1、第第 2 节节排列与组合排列与组合 考试要求1.理解排列、组合的概念；2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数 公式；3.能解决简单的实际问题. 知 识 梳 理 1.排列与组合的概念 名称定义 排列从 n 个不同元素中取出 m(mn)个不同元素 按照一定的顺序排成一列 组合合成一组 2.排列数与组合数 (1)从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同排列的个数，叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的排列数. (2)从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的组合数. 3.排列数、组合数的公式及性质 公式 (1)Am
2、nn(n1)(n2)(nm1) n！ （nm） ！. (2)CmnA m n Amm n（n1） （n2）（nm1） m！ n！ m！ （nm） ！(n，mN *，且 mn).特别地 C0 n1 性质 (1)0！1；Annn！. (2)CmnCn m n；Cmn1CmnCm 1 n 常用结论与微点提醒 1.解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法).分类 时标准应统一，避免出现重复或遗漏. 2.对于分配问题，一般先分组，再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避 免重复或遗漏. 诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)所有元素完全相同的两
3、个排列为相同排列.() (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.() (3)若组合式 CxnCmn，则 xm 成立.() (4)(n1)！n！nn！.() (5)kCknnCk 1 n1.() 解析(1)元素相同但顺序不同的排列是不同的排列， 故(1)错； (2)一个组合中取出 的元素不讲究顺序，元素相同即为同一组合，故(2)错；(3)若 CxnCmn，则 xm 或 nm，故(3)错. 答案(1)(2)(3)(4)(5) 2.(老教材选修 23P18 例3改编)从4 本不同的课外读物中， 买 3本送给3 名同学， 每人各 1 本，则不同的送法种数是() A.12B.24C.64D.81
4、解析4 本不同的课外读物选 3 本分给 3 位同学，每人一本，则不同的分配方法 种数为 A3424. 答案B 3.(老教材选修23P26知识改编)计算C37C47C58C 6 9的值为_(用数字作 答). 解析原式C48C58C69C59C69C610C410210. 答案210 4.(2020泰安一中月考)某班星期一上午安排 5 节课，若数学 2 节，语文、物理、 化学各 1 节，且物理、化学不相邻，2 节数学相邻，则星期一上午不同课程安排 种数为() A.6B.12C.24D.48 解析根据题意，分 2 步进行分析：将两节数学课“捆”在一起与语文课先进 行排列，有 A 2 2种排法；将物理
5、课、化学课在第一步排后的 3 个空隙中选两个 插进去，有 A 2 3种方法，根据分步乘法计数原理得不同课程安排种数为 A22A2312， 故选 B. 答案B 5.(2020东北三省四校模拟)安排 5 名学生去 3 个社区进行志愿服务，且每人只去 一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则不同的安排方式共有 () A.360 种B.300 种C.150 种D.125 种 解析分 2 步分析：先将 5 名学生分成 3 组，有两种分组方法，若分成 3、1、1 的三组，则有 C3510 种分组方法；若分成 1、2、2 的三组，则有C 1 5C24C22 A22 15 种 分组方法，则一共有
6、101525 种分组方法.再将分好的三组全排列，对应三个 社区，有 A336 种情况，则有 256150 种不同的安排方式，故选 C. 答案C 6.(2018浙江卷)从 1，3，5，7，9 中任取 2 个数字，从 0，2，4，6 中任取 2 个数 字，一共可以组成_个没有重复数字的四位数(用数字作答). 解析若取的 4 个数字不包括 0，则可以组成的四位数的个数为 C25C23A44；若取的 4 个数字包括 0，则可以组成的四位数的个数为 C25C13C13A33.综上，一共可以组成的 没有重复数字的四位数的个数为 C25C23A44C25C13C13A337205401 260. 答案1 2
7、60 考点一排列问题 【例 1】 有 3 名男生、4 名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数. (1)选 5 人排成一排； (2)排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人； (3)全体排成一排，女生必须站在一起； (4)全体排成一排，男生互不相邻； (5)(一题多解)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边； (6)(一题多解)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边. 解(1)从 7 人中选 5 人排列，有 A57765432 520(种). (2)分两步完成，先选 3 人站前排，有 A 3 7种方法，余下 4 人站后排，有 A 4 4种方法， 共有 A37A445 040(
8、种). (3)(捆绑法)将女生看作一个整体与 3 名男生一起全排列，有 A 4 4种方法，再将女生 全排列，有 A 4 4种方法，共有 A44A44576(种). (4)(插空法)先排女生，有 A 4 4种方法，再在女生之间及首尾 5 个空位中任选 3 个空 位安排男生，有 A 3 5种方法，共有 A44A351 440(种). (5)法一(特殊元素优先法)先排甲，有 5 种方法，其余 6 人有 A 6 6种排列方法，共 有 5A663 600(种). 法二(特殊位置优先法)左右两边位置可安排另 6 人中的两人，有 A 2 6种排法，其 他有 A 5 5种排法，共有 A26A553 600(种
9、). (6)法一(特殊元素优先法)甲在最右边时，其他的可全排，有 A 6 6种方法；甲不在 最右边时，可从余下的 5 个位置任选一个，有 A 1 5种，而乙可排在除去最右边的 位置后剩下的 5 个中任选一个有 A 1 5种，其余人全排列，只有 A 5 5种不同排法，共 有 A66A15A15A553 720. 法二(间接法)7 名学生全排列，只有 A 7 7种方法，其中甲在最左边时，有 A 6 6种方 法，乙在最右边时，有 A 6 6种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情 形，有 A 5 5种方法，故共有 A772A66A553 720(种). 规律方法排列应用问题的分类与解法 (1)
10、对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际 进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条 件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法. (2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决 有限制条件的排列问题的常用方法. 【训练 1】 (2019青岛二模)某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要 求是：任务 A 必须排在前三项执行，且执行任务 A 之后需立即执行任务 E，任务 B，任务 C 不能相邻，则不同的执行方案共有() A.36 种B.44 种C.48 种D.54 种 解析由题意知任务 A，E 必须相邻，且
11、只能安排为 AE，分三类：当 A，E 分 别排在第一、二位置时，有 A22A2312 种执行方案；当 A，E 分别排在第二、三 位置时，有 A12A33A12A2212416 种执行方案；当 A，E 分别排在第三、四 位置时，有 C12C12A12A2216 种执行方案.根据分类加法计数原理得不同的执行方案 有 12161644 种，故选 B. 答案B 考点二组合问题 【例 2】 某市工商局对 35 种商品进行抽样检查，已知其中有 15 种假货.现从 35 种商品中选取 3 种. (1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？ (2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？ (3)恰有
12、 2 种假货在内，不同的取法有多少种？ (4)至少有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？ (5)至多有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？ 解(1)从余下的 34 种商品中，选取 2 种有 C234561(种)，某一种假货必须在内 的不同取法有 561 种. (2)从 34 种可选商品中，选取 3 种，有 C 3 34种或者 C335C234C3345 984(种). 某一种假货不能在内的不同取法有 5 984 种. (3)从 20 种真货中选取 1 件，从 15 种假货中选取 2 件有 C120C2152 100(种). 恰有 2 种假货在内的不同的取法有 2 100 种. (4)选取
13、2 种假货有 C120C 2 15种，选取 3 种假货有 C 3 15种，共有选取方式 C120C215C315 2 1004552 555(种). 至少有 2 种假货在内的不同的取法有 2 555 种. (5)选取 3 种的总数为 C335，选取 3 种假货有 C 3 15种，因此共有选取方式 C335C3156 5454556 090(种). 至多有 2 种假货在内的不同的取法有 6 090 种. 规律方法组合问题常有以下两类题型变化： (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出， 再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取. (2
14、)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至 少”与“至多”这两个关键词的含义， 谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以 求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理. 【训练 2】 (一题多解)(2018全国卷)从 2 位女生、4 位男生中选 3 人参加科技 比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有_种(用数字作答). 解析法一可分两种情况： 第一种情况， 只有 1 位女生入选， 不同的选法有 C12C24 12 种；第二种情况，有 2 位女生入选，不同的选法有 C22C144 种.根据分类加法 计数原理知，至少有 1 位女生入选的不同的选法有 1
15、2416 种. 法二从 6 人中任选 3 人， 不同的选法有 C3620 种， 从 6 人中任选 3 人都是男生， 不同的选法有 C344 种， 所以至少有 1 位女生入选的不同的选法有 20416 种. 答案16 考点三分组、分配问题 【例 3】 (1)国家教育部为了发展贫困地区教育， 在全国重点师范大学免费培养教 育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教，现有 6 个免费培养的教育专业师 范毕业生要平均分到 3 所学校去任教，有_种不同的分派方法. (2)(2020荆门调研)学校在高一年级开设选修课程，其中历史开设了三个不同的 班，选课结束后，有 5 名同学要求改修历史，但历史选修每班至多
16、可接收 2 名同 学，那么安排好这 5 名同学的方案有_种(用数字作答). (3)(多选题)(2020日照模拟)把四个不同的小球放入三个分别标有 1 号、2 号、3 号 的盒子中，不允许有空盒子的放法有() A.C13C12C11C 1 3种B.C24A 3 3种 C.C13C24A 2 2种D.18 种 解析(1)先把 6 个毕业生平均分成 3 组，有C 2 6C24C22 A33 种方法，再将 3 组毕业生分到 3 所学校，有 A336 种方法，故 6 个毕业生平均分到 3 所学校，根据分步乘法计 数原理可得共有C 2 6C24C22 A33 A3390 种分派方法. (2)由已知可得，
17、先将 5 名学生分成 3 组， 有C 1 5C24C22 A22 15 种， 所以不同分法有 15A33 90 种. (3)根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有 1 号、2 号、3 号的盒子中，且 没有空盒，三个盒子中有 1 个盒子中放 2 个球，剩下的 2 个盒子中各放 1 个球， 则分两步进行分析： 方法一： 先将四个不同的小球分成 3 组， 有 C 2 4种分组方法； 将分好的 3 组全排列，对应放到 3 个盒子中，有 A 3 3种放法，则不允许有空盒 子的放法有 C24A3336 种.方法二：在 4 个小球中任选 2 个，在 3 个盒子中任选 1 个，将选出的 2 个小球放入选出的
18、盒子中，有 C13C 2 4种情况；将剩下的 2 个小 球全排列， 放入剩下的2个盒子中， 有A 2 2种放法， 则不允许有空盒的放法有C13C24A22 36 种，故选 BC. 答案(1)90(2)90(3)BC 规律方法1.对于整体均分问题，往往是先分组再排列，在解题时要注意分组后， 不管它们的顺序如何， 都是一种情况， 所以分组后一定要除以Ann(n为均分的组数)， 避免重复计数. 2.对于部分均分问题，解题时要注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有 m 组元素个数相等，则分组时应除以 m！. 3.对于不等分问题，首先要对分配数量的可能情形进行一一列举，然后再对每一 种情形分类讨论.在
19、每一类的计数中，又要考虑是分步计数还是分类计数，是排列 问题还是组合问题. 【训练 3】 (1)(2020济南一中月考)在高三下学期初，某校开展教师对学生的家庭 学习问卷调查活动，已知现有 3 名教师对 4 名学生进行家庭问卷调查，若这 3 名 教师每名至少到一名学生家中进行问卷调查，这 4 名学生的家庭都能且只能得到 一名教师的问卷调查，那么不同的问卷调查方案的种数为() A.36B.72C.24D.48 (2)(2020江西红色七校联考)某外商计划在 4 个候选城市中投资 3 个不同的项目， 且在同一个城市投资的项目不超过 2 个， 则该外商不同的投资方案有_种. 解析(1)根据题意， 分
20、 2 步进行分析： 先把 4 名学生分成 3 组， 其中 1 组 2 人， 其余 2 组每组各 1 人，有C 2 4C12C11 A22 6 种分组方法；将分好的 3 组对应 3 名教师， 有 A336 种情况，根据分步乘法计数原理可得共有 6636 种不同的问卷调查 方案. (2)第一类：3 个项目投资在两个城市，有 C23C11A2436 种不同方案；第二类：3 个项目投资在 3 个城市， 有 A3443224 种不同方案.根据分类加法计数原理 可得共有 362460 种不同方案. 答案(1)A(2)60 A 级基础巩固 一、选择题 1.用数字 1，2，3，4，5 组成的无重复数字的四位偶
21、数的个数为() A.8B.24C.48D.120 解析末位数字排法有 A 1 2种，其他位置排法有 A 3 4种，共有 A12A3448 种. 答案C 2.不等式 Ax86A x2 8的解集为() A.2，8B.2，6 C.7，12D.8 解析 8！ （8x）！6 8！ （10 x）！， x219x840，解得 7x12. 又 x8，x20， 7x8，xN*，即 x8. 答案D 3.(一题多解)某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务，如果 要求至少有 1 名女生，那么不同的选派方案种数为() A.14B.24C.28D.48 解析法一4 人中至少有 1 名女生包括 1
22、 女 3 男及 2 女 2 男两种情况，故不同 的选派方案种数为 C12C34C22C24241614. 法二从 4 男 2 女中选 4 人共有 C 4 6种选法，4 名都是男生的选法有 C 4 4种，故至 少有 1 名女生的选派方案种数为 C46C4415114. 答案A 4.从 6 本不同的书中选出 4 本，分别发给 4 个同学，已知其中两本书不能发给甲 同学，则不同分配方法有() A.180 种B.220 种C.240 种D.260 种 解析因为其中两本书不能发给甲同学，所以甲只能从剩下的 4 本中分一本，然 后再选 3 本分给 3 个同学，故有 A14A35240 种. 答案C 5.(
23、2019沈阳质检)若 4 个人按原来站的位置重新站成一排，恰有 1 个人站在自己 原来的位置，则不同的站法共有() A.4 种B.8 种C.12 种D.24 种 解析将 4 个人重排，恰有 1 个人站在自己原来的位置，有 C 1 4种站法，剩下 3 人不站原来位置有 2 种站法，所以共有 C1428 种站法. 答案B 6.(2020广州调研)6 把椅子摆成一排，3 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数 为() A.144B.120C.72D.24 解析“插空法”，先排 3 个空位，形成 4 个空隙供 3 人选择就座，因此任何两 人不相邻的坐法种数为 A3443224. 答案D 7.从1，2，3
24、，10中选取三个不同的数，使得其中至少有两个相邻，则不同 的选法种数是() A.72B.70C.66D.64 解析从1，2，3，10中选取三个不同的数，恰好有两个数相邻，共有 C12C17 C17C1656(种)选法，三个数相邻共有 C188(种)选法，故至少有两个数相邻共有 56864(种)选法. 答案D 8.(2020北京朝阳区调研)某学校获得 5 个高校自主招生推荐名额，其中甲大学 2 个，乙大学 2 个，丙大学 1 个，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学 校通过选拔定下 3 男 2 女共 5 个推荐对象，则不同的推荐方法共有() A.36 种B.24 种C.22 种D.20 种
25、 解析根据题意，分两种情况讨论：第一种，3 名男生每个大学各推荐 1 人，2 名女生分别推荐给甲大学和乙大学，共有 A33A2212(种)推荐方法；第二种，将 3 名男生分成两组分别推荐给甲大学和乙大学， 共有 C23A22A2212(种)推荐方法.故共 有 24 种推荐方法. 答案B 二、填空题 9.已知 1 Cm5 1 Cm6 7 10Cm7 ，则 m_. 解析由组合数公式化简整理得 m223m420，解得 m2 或 m21(舍去). 答案2 10.若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有_ 种(用数字作答). 解析把 g、o、o、d 4 个字母排一列，可分两步进
26、行，第一步：排 g 和 d，共有 A 2 4种排法；第二步：排两个 o，共 1 种排法，所以总的排法种数为 A2412(种). 其中正确的有一种，所以错误的共有 A24112111(种). 答案11 11.(2020合肥模拟)某校有 4 个社团向高一学生招收新成员，现有 3 名同学，每人 只选报 1 个社团，恰有 2 个社团没有同学选报的报法有_种(用数字作答). 解析第一步，选 2 名同学报名某个社团，有 C23C1412 种报法；第二步，从剩 余的 3 个社团里选一个社团安排另一名同学，有 C13C113(种)报法.由分步乘法计 数原理得共有 12336(种)报法. 答案36 12.某学校
27、开设选修课，其中人文类 4 门，为 A1，A2，A3，A4，自然类 3 门，为 B1，B2，B3，其中 A1与 B1上课时间一致，其余均不冲突，一位同学共选 3 门课， 若要求每类课程中至少选 1 门，则该同学共有_种选课方式(用数字填空). 解析当人文类选 1 门，自然类选 2 门时，共有 C14C2312(种)选法；当人文类选 2 门，自然类选 1 门时，共有 C24C1318(种)选法.而 A1与 B1上课时间一致，所以 A1与 B1不能同时被选，它们同时被选的情况有 C13C125(种)，所以该同学共有 1218525(种)选课方式. 答案25 B 级能力提升 13.(2019赣州联考
28、)将标号为 1，2，3，4，5，6 的 6 个小球放入 3 个不同的盒子 中.若每个盒子放 2 个，其中标号为 1，2 的小球放入同一盒子中，则不同的方法 共有() A.12 种B.16 种C.18 种D.36 种 解析先将标号为 1，2 的小球放入盒子，有 3 种情况；再将剩下的 4 个球平均放 入剩下的 2 个盒子中，共有C 2 4C22 A22 A226(种)情况，所以不同的方法共有 36 18(种).故选 C. 答案C 14.某密码锁共设四个数位，每个数位的数字都可以是 1，2，3，4 中的任一个.现 密码破译者得知：甲所设的四个数字有且仅有三个相同；乙所设的四个数字有两 个相同，另两
29、个也相同；丙所设的四个数字有且仅有两个相同；丁所设的四个数 字互不相同.则上述四人所设密码最安全的是() A.甲B.乙C.丙D.丁 解析甲所设密码共有 C34C14C1348(种)不同设法，乙所设密码共有C 2 4A24 A22 36(种) 不同设法， 丙所设密码共有 C24C14A23144(种)不同设法， 丁所设密码共有 A4424(种) 不同设法，所以丙最安全，故选 C. 答案C 15.如图所示 22 方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是 1，2，3，4 中的任何一个， 允许重复.若填入 A 方格的数字大于 B 方格的数字， 则不同的填法 共有_种. AB CD 解析根据题意，对
30、于 A，B 两个方格，可在 1，2，3，4 中任选 2 个，大的放进 A 方格，小的放进 B 方格，有 C246(种)情况，对于 C，D 两个方格，每个方格有 4 种情况，则共有 4416(种)情况，则不同的填法共有 16696(种). 答案96 16.(2020西安模拟)某校毕业典礼由 6 个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺 序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕 业典礼节目演出顺序的编排方法共有_种. 解析根据题意，由于节目甲必须排在前三位，分 3 种情况讨论：甲排在第一 位，节目丙、丁必须排在一起，则丙、丁相邻的位置有 4 个，考虑两者的顺序， 有 2
31、 种情况， 将剩下的 3 个节目全排列，安排在其他三个位置，有 A336(种)安 排方法，则此时有 42648(种)编排方法；甲排在第二位，节目丙、丁必须 排在一起，则丙、丁相邻的位置有 3 个，考虑两者的顺序，有 2 种情况，将剩下 的 3 个节目全排列，安排在其他三个位置，有 A336(种)安排方法，则此时有 32636(种)编排方法；甲排在第三位，节目丙、丁必须排在一起，则丙、 丁相邻的位置有 3 个，考虑两者的顺序，有 2 种情况，将剩下的 3 个节目全排列， 安排在其他三个位置，有 A336(种)安排方法，则此时有 32636(种)编排方 法，则符合题意要求的编排方法有 483636
32、120(种). 答案120 C 级创新猜想 17.(多选题)(2020聊城调研)下列等式中，正确的是() A.(n1)AmnAm 1 n1B. n！ n（n1）(n2)! C.Cmn Amn n！ D. 1 nmA m1 nAmn 解 析对 于 A ， (n 1)A m n (n 1) n！ （nm）！ （n1）！ （nm）！ （n1）！ （n1）（m1）！A m1 n1，正确； 对于 B， n！ n（n1） n（n1）（n2）321 n（n1） (n2)！，正确； 对于 C，Cmn Amn m！ Amn n！，错误； 对于 D， 1 nmA m1 n 1 nm n！ （nm1）！ n！ （n
33、m）！A m n，正确. 答案ABD 18.(多填题)(2019浙江嘉兴一中、湖州中学期中)用 0，1，2，3，4，5 这六个数字， 可以组成_个无重复数字的三位数，也可以组成_个能被 5 整除且 无重复数字的五位数. 解析第一个空：第一步，先确定三位数的最高数位上的数，有 C155 种方法； 第二步， 确定另外两个数位上的数， 有 A255420 种方法， 所以可以组成 520 100 个无重复数字的三位数.第二个空：被 5 整除且无重复数字的五位数的个位 数上的数有 2 种情况：当个位数上的数字是 0 时，其他数位上的数有 A45 5432120 种； 当个位数上的数字是 5 时， 先确定最高数位上的数， 有 C14 4 种方法，而后确定其他三个数位上的数有 A3443224 种方法，所以共有 24496 个数.根据分类加法计数原理，可得共有 12096216 个数. 答案100216
