近瞬 时速度呢？ 讲授：讲授：对.那如果我们想求高台跳水运动员在 st2时的瞬时速度，就考察st2附近的情况，在 2t之前或者之后， 任意取一个时刻t2.t可以是 正直，也可以是负值，但不为0当t取不同值时，计 算平均速度 t hth t h v )2()2( . 我们先看运动员在2 ,2t内的平均速度.请看 表格： 2+ t,2 t0 平均速 度 2,2.1 0.1 -13.14 9 2,2.0 1 0.01 -13.10 49 2,2.0 01 0.00 1 -13.10 049 2,2.0 001 0.00 01 -13.10 0049 2,2.0 0001 0.00 001
11、 -13.10 00049 1.99 99,2 -0.0 001 -13.0 99951 1.99 999,2 -0.0 0001 -13.0 999951 1.99 9999,2 -0.0 00001 -13.0 9999951 1.99 99999,2 -0.0 000001 -13.0 9999995 答：答：当t趋 近于0时，从 2 的左边接近2时， 平均速度趋于一 个 确 定 的 值 1 .13. 学生回答. 学生分组合 作，思考、计算、 讨论. 学生总结计 算结果. 让 学生熟悉 符号，在 亲自计算 的过程中 感受逼近 的思想. 从 特 殊 到 一 般，让学 生直观地 理解运动 员
12、在任意 时 刻t的 瞬 时 速 新人教版高中数学优质公开课精品教案及点评资料 2,2.0 00001 0.00 0001 -13.10 000049 2,2.0 000001 0.00 00001 -13.10 000005 大家有发现了什么特点？ 通过这两个表格的对比，你们发现了什么？ 对，当t趋近于 0 时，即无论从2的左边，还是 右边，趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值 1 .13.我们就把1 .13 讲授：讲授：我们用这个方法得到了高台跳水运动员在 st2附近，平均速度逼近一个确定的常数.那其他时 刻呢？比如st5 . 2、st3等？ 请大家按照刚才我们探究st2时的过程，用你
13、手中的计算器，分别计算st5 . 2、st3这两个时刻 附近的平均速度.请两个同学把小组计算出来的数据 输入 Excel 表格. st5 . 2附近的平均速度变化： st3附近的平均速度变化： 度. 新人教版高中数学优质公开课精品教案及点评资料 讲授：经过以上三个时刻的计算，大家都发现： 当时间间隔很小，也就是当两个时间的端点无限靠近 时，就逼近了一个时刻，我们就把平均速度用为瞬时 速度的近似值. 之前我们在学习函数零点的时候，利用“二分法” 逼近函数零点. 今天，根据上面的讨论，我们又用平 均速度逼近了瞬时速度，这都体现了我们数学中无限 逼近的思想. 1 0 分 钟 讲授：讲授：对于高台跳水
14、运动员的运动时刻，我们有 这样的结论，那其他运动会吗？如果我们把运动员的 运动变化抽象为一个函数， 也有这样的结论吗？其实， 物体的运动变化量可以抽象成一个函数( )yf x，这 样我们用到的 t h 就可以用一个跟为一般烦人表达式 y x 来表达， 而 y x 就是我们上节课所学的平均变化率. 我们可以用它来刻画一个函数在某个区间的变化趋 势. 问：问：那如何更好地刻画一个函数的变化趋势呢？ 为了探讨这个问题，我们来做这样的两个实验活 这 个 计算与学 生的认知 发生了冲 新人教版高中数学优质公开课精品教案及点评资料 成成 概概 念念 动： 实验活动实验活动 1： 求函数求函数yx， 2 y
15、x，yx从从0到到 1的平均变化率？的平均变化率？ 问：问：是不是这三个函数在 0 到 1 的变化趋势是一 样的呢？ 讲授：讲授：由此可见，正如平均速度只能粗略反映物 体在某个时间段的运动状态，而要想更为精确的刻画 物体在某个时刻的运动状态，我们只能通过瞬时速度. 由此类比，对于函数来说，平均变化率也只能粗略的 描述函数的变化趋势，那如何精确的描述函数的变化 呢？ 问：问：那如何求函数在某一点处的瞬时变化率呢？ 讲授：讲授：下面我们就做另一个实验活动，看一下， 当x缩短时， 平均变化率发生了什么样的变化？请大 家分组合作. 实验活动实验活动 2：已知函数：已知函数 2 ( )f xx，分别计算
16、，分别计算 f(x) 在下列区间上的平均变化率：在下列区间上的平均变化率： 结论：结论： 答：答：根据平 均变化率的公式 21 21 ()( )yf xf x xxx 计算得这三个 函数在同一个变 化区间上平均变 化率都是1. 但根据图像 发现这三个函数 在 0 到 1 的变化 趋势是不一样的. 答答： 瞬时变 化率. 答：答：把区间 x缩短. 突。同时 也让学生 认识到平 均变化率 只能粗略 的描述函 数的变化. 由 上 面从平均 速度到瞬 时速度的 过渡，由 对瞬时速 度的形成 和理解， 学生很容 易联想到 可以用一 个词，叫 做“瞬时 变化率” 。 用它可以 精确的描 述函数在 某一个点
17、 的变化趋 势.这体现 了类比的 思想方法. 新人教版高中数学优质公开课精品教案及点评资料 用几何画板演示：用几何画板演示： 讲授讲授：我们就把 2 记作是 2 ( )f xx在1x 处的瞬 时 变 化 率 ， 用 数 学 语 言 表 达 就 是 0 (1)(1) lim2 x fxf x . 讲授：讲授：这样，我们就实现了从平均变化率到瞬时 变化率的过渡.得到了一个具体函数 2 ( )f xx在1x 处的瞬时变化率.问：问：那对于任意一个函数( )f x在 0 xx处的瞬时变化率该怎么表示？ 讲授讲授：一般地，函数( )yf x在 0 xx处的瞬时变 化率是 ： 00 0 ()() lim
18、x yf xxf x xx 我们称它为函数( )yf x在 0 xx处的导数， 记作 0 ()fx或 0 |yxx。即： 00 0 0 ()() ()lim x yf xxf x fx xx 瞬时变化率和导数是同一个概念的两个名称。 学生分组合 作，计算结果， 得出结论.要求一 个 小 组 展 示 成 果，表达对结果 的看法. 经过计算， 学生会发现当两 个区间的端点无 限靠近，即x逼 近0时， 平均变化 率都逼近一个确 定的值2， 即瞬时 变化率. 自己尝试来 写. 学生自己归 纳总结.体会由特 殊到一般的思想 方法 学 生 在上一个 问题中遇 到了认知 冲突，希 望寻求新 的认知来 解决这
19、个 冲突。老 师提出的 这个实验 活动引导 学生通过 计算，自 主探究， 使得获得 新知的过 程自然而 然。 引 导 学生舍弃 具体问题 的实际意 义，完全 抽象为数 学问题.在 函数知识 的 迁 移 下，学生 能顺利地 新人教版高中数学优质公开课精品教案及点评资料 表示出一 般函数： ( )yf x 在 0 xx 处的瞬时 变化 率. 7 分 钟 3 3 概概 括括 提提 升升 理理 解解 内内 涵涵 问问：)( 0 xf，)( 0 x f ， 0 |yxx，这三个符号分别 是什么意思？ 问问：至此，导数的定义就完全展现给大家了.那我 们如何求一个具体问题的导数呢？计算课本第六页的 例 1.
20、 答答：)( 0 xf是 函 数)(xf在 0 xx 处的函数 值， )( 0 x f 或 0 |yxx是函数 )(xfy 在 0 xx 处的导数. 计算例 1， 在 第h3和第h5时， 原油温度的瞬时 变化率，并说明 他们的意义. 认 识 符号，从 函数的角 度出发， 找到这三 个符号的 区别和联 系. 熟 悉 导数的定 义，进一 步巩固导 数的计算 方法. 8 分 钟 4 4 梳梳 理理 知知 识识 问：问： 1.为什么要研究平均变化率和导数？ 2.导数形成的过程是什么？从中学到了什么方 法？ 3.求导数的依据是什么？步骤是什么？ 4.布置作业. 学生和老师 共同回答. 整 理 本节所学
21、的核心概 念、基本 技能，概 括研究方 法以及其 中蕴含的 新人教版高中数学优质公开课精品教案及点评资料 布布 置置 作作 业业 （1）教科书习题 1.1A 组第 2、3、4、5 题； （2）求函数 2 )(xxf在1x处的导数. （3）结合课本第 4 页的“思考” ，以及本节课用 到的几何画板演示，思考导数的几何意义. 讲授：讲授：经过我们的探究，我们从生活中的实例到 具体的函数，由特殊到一般，运用类比的思想方法， 由平均速度逼近瞬时速度，再由平均变化率逼近了瞬 时变化率，从而得到了函数在某一点处的导数。导数 的思想方法就是通过函数在某一点附近的变化状态， 揭示这一点处的变化状态，也揭示函数的本质。 数学思想.
