1、第第 3 节节两角和与差的正弦、余弦和正切公式两角和与差的正弦、余弦和正切公式 考试要求1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义； 2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的 正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；3.能运用上述公式进行简单的恒 等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆). 知 识 梳 理 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin()sin_cos_cos_sin_. cos()cos_cos_sin_sin_. tan() tan tan 1tantan. 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 s
2、in 22sin_cos_. cos 2cos2sin22cos2112sin2. tan 2 2tan 1tan2. 3.函数 f()asin bcos (a，b 为常数)，可以化为 f()a2b2sin( ) 其中 tan b a 或 f() a2b2cos() 其中 tan a b . 常用结论与微点提醒 1.tan tan tan()(1tantan). 2.cos21cos 2 2 ，sin21cos 2 2 . 3.1sin 2(sin cos )2，1sin 2(sin cos )2， sin cos 2sin 4 . 诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)
3、 (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角，是任意的.() (2)存在实数，使等式 sin()sin sin 成立.() (3)公式 tan() tan tan 1tantan 可以变形为 tan tan tan()(1 tan tan )，且对任意角，都成立.() (4)存在实数，使 tan 22tan .() 解析(3)变形可以，但不是对任意的，都成立， 2k(kZ). 答案(1)(2)(3)(4) 2.(新教材必修第一册 P217T3 改编)已知 cos 4 5， ，3 2 ， 则 sin 4 等 于() A. 2 10 B. 2 10 C.7 2 10 D.7 2 10 解析 ，3 2
4、，且 cos 4 5，sin 3 5， sin 4 3 5 2 2 4 5 2 2 7 2 10 . 答案C 3.(老教材必修 4P131T4 改编)已知 tan 4 2，则 tan () A.1 3 B.1 3 C.4 3 D.4 3 解析tan 4 1tan 1tan 2，解得 tan 1 3. 答案A 4.(2018全国卷)若 sin 1 3，则 cos 2( ) A.8 9 B.7 9 C.7 9 D.8 9 解析由题意得 cos 212sin2 12 1 3 2 12 9 7 9. 答案B 5.(2020揭阳一模)若 sin 223 5，则 sin 4cos4的值为( ) A.4 5
5、 B.3 5 C.4 5 D.3 5 解析sin 22cos 23 5，sin 4cos4sin2cos2cos 23 5. 答案D 6.(2019济南一模)已知角的终边经过点 P(sin 47，cos 47)，则 sin(13) () A.1 2 B. 3 2 C.1 2 D. 3 2 解析由三角函数定义，sin cos 47，cos sin 47， 则 sin(13)sin cos 13cos sin 13 cos 47cos 13sin 47sin 13 cos(4713)cos 601 2. 答案A 考点一三角函数式的化简 【例 1】 (1)化简： 2cos4x2cos2x1 2 2t
6、an 4xsin2 4x _. 解析原式 1 2（4cos 4x4cos2x1） 2 sin 4x cos 4x cos2 4x （2cos2x1）2 4sin 4xcos 4x cos22x 2sin 22x cos22x 2cos 2x 1 2cos 2x. 答案 1 2cos 2x (2)化简：sin（2） sin 2cos(). 解原式sin（2）2sin cos（） sin sin（）2sin cos（） sin sin cos（）cos sin（）2sin cos（） sin cos sin（）sin cos（） sin sin（） sin sin sin . 规律方法(1)三角函
7、数式的化简要遵循“三看”原则： 一看角，二看名，三看式子结构与特征. (2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补 等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点. 【训练 1】 (1)化简：sin()cos()cos()sin()_. (2)化简： 2tan（45） 1tan2（45） sin cos cos2sin2_. 解析(1)sin()cos()cos()sin() sin()cos ()cos()sin() sin()()sin(). (2)原式tan(902) 1 2sin 2 cos 2 sin（902） cos（902） 1 2 sin 2 cos 2
8、 cos 2 sin 2 1 2 sin 2 cos 2 1 2. 答案(1)sin()(2)1 2 考点二三角函数式的求值多维探究 角度 1给值求值 【例 21】 (1)已知 x 0， 2 ，tan x3 4，则 2sin（x）sin 2x 1cos x _. (2)(2020衡水中学月考)已知 6， tan tan 3， 则 cos()的值为( ) A.1 2 3 3 B.1 2 3 3 C.1 3 3 2 D.1 3 3 2 解析(1)由题意得，4sin x3cos x， 又 sin2xcos2x1，且 x 0， 2 ， 解得 cos x4 5，sin x 3 5， 又2sin（x）si
9、n 2x 1cos x 2sin xsin 2x 1cos x 2sin x2sin xcos x 1cos x 2sin x（1cos x） 1cos x 2sin x23 5 6 5. (2)由 tan tan 3，得sin cos sin cos 3， 即sin cos cos sin cos cos 3. sin()3cos cos . 又知 6，cos cos 1 6. 而 cos()cos cos sin sin 3 2 ， sin sin 3 2 1 6. cos()cos cos sin sin 1 6 3 2 1 6 1 3 3 2 . 答案(1)6 5 (2)D 规律方法给
10、值求值问题一般是将待求式子化简整理， 看需要求相关角的哪些三 角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可. 角度 2给角求值 【例 22】 (1) 3 cos 190 1 cos 80( ) A.4B.4C.2D.2 (2)2sin 50sin 10(1 3tan 10) 2sin280_. 解析(1) 3 cos 190 1 cos 80 1 cos 80 3 cos 10 cos 10 3cos 80 cos 80cos 10 sin 80 3cos 80 sin 10cos 10 2sin（8060） 1 2sin 20 2sin 20 1 2sin 20 4. (2)原
11、式 2sin 50sin 10cos 10 3sin 10 cos 10 2sin 80 2sin 502sin 10 1 2cos 10 3 2 sin 10 cos 10 2cos 102 2sin 50cos 10sin 10cos(6010) 2 2sin(5010)2 2 3 2 6. 答案(1)B(2) 6 规律方法给角(非特殊角)求值的三个基本思路：(1)化非特殊角为特殊角； (2)化为正负相消的项，消去后求值；(3)化简分子、分母使之出现公约式，约分 后求值. 角度 3给值求角 【例 23】 (1)已知 cos 6cos 31 4， 3， 2 ，则_. (2)已知，(0，)，且
12、 tan()1 2，tan 1 7，则 2的值为_. 解析(1)cos 6cos 3sin 3cos 3 1 2sin 2 3 2 1 4，即 sin 2 3 2 1 2， 又 3， 2 ，则2 3 2 3，0， 所以2 3 2 6，得 5 12. (2)tan tan() tan（）tan 1tan（）tan 1 2 1 7 11 2 1 7 1 30， 又(0，)，00， 02 2， tan(2) tan 2tan 1tan 2tan 3 4 1 7 13 4 1 7 1. tan 1 70， 2，20， 23 4 . 答案(1)5 12 (2)3 4 规律方法“给值求角”：实质是转化为“
13、给值求值”，先求角的某一函数值， 再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数； 已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是 0， 2 ，选正、余弦皆 可；(2)若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围为 2， 2 ，选正弦较好. 【训练 2】(1)(角度 1)(2020普宁联考)已知 tan 6 2， 6， 7 6 ， 则 sin 2cos 2 3cos 2 2 3 2 _. (2)(角度 2)cos2 12sin 12cos 12_. (3)(角度 3)已知，为锐角，cos 1 7，且 sin() 5 3 14 ，则角_. 解析(1)tan 6 2，
14、tan 62， 即 tan 6 sin 6 cos 6 cos 3 sin 3 2， cos 3 2sin 3 . 6， 7 6， 3 2， 3 2. 又知 cos2 3 sin2 3 1， 解得 cos 3 2 5 5 ，sin 3 5 5 . 则 sin 2cos 2 3cos 2 2 3 2 1 2sin 3 2 cos sin 3 5 5 . (2)cos2 12sin 12cos 12 1cos 6 2 1 2sin 6 1 2 1 2cos 6 1 2sin 6 1 2 1 2 3 2 1 2 1 2 3 3 4 . (3)为锐角，且 cos 1 7， sin 1 1 7 2 4
15、3 7 . ， 0， 2 ，0. 又sin() 2， cos()11 14. cos cos()cos()cos sin()sin 11 14 1 7 5 3 14 4 3 7 49 98 1 2. 3. 答案(1) 5 5 (2)3 3 4 (3) 3 考点三三角恒等变换的应用 【例 3】 已知函数 f(x) cos 2x sin xcos x2sin x. (1)在ABC 中，cos A3 5，求 f(A)的值； (2)求函数 f(x)的最小正周期及其图象的对称轴的方程. 解(1)由 sin xcos x0 得 xk 4，kZ. 因为 f(x) cos 2x sin xcos x2sin
16、x cos2xsin2x sin xcos x2sin x cos xsin x， 在ABC 中，cos A3 50，所以 2A， 所以 sin A 1cos2A4 5， 所以 f(A)sin Acos A4 5 3 5 1 5. (2)由(1)可得 f(x) 2sin x 4 ， 所以 f(x)的最小正周期 T2. 因为函数 ysin x 的对称轴为 xk 2，kZ， 又由 x 4k 2，kZ，得 xk 4，kZ， 所以 f(x)的对称轴的方程为 xk 4，kZ. 规律方法1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角 之间的关系；注意公式的逆用和变形使用. 2.把形如 ya
17、sin xbcos x 化为 y a2b2sin(x) tan b a ，可进一步研究函 数的周期性、单调性、最值与对称性. 【训练 3】 (多选题)函数 f(x)sin 2x 3(cos2xsin2x)的图象为 C，如下结论正 确的是() A.f(x)的最小正周期为 B.对任意的 xR，都有 f x 6 f 6x0 C.f(x)在 12， 5 12 上是增函数 D.由 y2sin 2x 的图象向右平移 3个单位长度可以得到图象 C 解析f(x)sin 2x 3(cos2xsin2x)sin 2x 3cos 2x2sin 2x 3 .f(x)的最小 正周期为2 2 ，故 A 正确；f 6 2s
18、in 2 6 3 0，即函数 f(x)的图象关于点 6，0对称，即对任意的 xR，都有 f x 6 f 6x0 成立，故 B 正确；当 x 12， 5 12 时，2x 3 2， 2 ，所以 f(x)在 12， 5 12 上是增函数，故 C 正 确；由 y2sin 2x 的图象向右平移 3 个单位长度得到 y2sin 2 x 3 2sin 2x2 3 的图象，故 D 错误.故选 ABC. 答案ABC A 级基础巩固 一、选择题 1.(2020菏泽调研)已知 sin 42x3 5，则 sin 4x 的值为( ) A. 7 25 B. 7 25 C.18 25 D.18 25 解析因为 sin 42
19、x 2 2 (cos 2xsin 2x)3 5， 所以 sin 2xcos 2x3 2 5 ， 所以(sin 2xcos 2x)212sin 2xcos 2x1sin 4x18 25，所以 sin 4x 7 25.故选 A. 答案A 2.(2020重庆联考)cos 23cos 67 2sin 68 () A.2B. 3C. 2D.1 解析原式cos 23sin 23 2sin 68 2sin（2345） 2sin 68 1. 答案D 3.(2019吉安一模)若 sin()1 4， 2，0，则cos 21 tan () A. 15 8 B. 15 8 C. 15 4 D. 15 16 解析由 s
20、in()1 4，得sin 1 4， 则 sin 1 4. 又 2，0，cos 1sin2 15 4 ， cos 21 tan 2sin 2 tan 2sin cos 15 8 . 答案B 4.(2020广东省际名校联考)若 cos 3 4 5，则 cos 32() A.23 25 B.23 25 C. 7 25 D. 7 25 解析cos 3 4 5， cos 3 sin 2 3 sin 64 5， cos 3212sin2 6 7 25. 答案D 5.(2019全国卷)已知 0， 2 ，2sin 2cos 21，则 sin () A.1 5 B. 5 5 C. 3 3 D.2 5 5 解析由
21、 2sin 2cos 21，得 4sin cos 2cos2. 又 0， 2 ，所以 2sin cos ，又 sin2cos21， 所以 sin21 5，故 sin 5 5 . 答案B 二、填空题 6.函数 ysin 62xcos 2x 的最大值为_. 解析因为 ysin 62xcos 2x 1 2cos 2x 3 2 sin 2xcos 2x 3 2cos 2x 3 2 sin 2x 3cos 2x 6 ， 故最大值为 3. 答案3 7.已知 180360，化简： （1sin cos ） sin 2cos 2 22cos _. 解析原式 2cos2 22sin 2cos 2 sin 2cos
22、 2 4cos2 2 2cos 2 cos 2sin 2 sin 2cos 2 2|cos 2| cos 2 sin2 2cos 2 2 |cos 2| cos 2cos |cos 2| . 因为 180360，所以 90 2180， 所以 cos 20，所以原式cos . 答案cos 8.已知 sin 5 5 ，sin() 10 10 ，均为锐角，则_. 解析因为，均为锐角，所以 2 2. 又 sin() 10 10 ，所以 cos()3 10 10 . 又 sin 5 5 ，所以 cos 2 5 5 ， 所以 sin sin()sin cos()cos sin() 5 5 3 10 10
23、2 5 5 10 10 2 2 . 所以 4. 答案 4 三、解答题 9.(2020合肥质检)已知函数 f(x)cos 2xsin 2x 6 . (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)若 0， 2 ，f()1 3，求 cos 2. 解(1)f(x)cos 2x 3 2 sin 2x1 2cos 2x 3 2 sin 2x1 2cos 2xsin 2x 6 ， 函数 f(x)的最小正周期 T2 2 . (2)由 f()1 3，可得 sin 2 6 1 3. 0， 2 ，2 6 6， 7 6 . 又0sin 2 6 1 3 1 2，2 6 2，. cos 2 6 2 2 3 . cos 2c
24、os 2 6 6 cos 2 6 cos 6sin 2 6 sin 6 12 6 6 . 10.已知函数 f(x)2cos2x12 3sin xcosx(01)，直线 x 3是函数 f(x) 的图象的一条对称轴. (1)求函数 f(x)的单调递增区间； (2)已知函数yg(x)的图象是由yf(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍， 然后再向左平移2 3 个单位长度得到的，若 g 2 3 6 5， 0， 2 ， 求 sin 的值. 解(1)f(x)cos 2x 3sin 2x2sin 2x 6 ， 由于直线 x 3是函数 f(x)2sin 2x 6 的图象的一条对称轴. 所以2 3 6k 2
25、(kZ)， 解得3 2k 1 2(kZ)， 又 01，所以1 2， 所以 f(x)2sin x 6 . 由 2k 2x 62k 2(kZ)， 得 2k2 3 x2k 3(kZ)， 所以函数 f(x)的单调递增区间为 2k2 3 ，2k 3 (kZ). (2)由题意可得 g(x)2sin 1 2 x2 3 6， 即 g(x)2cos x 2， 由 g 2 3 2cos 1 2 2 3 2cos 6 6 5，得 cos 6 3 5， 又 0， 2 ，故 6 60， 因为 cos 2 2 5 sin 4 ， 所以(cos sin )(cos sin )1 5(sin cos )， 所以 cos si
26、n 1 5，可得 0， 4 . 将 cos sin 1 5两边平方可得 12sin cos 1 25， sin cos 12 25， sin cos sin2cos2 12 25. 分子、分母同除以 cos2可得 tan tan21 12 25， 解得 tan 3 4或 4 3(舍)，即 tan 3 4. 答案A 13.已知 cos 1 7，cos() 13 14，且 0 2，则_. 解析由 cos 1 7，0 2， 得 sin 1cos21 1 7 2 4 3 7 ， 由 0 2，得 0 2， 又cos()13 14， sin() 1cos2（）1 13 14 2 3 3 14 . 由()，
27、得 cos cos() cos cos()sin sin() 1 7 13 14 4 3 7 3 3 14 1 2. 3. 答案 3 14.已知函数 f(x) a2cos2x 2 cos(x)为奇函数， 且 f 2 0， 其中 aR， (0， ). (1)求 a，的值； (2)若 2，f 2 8 2 5cos 4 cos 20，求 cos sin 的值. 解(1)因为 f(x) a2cos2x 2 cos(x)是奇函数， 所以 a2cos2x 2 cos(x) a2cos2x 2 cos(x)， 化简、整理得，cos xcos 0，则有 cos 0， 由(0，)，得 2， 所以 f(x)sin
28、 x a2cos2 x 2 . 由 f 2 0，得(a1)0，即 a1. (2)由(1)知 f(x)1 2sin 2x， f 2 8 2 5cos 4 cos 20sin 4 4 5cos 4 cos 2， 因为 cos 2sin 2 2 sin 2 4 2sin 4 cos 4 ， 所以 sin 4 8 5cos 2 4 sin 4 . 又 2， 所以 sin 4 0 或 cos2 4 5 8. 由 sin 4 03 4 ， 所以 cos sin cos 3 4 sin 3 4 2； 由 cos2 4 5 8， 3 4 4 5 4 ， 得 cos 4 5 2 2 1 2(cos sin )
29、5 2 2cos sin 5 2 . 综上，cos sin 2或 cos sin 5 2 . C 级创新猜想 15.( 多 选 题 ) (2020 山 东 新 高 考 模 拟 ) 已 知 函 数 f(x) sin 5 6 2x 2sin x 4 cos x3 4 ，则下列关于函数 f(x)的描述正确的是() A.f(x)在区间 0， 3 上单调递增 B.f(x)图象的一个对称中心是 3，0 C.f(x)图象的一条对称轴是 x 6 D.将 f(x)的图象向右平移 3个单位长度后，所得函数图象关于 y 轴对称 解析f(x)sin 5 6 2x 2sin x 4 cos x3 4 1 2cos 2x
30、 3 2 sin 2xsin2xcos2x 1 2cos 2x 3 2 sin 2xcos 2xsin 2x 6 ， 由 2k 22x 62k 2(kZ)， 得 k 6xk 3(kZ)， 当 k0 时， 0， 3 6， 3 ，故 A 正确； f 3 sin 210，故 B 不正确； f 6 sin 21，故 C 正确； 将 f(x)的图象向右平移 3个单位长度得到函数 ysin 2x5 6 的图象， 显然不关于 y 轴对称，故 D 不正确. 答案AC 16.(多填题)若，为锐角，且 sin 5 5 ，sin 10 10 ，则 sin()_， _. 解析，为锐角，sin 5 5 ，sin 10 10 ，cos 2 5 5 ，cos 3 10 10 ， cos()cos cos sin sin 2 5 5 3 10 10 5 5 10 10 2 2 .又 0 ，sin() 2 2 ， 4. 答案 2 2 4
