1、7.3直线、平面平行的判定与性质直线、平面平行的判定与性质 考试要求从定义和公理出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线 与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明 1线面平行的判定定理和性质定理 文字语言图形语言符号语言 判 定 定 理 如果平面外一条直线与此平面 内的一条直线平行，则该直线 与此平面平行(简记为“线线平 行线面平行”) la a l l 性 质 定 理 一条直线与一个平面平行，则 过这条直线的任一平面与此平 面的交线与该直线平行(简记为 “线面平行线线平行”) l l b lb 2.面面平行的判定定理和性质定理 文字语言图形语言符号语言 判定 定理 一个平面
2、内的两条相交直 线与另一个平面平行，则这 两个平面平行(简记为“线 面平行面面平行”) a b abP a b 性质 定理 如果两个平行平面同时和 第三个平面相交，那么它们 的交线平行 a b ab 3.平行关系中的三个重要结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若 a，a，则. (2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若，则. (3)若，a，则 a. 微思考 1设 m，l 表示两条不同的直线，表示平面，若 m，l，则 l 与 m 的位置关系如何？ 提示平行或异面 2 一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别对应平行， 那么这两个平 面平行吗？ 提示平行可以转化为“一个平
3、面内的两条相交直线与另一个平面平行”，这就是面面平 行的判定定理 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面() (2)若直线 a平面，P，则过点 P 且平行于直线 a 的直线有无数条() (3)若直线 a平面，直线 b平面，ab，则.() (4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面() 题组二教材改编 2如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为 DD1的中点，则 BD1与平面 ACE 的位置关系 为_ 答案平行 解析连接 BD，则 ACBDO，连接 OE(图略)，则
4、OEBD1，OE平面 ACE，BD1平面 ACE，BD1平面 ACE. 3已知不重合的直线 a，b 和平面， 若 a，b，则 ab；若 a，b，则 ab；若 ab，b，则 a；若 ab，a，则 b或 b. 上面命题中正确的是_(填序号) 答案 解析若 a，b，则 ab 或异面，错； 若 a，b，则 ab，或异面或相交，错； 若 ab，b，则 a或 a，错； 若 ab，a，则 b或 b，对 4 在长方体 ABCDA1B1C1D1中， 过直线 AC1的平面交直线 BB1于点 E， 交直线 DD1于点 F， 则四边形 AEC1F 的形状为_ 答案平行四边形 解析由面面平行的性质定理可得 AEC1F，
5、AFC1E. 故四边形 AEC1F 为平行四边形 题组三易错自纠 5已知直线 a，b 和平面，若 a，b，a，b，则，的位置关系是_ 答案平行或相交 6考查下列两个命题，在“_”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真 命题(其中 a，b 为不同的直线，为不重合的平面)，则此条件为_ b ab a； ab b a. 答案a 解析根据线面平行的判定定理可知，判断线面平行需要三个条件：面内一线，面外一线， 线线平行，分析已知中的条件，可知缺少的条件是“a 为平面外的直线”， 同样缺少平面外直线故答案为：a. 题型一 直线与平面平行的判定与性质 命题点 1直线与平面平行的判定 例 1 如图，PA矩
6、形 ABCD 所在的平面，E，F 分别为 AB，PD 的中点 求证：AF平面 PCE. 证明方法一如图，设 M 为 PC 的中点，连接 EM，MF， E 是 AB 的中点， AECD，且 AE1 2CD， 又MFCD，且 MF1 2CD， AE 綊 FM，四边形 AEMF 是平行四边形，AFEM， 又AF平面 PCE，EM平面 PCE， AF平面 PCE. 方法二如图，设 G 为 CD 的中点，连接 FG，AG， F，G 分别为 PD，CD 的中点， FGPC.同理 AGEC， 又 FG平面 PCE，AG平面 PCE， PC平面 PCE，EC平面 PCE， FG平面 PCE，AG平面 PCE，
7、 又 FG，AG平面 AFG，FGAGG， 平面 AFG平面 PCE，又 AF平面 AFG，AF平面 PCE. 命题点 2直线与平面平行的性质 例 2 如图所示，在四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 是平行四边形，M 是 PC 的中点，在 DM 上取一点 G，过 G 和 PA 作平面交 BD 于点 H. 求证：PAGH. 证明如图所示，连接 AC 交 BD 于点 O，连接 OM， 四边形 ABCD 是平行四边形， O 是 AC 的中点， 又 M 是 PC 的中点，PAOM， 又 OM平面 BMD，PA平面 BMD，PA平面 BMD， 又平面 PAHG平面 BMDGH， PAGH. 思维升
8、华 (1)判断或证明线面平行的常用方法 利用线面平行的定义(无公共点) 利用线面平行的判定定理(a，b，aba) 利用面面平行的性质(，aa) 利用面面平行的性质(，a，aa) (2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确 定交线 跟踪训练 1 如图，四边形 ABCD 是矩形，P平面 ABCD，过 BC 作平面 BCFE 交 AP 于点 E， 交 DP 于点 F，求证：四边形 BCFE 是梯形 证明四边形 ABCD 为矩形， BCAD. AD平面 PAD，BC平面 PAD， BC平面 PAD. 平面 BCFE平面 PADEF，BC平面 BCFE， BCE
9、F. ADBC，ADEF， BCEF， 四边形 BCFE 是梯形 题型二 平面与平面平行的判定与性质 例 3 如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，E，F，G 分别为 B1C1，A1B1，AB 的中点 (1)求证：平面 A1C1G平面 BEF； (2)若平面 A1C1GBCH，求证：H 为 BC 的中点 证明(1)E，F 分别为 B1C1，A1B1的中点， EFA1C1， A1C1平面 A1C1G，EF平面 A1C1G， EF平面 A1C1G， 又 F，G 分别为 A1B1，AB 的中点， A1FBG， 又 A1FBG， 四边形 A1GBF 为平行四边形， 则 BFA1G， A1G平面 A1C
10、1G，BF平面 A1C1G， BF平面 A1C1G， 又 EFBFF，EF，BF平面 BEF， 平面 A1C1G平面 BEF. (2)平面 ABC平面 A1B1C1，平面 A1C1G平面 A1B1C1A1C1， 平面 A1C1G 与平面 ABC 有公共点 G，则有经过 G 的直线，设交 BC 于点 H， 则 A1C1GH，得 GHAC， G 为 AB 的中点，H 为 BC 的中点 思维升华 证明面面平行的方法 (1)面面平行的定义 (2)面面平行的判定定理 (3)垂直于同一条直线的两个平面平行 (4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行 (5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行
11、”的相互转化 跟踪训练 2 如图，四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形 (1)证明：平面 A1BD平面 CD1B1； (2)若平面 ABCD平面 B1D1C直线 l，证明 B1D1l. 证明(1)由题设知 BB1綊 DD1，所以四边形 BB1D1D 是平行四边形， 所以 BDB1D1. 又 BD平面 CD1B1， B1D1平面 CD1B1， 所以 BD平面 CD1B1. 因为 A1D1綊 B1C1綊 BC， 所以四边形 A1BCD1是平行四边形， 所以 A1BD1C. 又 A1B平面 CD1B1，D1C平面 CD1B1， 所以 A1B平面 CD1B1. 又因为 BDA1B
12、B，BD，A1B平面 A1BD， 所以平面 A1BD平面 CD1B1. (2)由(1)知平面 A1BD平面 CD1B1， 又平面 ABCD平面 B1D1C直线 l， 平面 ABCD平面 A1BD直线 BD， 所以直线 l直线 BD， 在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，四边形 BDD1B1为平行四边形， 所以 B1D1BD，所以 B1D1l. 题型三 平行关系的综合应用 例 4 如图， 四边形 ABCD 是边长为 3 的正方形， DE平面 ABCD， AF平面 ABCD， DE3， AF1. (1)证明：平面 ABF平面 DCE； (2)在 DE 上是否存在一点 G，使平面 FBG 将几何体
13、 ABCDEF 分成上、下两部分的体积比为 35？若存在，求出点 G 的位置；若不存在，请说明理由 (1)证明DE平面 ABCD，AF平面 ABCD， DEAF， 又 DE平面 DCE，AF平面 DCE， AF平面 DCE， 四边形 ABCD 是正方形，ABCD， 又 CD平面 DCE，AB平面 DCE， AB平面 DCE， ABAFA，AB平面 ABF，AF平面 ABF， 平面 ABF平面 DCE. (2)解存在点 G，满足题意，理由如下：假设存在一点 G，过 G 作 MGBF 交 EC 于 M，连 接 BG，BM，如图， 由 VABCDEFVBADEFVBCDE1 33 133 2 1 3
14、3 33 2 21 2 ， 设 EGt， 则 VGFBMEVBEFGVBEGM21 2 3 8 63 16， 设 M 到 ED 的距离为 h， 则h 3 EM EC t 31，即 h 3 2t， 则 SEGM1 2t 3 2t 3 4t 2， VGFBMEVBEFGVBEGM1 33 1 23t 1 33 3 4t 263 16， 即 4t28t210， 解得 t3 2，或 t 7 2(舍)， 则存在点 G，满足 EG3 2， 即 G 为 ED 的中点时满足条件 思维升华 解决这种数值或存在性问题的题目时， 注意先给出具体的值或先假设存在， 然后再 证明 跟踪训练 3 如图，在正方体 ABCD
15、A1B1C1D1中，P，Q 分别为对角线 BD，CD1上的点，且 CQ QD1 BP PD 2 3. (1)求证：PQ平面 A1D1DA； (2)若 R 是 AB 上的点，AR AB的值为多少时，能使平面 PQR平面 A 1D1DA？请给出证明 (1)证明连接 CP 并延长与 DA 的延长线交于 M 点，如图，连接 MD1， 因为四边形 ABCD 为正方形， 所以 BCAD， 故PBCPDM， 所以CP PM BP PD 2 3， 又因为 CQ QD1 BP PD 2 3， 所以 CQ QD1 CP PM 2 3， 所以 PQMD1. 又 MD1平面 A1D1DA，PQ平面 A1D1DA， 故
16、 PQ平面 A1D1DA. (2)解当AR AB的值为 3 5时，能使平面 PQR平面 A 1D1DA.如图， 证明：因为AR AB 3 5，即 BR RA 2 3，故 BR RA BP PD. 所以 PRDA. 又 DA平面 A1D1DA，PR平面 A1D1DA， 所以 PR平面 A1D1DA， 又 PQ平面 A1D1DA，PQPRP，PQ，PR平面 PQR， 所以平面 PQR平面 A1D1DA. 课时精练课时精练 1(2021哈尔滨市第九中学模拟)平面平面的一个充分条件是() A存在一条直线 a，a，a B存在一条直线 a，a，a C存在两条平行直线 a，b，a，b，a，b D存在两条异面
17、直线 a，b，a，b，a，b 答案D 解析对于 A，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行故 A 不对； 对于 B，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故 B 不对； 对于 C，两个平面中的两条直线分别平行于另一个平面，不能保证两个平面平行，故 C 不对； 对于 D， 两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面， 可以保证两个平面平行， 故 D 正确 2(2021泸州诊断)已知 a，b 是互不重合的直线，是互不重合的平面，下列四个命题中 正确的是() A若 ab，b，则 a B若 a，a，b，则 ab C若 a，则 a D若 a，a，则 答案B 解析A 选项
18、，若 ab，b，则 a或 a，所以 A 选项错误； B 选项，若 a，a，b，则 ab，所以 B 选项正确； C 选项，若 a，则 a或 a，所以 C 选项错误； D 选项，若 a，a，则或b，所以 D 选项错误 3(2020金华十校联考)已知在三棱柱 ABCA1B1C1中，M，N 分别为 AC，B1C1的中点，E， F 分别为 BC，B1B 的中点，则直线 MN 与直线 EF、平面 ABB1A1的位置关系分别为() A平行、平行B异面、平行C平行、相交D异面、相交 答案B 解析在三棱柱 ABCA1B1C1中， M，N 分别为 AC，B1C1的中点，E，F 分别为 BC，B1B 的中点， EF
19、平面 BCC1B1，MN平面 BCC1B1N，NEF， 由异面直线判定定理得直线 MN 与直线 EF 是异面直线； 取 A1C1的中点 P，连接 PM，PN，如图， 则 PNB1A1，PMA1A， AA1A1B1A1，PMPNP， 平面 PMN平面 ABB1A1， MN平面 PMN， 直线 MN 与平面 ABB1A1平行 4.如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，若 E，F，G，H 分别是棱 A1B1，BB1，CC1，C1D1 的中点，则必有() ABD1GH BBDEF C平面 EFGH平面 ABCD D平面 EFGH平面 A1BCD1 答案D 解析选项 A，由中位线定理可知 GHD1
20、C，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直 线平行，所以 BD1，GH 不可能互相平行，故 A 选项是错误的； 选项 B， 由中位线定理可知 EFA1B， 因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， 所以 BD，EF 不可能互相平行，故 B 选项是错误的； 选项 C， 由中位线定理可知 EFA1B， 而直线 A1B 与平面 ABCD 相交， 故直线 EF 与平面 ABCD 也相交，故平面 EFGH 与平面 ABCD 相交，故 C 选项是错误的； 选项 D，由三角形中位线定理可知 EFA1B，EHA1D1，所以有 EF平面 A1BCD1，EH 平面 A1BCD1，而 EFEHE，因此平面
21、 EFGH平面 A1BCD1，故本题选 D. 5.(多选)(2020青岛市 58 中模拟)如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，E，F，G 分别 为 BC，CC1，BB1的中点，则() A直线 D1D 与直线 AF 垂直 B直线 EF 与直线 AD1平行 C平面 AEF 截正方体所得的截面面积为9 2 D点 C 与点 G 到平面 AEF 的距离相等 答案BC 解析A 项，若 D1DAF， 又因为 D1DAE 且 AEAFA， 所以 DD1平面 AEF， 所以 DD1EF， 所以 CC1EF，显然不成立，故结论错误； B 项，直线 EF直线 BC1， 又直线 BC1直线 AD1，
22、所以 EFAD1，故结论正确； C 项，如图所示，连接 D1F，D1A，延长 D1F，AE 交于点 S， 因为 E，F 分别为 BC，C1C 的中点， 所以 EFBC1， 又 BC1AD1， 所以 EFAD1， 所以 A，E，F，D1四点共面， 所以截面即为梯形 AEFD1， 又因为 D1SAS 42222 5，AD12 2， 所以 1 AD S S1 22 2 2 52 2 2 2 26， 所以 1 AEFD S梯形63 4 9 2，故结论正确； D 项，设点 C 与点 G 到平面 AEF 的距离分别为 h1，h2， VCAEF1 3S AEFh1VACEF1 3 11 2 21 3， VG
23、AEF1 3S AEFh2VAGEF1 3 12 2 22 3， h1h2，故结论错误 6(多选)如图，透明塑料制成的长方体容器 ABCDA1B1C1D1内灌进一些水，固定容器一边 AB 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下面几个结论，其中正确的是() A没有水的部分始终呈棱柱形 B水面 EFGH 所在四边形的面积为定值 C随着容器倾斜程度的不同，A1C1始终与水面所在平面平行 D当容器倾斜如图(3)所示时，AEAH 为定值 答案AD 解析根据棱柱的特征(有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的 公共边都互相平行)， 结合题中图形易知 A 正确； 由题图可知水面
24、 EFGH 的边 EF 的长保持不 变，但邻边的长却随倾斜程度而改变，可知 B 错误；因为 A1C1AC，AC平面 ABCD，A1C1 平面 ABCD，所以 A1C1平面 ABCD，当平面 EFGH 不平行于平面 ABCD 时，A1C1不平行 于水面所在平面，故 C 错误；当容器倾斜如题图(3)所示时，因为水的体积是不变的，所以棱 柱 AEHBFG 的体积 V 为定值，又 VSAEHAB，高 AB 不变，所以 SAEH也不变，即 AEAH 为定值，故 D 正确 7在四面体 ABCD 中，M，N 分别是ACD，BCD 的重心，则四面体的四个面中与 MN 平行的是_ 答案平面 ABC，平面 ABD
25、 解析如图，连接 AM 并延长交 CD 于点 E，连接 BN 并延长交 CD 于点 F， 由重心性质可知，E，F 重合，且 E 为 CD 的中点， EM MA EN BN 1 2， MNAB，又 AB平面 ABD，MN平面 ABD， MN平面 ABD，又 AB平面 ABC，MN平面 ABC，MN平面 ABC. 8 设， ， 是三个不同的平面， m， n 是两条不同的直线， 在命题“m， n， 且_， 则 mn”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题 ，n；m，n；n，m. 可以填入的条件有_(填序号) 答案或 解析由面面平行的性质定理可知，正确；当 m，n时，n 和 m 可能平行
26、或异面， 错误；当 n，m时，n 和 m 在同一平面内，且没有公共点，所以 mn，正确 9在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，O 为底面 ABCD 的中心，P 是 DD1的中点，设 Q 是 CC1 上的点，则点 Q 满足条件_时，有平面 D1BQ平面 PAO. 答案Q 为 CC1的中点 解析如图所示，设 Q 为 CC1的中点， 因为 P 为 DD1的中点，所以 QBPA. 连接 DB，因为 P，O 分别是 DD1，DB 的中点， 所以 D1BPO， 又 D1B平面 PAO，QB平面 PAO，PO平面 PAO，PA平面 PAO， 所以 D1B平面 PAO，QB平面 PAO， 又 D1BQBB
27、，D1B，QB平面 D1BQ， 所以平面 D1BQ平面 PAO. 故 Q 为 CC1的中点时，有平面 D1BQ平面 PAO. 10.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形 ABCD 为正方形，E，F，G，H 分别为 P3A， P2D，P4C，P4B 的中点，在此几何体中，给出下面五个结论：平面 EFGH平面 ABCD； PA平面 BDG；EF平面 PBC；FH平面 BDG；EF平面 BDG. 其中正确结论的序号是_ 答案 解析先把平面展开图还原为一个四棱锥，如图所示 E，F，G，H 分别为 PA，PD，PC，PB 的中点， EFAD，GHBC， ADBC，EFGH， EF，GH 确定平面 EF
28、GH， EF平面 EFGH，AD平面 EFGH， AD平面 EFGH， 同理 AB平面 EFGH，ABADA， AB，AD平面 ABCD， 平面 EFGH平面 ABCD，所以正确； 连接 AC，BD 交于 O 点， 则 O 为 AC 的中点，连接 OG，G 为 PC 的中点， OGPA，OG平面 BDG， PA平面 BDG，PA平面 BDG，正确； 同同理可证 EF平面 PBC，正确； 同同理可证 FH平面 BDG，正确； EFGH，GH 与平面 BDG 相交， EF 与平面 BDG 相交， 不正确 11.如图，在四棱锥 PABCD 中，ADBC，ABBC1 2AD，E，F，H 分别为线段 A
29、D，PC， CD 的中点，AC 与 BE 交于 O 点，G 是线段 OF 上一点 (1)求证：AP平面 BEF； (2)求证：GH平面 PAD. 证明(1)如图，连接 EC，因为 ADBC，BC1 2AD， 所以 BCAE，BCAE， 所以四边形 ABCE 是平行四边形，所以 O 为 AC 的中点 又因为 F 是 PC 的中点， 所以 FOAP， 因为 FO平面 BEF， AP平面 BEF， 所以 AP平面 BEF. (2)连接 FH，OH，因为 F，H 分别是 PC，CD 的中点， 所以 FHPD， 因为 PD平面 PAD，FH平面 PAD， 所以 FH平面 PAD. 又因为 O 是 BE
30、的中点，H 是 CD 的中点， 所以 OHAD， 因为 AD平面 PAD，OH平面 PAD， 所以 OH平面 PAD. 又 FHOHH，FH，OH平面 OHF， 所以平面 OHF平面 PAD. 又因为 GH平面 OHF， 所以 GH平面 PAD. 12.(2021银川市长庆高级中学模拟)如图，在四棱锥 SABCD 中，ADCBCD90，AD DCSA1 2BC2，点 E，G 分别在线段 SA，AD 上，且 SEAE，AGGD，F 为棱 BC 上一点，且 CF1. 证明：平面 SCD平面 EFG. 证明因为点 E，G 分别在线段 SA，AD 上， 且 SEAE，AGGD， 故 EGSD， 又 E
31、G平面 SCD，SD平面 SCD， 故 EG平面 SCD； 因为ADCBCD90， 故 ADBC，因为 GDFC1， 故四边形 GDCF 为平行四边形，故 GFCD； 又 GF平面 SCD，CD平面 SCD，故 GF平面 SCD， 因为 GF平面 EFG，EG平面 EFG，EGFGG， 所以平面 SCD平面 EFG. 13(多选)在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N，Q 分别是棱 D1C1，A1D1，BC 的中点，点 P 在 BD1上且 BP2 3BD 1.则以下四个说法中正确的是() AMN平面 APC BC1Q平面 APC CA，P，M 三点共线 D平面 MNQ平面 APC 答案B
32、C 解析对于 A 项，连接 MN，AC， 则 MNAC，连接 AM，CN， 易得 AM，CN 交于点 P， 即 MN平面 APC，所以 MN平面 APC 是错误的； 对于 B 项，由 A 项知 M，N 在平面 APC 上， 由题易知 ANC1Q，AN平面 APC， 所以 C1Q平面 APC 是正确的； 对于 C 项，由 A 项知 A，P，M 三点共线是正确的； 对于 D 项，由 A 项知 MN平面 APC， 又 MN平面 MNQ， 所以平面 MNQ平面 APC 是错误的 14在三棱锥 PABC 中，PB6，AC3，G 为PAC 的重心，过点 G 作三棱锥的一个截 面，使截面平行于 PB 和 A
33、C，则截面的周长为_ 答案8 解析如图，过点 G 作 EFAC，分别交 PA，PC 于点 E，F，过点 E 作 ENPB 交 AB 于点 N，过点 F 作 FMPB 交 BC 于点 M，连接 MN，则四边形 EFMN 是平行四边形(平面 EFMN 为所求截面)， 且 EFMN2 3AC2，FMEN 1 3PB2， 所以截面的周长为 248. 15 (2021合肥市第一中学模拟)正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1， 点 M， N 分别是棱 BC， CC1的中点，动点 P 在正方形 BCC1B1(包括边界)内运动，且 PA1平面 AMN，则 PA1的长度 范围为() A. 1， 5 2B
34、. 3 2 4 ， 5 2 C. 3 2 4 ，3 2D. 1，3 2 答案B 解析取 B1C1的中点 E，BB1的中点 F，连接 A1E，A1F，EF， 取 EF 的中点 O，连接 A1O，如图所示， 点 M，N 分别是棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中棱 BC，CC1的中点， AMA1E，MNEF， AMMNM，A1EEFE，AM，MN平面 AMN，A1E，EF平面 A1EF， 平面 AMN平面 A1EF， 动点 P 在正方形 BCC1B1(包括边界)内运动， 且 PA1平面 AMN， 点 P 的轨迹是线段 EF， A1EA1F12 1 2 2 5 2 ，EF1 2 1212
35、 2 2 ， A1OEF， 当 P 与 O 重合时，PA1的长度取最小值 A1O， A1O 5 2 2 2 4 23 2 4 ， 当 P 与 E(或 F)重合时，PA1的长度取最大值 A1E 或 A1F，A1EA1F 5 2 . PA1的长度范围为 3 2 4 ， 5 2 . 16.(2021宜昌调研)如图，在四棱锥 PABCD 中，侧棱 PA平面 ABCD，四边形 ABCD 是直 角梯形，BCAD，ABAD，PAAB2，AD3BC3，E 在棱 AD 上，且 AE1，若平面 CEF 与棱 PD 相交于点 F，且平面 CEF平面 PAB. (1)求PF FD的值； (2)求点 F 到平面 PBC
36、 的距离 解(1)平面 CEF平面 PAB， 且平面 CEF平面 PADEF，平面 PAB平面 PADPA， PAEF， 又 AE11 3AD，PF 1 3PD， PF FD 1 2. (2)F 为 PD 的三等分点， F 到平面 PBC 的距离等于 D 到平面 PBC 的距离的1 3， 设 D 到平面 PBC 的距离为 h， PA平面 ABCD， PABC， 又BCAD，ABAD，BCAB， PAABA，PA，AB平面 PAB， BC平面 PAB，BCPB， 由等体积法得 VDPBCVPBCD， 即 1 3S PBCh1 3S DBCPA， PAAB2，AD3BC3， PB2 2，BC1， SPBC1 2PBBC 2，S DBC1 2BCAB1， h 2， F 到平面 PBC 的距离等于 2 3 .
