1、新人教版高中数学优质公开课精品教案及点评资料 教材：人教教材：人教 A 版高中数学必修版高中数学必修 4 课题：2.1 平面向量的实际背景及基本概念 授课教师：安徽省合肥市第一中学授课教师：安徽省合肥市第一中学刘刘 XX 一一. 教学内容解析教学内容解析 向量是近代数学重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的桥 梁，对更新和完善中学数学知识结构起着重要的作用. 向量集数与形于一身，有着极其 丰富的实际背景，在现实生活中随处可见的位移、速度、力等既有大小, 又有方向的量 是它的物理背景， 有向线段是它的几何背景.向量就是从这些实际对象中抽象概括出来的 数学概念，经过研究，建立起完
2、整的知识体系之后，向量又作为数学模型，广泛地应用 于解决数学、物理学科及实际生活中的问题，因此它在整个高中数学中起到联系数形、 跨越学科、承前启后的作用. 本课是“平面向量”的起始课，具有“统领全局”的作用. 本节概念课，更为重要 的不是向量的形式化定义及几个相关概念，而是能让学生去体会认识与研究数学新对象 的方法和基本思路，进而提高提出问题，分析问题，解决问题的能力. 本节课主要内容包括向量的物理背景与概念，向量的表示，相等向量与共线向量. 二二. 教学目标设置教学目标设置 1. 了解向量的实际背景； 2. 理解平面向量、平行向量、相等向量、共线向量的概念，掌握向量的几何表示； 3. 经历平
3、面向量及其相关概念的形成过程，初步体会学习新概念的基本思路 三三. 学生学情分析学生学情分析 从学生已经学习过的知识中看，他们已经掌握了数的抽象过程、实数的绝对值 （线段的长度） 、单位长度、0 和 1 的特殊性. 还有学生在物理学科中已经积累了足够多 的向量模型，并且在三角函数线部分内容的学习中（必修 4 任意角的三角函数、三角函 数的图象与性质）已经接触到有向线段的概念，从而为本节课的学习提供了知识准备. 从学生现有的学习能力看，学生已经具备了一定的抽象概括的能力，因此，可 以尝试让学生从实际背景中抽象并概括出向量的概念. 学生在学习本节课内容过程中，对撇去实际背景后理解向量的概念，一时难
4、以 适应；向量的几何表示是向量概念的形象化（几何化） ，它是学生认识过程中的又一次 新人教版高中数学优质公开课精品教案及点评资料 飞跃，后继的向量运算，以及用向量方法解决几何问题，都是以此为基础. 学生的易混 点是向量的几何表示（有向线段）与平面向量，学生的易错点是，在解决向量问题时， 不能从向量的两个要素全面考虑，顾此失彼. 四教学策略分析四教学策略分析 本节课的难点是平面向量的概念，共线向量的概念，向量的几何表示的生成过 程，突破策略主要是： 1. 创设问题情境，让学生从初步感悟生活中既有大小，又有方向的量开始，逐 步增加信息，以期达到上升到理性认识所需的信息量； 2. 学生适度模仿抽象数
5、量概念的过程，从同类事物中抽象概括得到向量的概 念； 3. 学生比较向量和数量的区别，进一步理解向量概念； 4. 引导类比思考，让学生将已学习过的直线（段）平行和共线与共线向量这一新知 之间建立联系； 5. 类比数的表示引出向量几何表示的必要性，从特殊向量（浮力）的有向线段表示 推广到一般向量的几何表示，用直观的有向线段表示抽象的向量. 在本节课的教学中，主要以问题引领过程，通过教师引导、学生提问、师生交 流、学生合作举例，让学生自主建构向量和共线向量的概念这样做可使学生经历新概 念产生的过程，从总体上认识新知识与原有知识的联系，在过程中感受学习新概念、解 决新问题的方法 五重点与难点五重点与
6、难点 1. 重点：向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示； 2. 难点：向量的概念和共线向量的概念，向量的几何表示的生成过程 六教学方法与教学手段六教学方法与教学手段 问题引导教学法，启发式教学，小组合作学习 七教学过程七教学过程 1. 创设情境创设情境建构概念建构概念 【引例】【引例】 学生在教师节发来的一条祝福短信： “刘老师您好，祝您教师节快乐！我考到了一个离合肥直线距离 800 公里的大城市 读大学，目前在军训了，您猜我在哪个城市？” 设计意图设计意图 通过学生熟悉的问题情境，引发学生思考.只有大小，没有方向， 新人教版高中数学优质公开课精品教案及点评资料 并不能给出具体的位置，从
7、而指出位移是一个既有大小, 又有方向的量. 教学片段教学片段 师：经过百度地图的搜索，教师定位地图上离合肥 800 公里的大城市有天津、 西安、厦门三个.你能否确定是哪个城市呢？ 生：不能. 师：为什么不能确定呢？ 生：因为只知道从合肥到这个城市的位移的大小，并不知道方向. 师：这么说位移不仅要求有大小，而且有方向. 【问题【问题 1】 你能否再举出一些既有大小，又有方向的量？ 设计意图设计意图 激活学生的已有相关经验.进一步直观演示， 加深印象. 再追问有没 有只有大小，没有方向的量的问题，通过两相对比，突显向量的两大要素. 教学片段教学片段 生：重力、浮力、弹力. 师：生活中有没有只有大小
8、，没有方向的量？ 生：年龄、身高、面积、体积等. 师：回顾学习数的概念，我们可以从一支笔、一棵树、一本书中抽象出 只有大小的数量“1”.类似地，我们可以对力、位移这些既有大小, 又有方向的量进行抽象， 形成一种新的量. 师：数学中，我们把这种既有大小，又有方向的量叫做向量，而把那些只有 大小，没有方向的量称为数量.向量在物理学中常称为矢量，数量在物 理学中常称为标量. 【本章简介本章简介】 向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻的几何背景， 是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移） 、相似、垂直、勾股 定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算（运算律） ，
9、从而把图形的 基本性质转化为向量的运算体系.向量是沟通代数、 几何与三角函数的一种工具， 有着极 其丰富的实际背景，在数学和物理学科中具有广泛的应用. 设计意图设计意图 本节课是“平面向量”的起始课，具有“统领全局”的作用，有必要对 本节内容在数学学习研究中的地位做一个简要的介绍.回答平面向量这一章“是什么” 、 “为什么学” 、 “学什么” 、 “怎么学” ，激发学生学习兴趣，明确学习任务，指明向量的 研究对象及研究方法. (板书：2.1 平面向量的实际背景及基本概念.) 新人教版高中数学优质公开课精品教案及点评资料 (板书：既有大小，又有方向的量叫做向量.) 2. 几何表示几何表示理解概念
10、理解概念 【问题【问题 2】 实数在数轴上是如何表示的？ 设计意图设计意图 类比实数的点表示，寻求向量的几何表示. 教学片段教学片段 生：可以用数轴上的点表示. 师：同学们都知道实数常常可以用数轴上的一个点来表示，而且不同的点表 示不同的实数.请同学们在数轴上画出表示实数 0, 1 的点，再画出表示 实数 a 的点. 生：在稿纸上画出数轴，并标注点的位置（如图 1 所示）. 师：实数 a 是一个数量，数轴上表示它的点是一个点 A，一个点也是几何 图形，这里实际上就是用几何图形（数轴上的一个点）来表示了实数 a， 数量可以这样，那么向量呢？我们能不能也找到一种几何图形来表示平 面向量呢？ 【师生
11、互动】【师生互动】 两回顾、一探究：回顾浮力在物理中如何表示，回顾实数中绝 对值符号的使用，探究向量的几何表示和字母表示以及向量的模的字母表示. 设设计意图计意图用“带箭头的线段”表示浮力，是初中物理已学习过的内容，是学 生的“最近发展区” ，将这一内容再次进行条理化、系统化，是强化、固化新知的“停 泊点” ，让旧知自然地“生长”出新知.在实数的两边画上两条平行、等长的竖线段表 示“表示实数的点到原点的距离” ，这是学生已经熟练掌握的绝对值的几何意义，将这 一符号表示方法类比到向量的模的字母表示上是自然的. 教学片段教学片段 师：如图 2，有两个木块浮在水面上，一个木块所受到的重力大小是 10
12、N， 另一个木块所受到的重力的大小为 20N.同学们试在练习纸中画出两 个物体所受到的浮力，练习纸中已经给出了表示 10N 的线段长度. 生：作图，并表示浮力(如图 2 所示). 图 1 新人教版高中数学优质公开课精品教案及点评资料 师：表示这两个木块所受浮力大小的线段哪个更长？ 生：表示浮力大小为 20N 的线段更长. 师：一般地，可以按一定比例画出一条线段，它的长短表示向量的大小. （板书设计：画一条线段，标注线段 AB，也可记作线段 a.） 师：我们用线段的长短表示了浮力的大小，那浮力的方向同学们又是如何表 示的呢？ 生：用箭头表示的. 师： （板书设计：在已画的线段 AB 中，以 A
13、为起点，B 为终点画一个箭头.） 一般地，可以用箭头表示向量的方向，这个图形就是一条线段上带了一 个箭头，有线段有箭头，如果给这个图形起一个形象点的名字，你会叫 它什么？ 生：有向线段. 师：带有方向的线段叫做有向线段. 师：线段我们可以用 AB、a 来表示，有向线段该如何用字母表示呢？ 师：以 A 为起点，B 为终点的有向线段记作AB ，或者用, ,a b 表示 （板书：AB ，, ,a b .） 师：这样我们就用有向线段的长度表示向量的长度，用有向线段的方向表示 向量的方向，那我们就可以用有向线段表示向量了. 师：AB 表示向量的方向是由 A 指向 B 的，那向量的大小又该如何用字母来 表
14、示呢？ 师：如图 1，在数轴上 A 点表示实数 a，那 A 点到原点的距离该如何表示呢？ 生：|a. 师：也就是在实数 a 的两边画两条平行、等长的竖线段（在实数中称为绝对 值）来表示 A 点到原点的距离. 师：类似地，在AB 两边画两条平行、等长的竖线段，来表示向量AB 的大小， 图 2 10N 新人教版高中数学优质公开课精品教案及点评资料 也就是向量AB 的长度（或称模） ，记作|AB . 师：这里需要强调，书上的向量用的是印刷体的黑体字母 a 表示向量，没有 箭头. 但是我们书写的字母不是印刷体，在表示向量时，必须打上箭头. 【问题【问题 3】 在你画的实数轴上，哪些实数比较特殊？ 设设
15、计意图计意图 挖掘结果背后的思维过程，引导学生把向量集合与实数集类比.通过 0,1 这两个特殊实数类比出零向量和单位向量的概念. 教学片段教学片段 师：现在我们已经建立起了一个向量的集合，就像实数可以构成实数集一样. 如图 1，在实数轴上有两个特殊的实数，请问是哪两个？ 生：0,1. 师：类似地，在向量的集合中有两个向量很特殊，一个是长度为零的向量， 叫做零向量，一个是长度等于 1 个单位的向量，叫做单位向量. （板书：长度为零的向量，叫做零向量，记作0 .长度等于 1 个单位的向 量叫做单位向量.） 师：向量是既有大小,又有方向的量.研究向量需要将代数形式和几何形式相 结合.对实数的研究经验
16、告诉我们，引进一个新的数，就要研究它的运 算及运算律.可以预见，引进向量就要研究向量的运算及其相应的运算 律或运算法则.所以对于向量还有很多内容等待我们去研究. 3. 探究实例探究实例引出关系引出关系 【探究互动】【探究互动】在坐标纸中画出如图 3 所示的向量. (1) 图中哪些向量是单位向量？ (2),AB CD EF 三个向量的方向有何关系？ (3),AB CD 在大小和方向上有何关系？ 新人教版高中数学优质公开课精品教案及点评资料 设设计意图计意图 巩固单位向量的概念；该探究将平行向量、相等向量、共线向 量的概念的形成过程串在了一起，并让学生参与这些概念的形成过程，使得概念成为在 教师引
17、导下，学生观察、归纳、概括之后的自然产物. 教学片段教学片段 师：坐标纸中哪些向量是单位向量？ 生：,.AB CD MN GH 师：为什么它们是单位向量？ 生：因为它们的模都等于 1 个单位. 师：单位向量和它们的方向有关系吗？ 生：没有. 师：坐标纸中哪些向量不是单位向量？ 生：.EF 师：刚才我们从向量大小的角度找到了单位向量，向量不仅有大小，还有方 向，同学们想一想EFCDAB,这三个向量的方向有何关系？ 生：AB与CD方向相同,AB与EF方向相反,CD与EF方向相反. 师：,AB CD EF 中有零向量吗？ 生：没有. 师：,AB CD EF 所在的线段之间的位置关系是什么？ 生：平行
18、. 师：一般地，方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量，记作/ /ABCD . （板书：方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量,记作/ /ABCD .） 师：大家想不想知道零向量的方向？ 图 3 新人教版高中数学优质公开课精品教案及点评资料 生：想. 师：我们规定，零向量与任一向量平行，即对于任意的向量a ，都有0/ /a . （板书：0/ /a .) 师：,AB CD 在大小和方向上有何关系？ 生：长度相等，方向相同. 师：也就是AB 和CD 在向量的两个基本要素上完全相同，数学上将长度相 等且方向相同的向量叫做相等向量，记作ABCD . （板书：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量,记作A
19、BCD .） 师：如图 4，OK 与AB 之间什么关系？那OK 与CD 之间什么关系？ 生：都是相等的. 师：既然相等，那就意味着可以用同一条有向线段OK 来表示两个相等的非 零向量AB 和CD ，并且与有向线段的起点无关.换句话说，就是可以将 两个相等的非零向量AB 和CD 在平面内都平移到向量OK 的位置，平移 后的向量与原来的向量相等. 类似地，也可以作向量OP 与向量EF 相 等. 此时，我们将一组平行向量,AB CD EF 都平移到了同一条直线上. 因此，平行向量也叫做共线向量. （板书：共线向量平行向量.） 【自主探究】【自主探究】讨论有向线段与向量之间的区别与联系？ 设设计意图计
20、意图 在上一个探究题目学生分组讨论，通过小组合作学习，体会向量可 以在平面内可以任意平移，与表示向量的有向线段的起点无关. 教学片段教学片段 图 4 新人教版高中数学优质公开课精品教案及点评资料 生：我们小组讨论的结果是有向线段有三要素，即起点、长度、方向, 而向 量完全由它的方向和模决定，与起点无关. 4. 辨析概念辨析概念例题互动例题互动 【例例 1】 判断下面的说法是否正确. (1) 向量的模的取值范围是(0,).（） (2) 若a 与b 都是单位向量，则| |ab .（） (3) 若/ /ab ，则a 与b 的方向相同.（） (4) 物理学中的作用力与反作用力是一对相等向量.（） (5
21、) 若| 0AB ，则ABBA .（） 设计意图设计意图 本节内容概念较多，容易混淆，这 5 个概念辨析题的设置基本上涵盖 了本节中所有的新概念以及易错点，在辨析过程中加强学生对概念的理解与记忆. 解法点评解法点评 紧扣向量的相关概念，同时关注零向量. 【例例 2】如图 5, 设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图 5 中与 OA OB OC 、 、相等的向量. 设计意图设计意图 让学生在寻找相等向量的过程中，进一步体会相等向量的概念. 教学片段教学片段 学生板书：;OACBDO ;OBDCEO .OCABEDFO 解法点评解法点评 抓住相等向量的两大要素，即长度相等和方向相同. 【变式
22、变式】 如图 6，设O是正六边形ABCDEF的中心，请在图中作出与OA 共线的 向量. 设计意图设计意图 学生分小组讨论，通过学生合作学习，进一步体会共线向量的概念以 及共线向量和相等向量的区别. 解法点评解法点评 怎么作？在图中找与线段 OA 平行或共线的线段，可以先找与之平 行的线段，再找与之共线的线段；从对比与向量OA 相等和共线向量的结果看，可以 得出怎样的结论？相等必共线，共线未必相等. 新人教版高中数学优质公开课精品教案及点评资料 教学片段教学片段 学生讨论. 5. 课堂小结课堂小结作业布置作业布置 【课堂小结】【课堂小结】 有哪位同学能够回答一下本节课我们都学习了哪些新的概念？
23、设计意图设计意图 由学生总结概括本节课所学习的主要内容，教师加以提炼. 并总结学 习新概念的基本思路，即： 【作业布置】【作业布置】 (1) 习题 2.1：第 1 题，第 3 题. (2) 思考题：平行向量与平行线段的区别与联系？ (3) 阅读课本 78 页向量及向量符号的由来. 设计意图设计意图 布置作业面向全体学生，旨在学习巩固向量及其相关概念；通 过自学阅读材料，让学生了解向量的历史背景及其符号的来源，从历史的角度认识向量 及其符号，让学生体会高度抽象的数学概念不是凭空出现的，激发学生的学习兴趣 【学生质疑】【学生质疑】 给学生一点时间让学生思考一下有没有什么问题需要提出质疑 的？ 设计
24、意图设计意图 培养学生质疑探究的能力. 教学片段教学片段 师：小结完成了，作业也布置了，同学们是否有什么疑惑的地方，可以提 从同类具体事 例中抽象出共 同本质特征 模 平面向量的概念 表示法 平行向量 （共线向量） 相等向量单位向量零向量 下定义 符号 表示 认识 特殊 对象 考查 特殊 关系 新人教版高中数学优质公开课精品教案及点评资料 出来. 师： （如果没有学生回应）那同学们也可以课下思考一下，如果有疑惑，下一 节课提出来一起探讨. 6. 引例再探引例再探前后呼应前后呼应 【引例再探】【引例再探】 大家想不想知道你们的学长到底在哪个城市读大学呢？ 短信内容短信内容 学长： “刘老师您好，
25、祝您教师节快乐！我考到了一个离合肥直线距离 800 公里的大城市读大学，目前在军训了，您猜我在哪个城市？” 老师： “天津? 西安? 厦门?” 学长： “孔雀东南飞！ ” 设计意图设计意图 呼应引例教学，强化向量的两大要素，并再次体会向量在实际生活 中的应用. 八教学设计说明八教学设计说明 本节课是“平面向量”的第一课时，兼有介绍本课学习内容、目的和重要性的学习 任务. 本课概念多，内在联系紧密，概念的获得，应符合学生认知规律 在本堂课的概念教学中，从特殊到一般的思想、类比思想是很重要的. 在向量概念 的形成过程中，教师可引导学生举出类似的例子，归纳共同特征，获得向量概念. 在讨 论向量的几何
26、表示和字母表示、定义零向量与单位向量、研究向量之间的关系时，主要 是引导学生将已有的经验，即实数的几何表示（数轴上的点） 、力的几何表示、线段的 字母表示、方向的“箭头表示” 、实数的绝对值、0 和 1 的特殊性、线段的平行和共线等， 一一类比到向量的几何表示、向量的字母表示、向量的模的字母表示、零向量和单位向 量的特殊性、平行向量和共线向量等概念中. 这些类比将为学生自觉、有序、有效的认 知向量相关概念提供“固着点” ，也为教师与学生一起探究新概念的形成过程提供了自 然的思路. 在本堂课的概念教学后，要引导学生从中体会认识一个数学新概念的基本思路：从 同类事物中抽象本质特征定义表示特殊对象特殊关系. 在课堂教学中，应充分引导学生进行举例、讨论、互相评判、探究等活动，提供学 生充分展示思维的机会，主要强调“让学生参与到定义概念的活动中来” ，不轻易打断 学生的思维和活动 在作业的设计上，增加了课外阅读材料的布置，帮助学生从历史的角度认识向量及 新人教版高中数学优质公开课精品教案及点评资料 其符号，让学生从中体会抽象的数学概念不是凭空出现的，也是有历史渊源的，增加向 量与实际的联系，脱去神秘的外衣 通过引例的再探呼应引例教学，突出向量的本质属性，并再次体会向量在实际生活 中的应用.
