1、7.4直线、平面垂直的判定与性质直线、平面垂直的判定与性质 考试要求1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关 性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命 题 1直线与平面垂直 (1)定义：一般地，如果直线 l 与平面内的任意一条直线都垂直，就说直线 l 与平面互相垂 直 (2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理： 文字语言图形语言符号语言 判定 定理 如果一条直线与一个平面 内的两条相交直线垂直，那 么该直线与此平面垂直 la lb abO a，b l 性质 定理 垂直于同一个平面的两条 直线平行 a b ab 2.平面
2、与平面垂直 (1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直 (2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理： 文字语言图形语言符号语言 判定 定理 如果一个平面过另一个平面 的垂线，那么这两个平面垂直 l l 性质 定理 两个平面垂直，如果一个平面 内有一直线垂直于这两个平 面的交线，那么这条直线与另 一个平面垂直 a la l l 3.空间角 (1)直线和平面所成的角 定义： 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角， 叫做这条直线和这个平面所成的角 范围： 0， 2 . (2)二面角 定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 二面角的平面角：以二面
3、角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条 射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 二面角的平面角的范围：0， 微思考 1若平面，且l，若直线 ml，则 m 与平面一定垂直吗？ 提示不一定，当 m时，m. 2空间中任一直线 m，在平面内是否存在无数条直线与 m 垂直？ 提示存在 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)垂直于同一个平面的两个平面平行() (2)直线 l 与平面内的无数条直线都垂直，则 l.() (3)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.() (4)过平面外一点有且只有一条直线垂直于这个平面() 题组二教材改编 2下列
4、命题中错误的是() A如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面 B如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 C如果平面平面，平面平面，l，那么 l平面 D如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面 答案D 解析对于 D，若平面平面，则平面内的直线可能不垂直于平面，即与平面的关系 还可以是斜交、平行或在平面内，其他选项均是正确的 3设，为两个不同的平面，直线 l，则“l”是“”成立的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 答案A 解析依题意，由 l，l，可以推出；反过来，由，l不能推出 l，因此 “l”是“”成立的充分不必要条件，故选 A
5、. 4.如图，已知 AB平面 BCD，BCCD，则图中互相垂直的平面有_对 答案3 解析AB平面 BCD，AB平面 ABD，AB平面 ABC， 平面 ABD平面 BCD，平面 ABC平面 BCD. 又 ABCD，BCCD，ABBCB， CD平面 ABC. 又 CD平面 ACD， 平面 ACD平面 ABC. 题组三易错自纠 5“直线 a 与平面内的无数条直线都垂直”是“直线 a 与平面垂直”的_条件 答案必要不充分 6在三棱锥 PABC 中，点 P 在平面 ABC 上的射影为点 O. (1)若 PAPBPC，则点 O 是ABC 的_心； (2)若 PAPB，PBPC，PCPA，则点 O 是ABC
6、 的_心 答案(1)外(2)垂 解析(1)如图 1，连接 OA，OB，OC，OP， 在 RtPOA，RtPOB 和 RtPOC 中，PAPCPB， 所以 OAOBOC， 即 O 为ABC 的外心 (2)如图 2，延长 AO，BO，CO 分别交 BC，AC，AB 于点 H，D，G. PCPA，PBPC，PAPBP，PA，PB平面 PAB， PC平面 PAB，又 AB平面 PAB， PCAB， ABPO，POPCP，PO，PC平面 PGC， AB平面 PGC，又 CG平面 PGC， ABCG，即 CG 为ABC 边 AB 上的高 同理可证 BD，AH 分别为ABC 边 AC，BC 上的高， 即 O
7、 为ABC 的垂心. 题型一 直线与平面垂直的判定与性质 例 1 如图，在四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 是矩形，AB平面 PAD，ADAP，E 是 PD 的中点，M，N 分别在 AB，PC 上，且 MNAB，MNPC.证明：AEMN. 证明AB平面 PAD，AE平面 PAD， AEAB， 又 ABCD，AECD. ADAP，E 是 PD 的中点，AEPD. 又 CDPDD，CD，PD平面 PCD， AE平面 PCD. MNAB，ABCD，MNCD. 又MNPC，PCCDC，PC，CD平面 PCD， MN平面 PCD，AEMN. 思维升华 证明线面垂直的常用方法及关键 (1)证明直线
8、和平面垂直的常用方法： 判定定理； 垂直于平面的传递性(ab， ab)； 面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质 (2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质 跟踪训练 1 如图所示， 在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD， ABAD， ACCD，ABC 60，PAABBC，E 是 PC 的中点，证明： (1)CDAE； (2)PD平面 ABE. 证明(1)在四棱锥 PABCD 中， PA底面 ABCD，CD平面 ABCD，PACD， ACCD，PAACA，CD平面 PAC. 而 AE平面 PAC，CDAE. (2)由 PAABBC，ABC60，可得 A
9、CPA. E 是 PC 的中点，AEPC. 由(1)知 AECD，且 PCCDC，PC，CD平面 PCD，AE平面 PCD. 而 PD平面 PCD，AEPD. PA底面 ABCD，PAAB. 又ABAD 且 PAADA，PA，AD平面 PAD， AB平面 PAD，而 PD平面 PAD，ABPD. 又ABAEA，AB，AE平面 ABE， PD平面 ABE. 题型二 平面与平面垂直的判定与性质 例 2在矩形 ABCD 中，AB2AD4，E 是 AB 的中点，沿 DE 将ADE 折起，得到如图所 示的四棱锥 PBCDE. (1)若平面 PDE平面 BCDE，求四棱锥 PBCDE 的体积； (2)若
10、PBPC，求证：平面 PDE平面 BCDE. (1)解如图所示，取 DE 的中点 M，连接 PM， 由题意知，PDPE，PMDE， 又平面 PDE平面 BCDE，平面 PDE平面 BCDEDE，PM平面 PDE， PM平面 BCDE， 即 PM 为四棱锥 PBCDE 的高 在等腰直角三角形 PDE 中，PEPDAD2， PM1 2DE 2， 而直角梯形 BCDE 的面积 S1 2(BECD)BC 1 2(24)26， 四棱锥 PBCDE 的体积 V1 3PMS 1 3 262 2. (2)证明取 BC 的中点 N，连接 PN，MN，则 BCMN， PBPC，BCPN， MNPNN，MN，PN平
11、面 PMN， BC平面 PMN， PM平面 PMN，BCPM， 由(1)知，PMDE， 又 BC，DE平面 BCDE，且 BC 与 DE 是相交的， PM平面 BCDE， PM平面 PDE， 平面 PDE平面 BCDE. 思维升华 (1)面面垂直判定的两种方法与一个转化 两种方法： ()面面垂直的定义； ()面面垂直的判定定理(a，a) 一个转化： 在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化在一个平面内作交线的垂线，转化为 线面垂直，然后进一步转化为线线垂直 (2)面面垂直性质的应用 两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据， 运用时要注意“平面内的直线” 两个相交平面同时垂直
12、于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面 跟踪训练 2 (2020江苏)在三棱柱 ABCA1B1C1中，ABAC，B1C平面 ABC，E，F 分别是 AC，B1C 的中点 (1)求证：EF平面 AB1C1； (2)求证：平面 AB1C平面 ABB1. 证明(1)因为 E，F 分别是 AC，B1C 的中点， 所以 EFAB1. 又 EF平面 AB1C1，AB1平面 AB1C1， 所以 EF平面 AB1C1. (2)因为 B1C平面 ABC，AB平面 ABC， 所以 B1CAB. 又 ABAC，B1C平面 AB1C，AC平面 AB1C， B1CACC， 所以 AB平面 AB1C. 又因为 AB平
13、面 ABB1， 所以平面 AB1C平面 ABB1. 题型三 垂直关系的综合应用 例 3 (2020红河州模拟)在四棱锥 PABCD 中，PAD 是等边三角形，且平面 PAD平面 ABCD，AD2AB2BC，BADABC90. (1)在 AD 上是否存在一点 M，使得平面 PCM平面 ABCD，若存在，请证明；若不存在，请 说明理由； (2)若PCD 的面积为 8 7，求四棱锥 PABCD 的体积 解(1)存在，当 M 为 AD 的中点时，使得平面 PCM平面 ABCD. 证明：取 AD 的中点 M，连接 CM，PM， 由PAD 是等边三角形， 可得 PMAD， 由平面 PAD平面 ABCD，P
14、M平面 PAD，平面 PAD平面 ABCDAD， 可得 PM平面 ABCD， 由 PM平面 PCM，可得平面 PCM平面 ABCD. (2)设 ABa，可得 BCa，AD2a， 可得 MCABMDa， 则 CD 2a，PD2a， 由 PMMC，可得 PC PM2MC2 3a2a22a， 由 SPCD1 2 2a 4a21 2a 2 7 2 a28 7， 可得 a4， 所以四棱锥 PABCD 的体积 V1 3S 四边形ABCDPM1 3 1 2(48)44 332 3. 思维升华 对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关 系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满
15、足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾 的结论则否定假设 跟踪训练 3 如图，在四棱锥 SABCD 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形，ABC60， SAD 为正三角形侧面 SAD底面 ABCD，E，F 分别为棱 AD，SB 的中点 (1)求证：AF平面 SEC； (2)求证：平面 ASB平面 CSB； (3)在棱 SB 上是否存在一点 M，使得 BD平面 MAC？若存在，求BM BS 的值；若不存在，请说 明理由 (1)证明取 SC 的中点 G，连接 FG，EG， F，G 分别是 SB，SC 的中点，FGBC，FG1 2BC， 四边形 ABCD 是菱形，E 是 AD 的中点， AEB
16、C，AE1 2BC， FGAE，FGAE，四边形 AFGE 是平行四边形， AFEG，又 AF平面 SEC，EG平面 SEC， AF平面 SEC. (2)证明SAD 是等边三角形，E 是 AD 的中点， SEAD， 四边形 ABCD 是菱形，ABC60， ACD 是等边三角形，又 E 是 AD 的中点， ADCE，又 SECEE，SE，CE平面 SEC， AD平面 SEC，又 EG平面 SEC， ADEG，又四边形 AFGE 是平行四边形， 四边形 AFGE 是矩形， AFFG， 又 SAAB，F 是 SB 的中点， AFSB，又 FGSBF，FG，SB平面 SBC， AF平面 SBC，又 A
17、F平面 ASB， 平面 ASB平面 CSB. (3)解假设在棱 SB 上存在点 M，使得 BD平面 MAC， 连接 MO，BE，则 BDOM， 四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形，ABC60，SAD 为正三角形， BE 7，SE 3，BD2OB2 3，SD2，SEAD， 侧面 SAD底面 ABCD， 侧面 SAD底面 ABCDAD，SE平面 SAD， SE平面 ABCD， SEBE， SB SE2BE2 10， cosSBDSB 2BD2SD2 2SBBD 3 30 20 ， 又在 RtBMO 中，cosSBDOB BM 3 30 20 ， BM2 10 3 ， BM BS 2 3. 课时
18、精练课时精练 1(2021海南模拟)设和是两个不同的平面，m，n 是两条不同的直线，则下列说法不正确 的是() A若 m，n，mn，则 B若 m，n，则 mn C若 m，n，mn，则 D若 m，n，则 mn 答案A 解析m，n，mn，并不能推出，这时和可能相交，故 A 错误； 若 m，则 m，又 n，则 mn，B 正确； 若 m，mn，则 n或 n，又 n，则，C 正确； 若 m，则 m，又 n，则 mn，D 正确 2设 m，n 是两条不同的直线，是两个不同的平面，且直线 m，直线 n，则下列 命题为真命题的是() A“mn”是“n”的充分条件 B“mn”是“m”的既不充分也不必要条件 C“”
19、是“mn”的充要条件 D“mn”是“”的必要条件 答案B 解析n能得到 nm，但 nm 不能得出 n，A 错； mn 时，m 也可能在平面内，不能得出 m，反之，m，内的直线也不一定与 m 平行， 即不能得出 mn， “mn”是“m”的既不充分也不必要条件，B 正确； 时，m，n 可能是异面直线，不一定平行，mn 时，也可能相交，不一定平行，C 错； 两个平面垂直，分别在这两个平面内的两条直线可能相交，可能平行，不一定垂直，D 错 3.如图，在斜三棱柱 ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，则 C1在底面 ABC 上的射影 H 必在() A直线 AB 上B直线 BC 上 C直线 AC
20、上DABC 内部 答案A 解析由 ACAB，ACBC1，得 AC平面 ABC1. 因为 AC平面 ABC，所以平面 ABC1平面 ABC. 所以 C1在平面 ABC 上的射影 H 必在两平面的交线 AB 上 4.如图，在正四面体 PABC 中，D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，下面四个结论不成 立的是() ABC平面 PDFBDF平面 PAE C平面 PDF平面 PAED平面 PDE平面 ABC 答案D 解析因为 BCDF，DF平面 PDF，BC平面 PDF， 所以 BC平面 PDF，故选项 A 正确； 在正四面体中，AEBC，PEBC，AEPEE， 且 AE，PE平面 PAE，所
21、以 BC平面 PAE， 因为 DFBC，所以 DF平面 PAE， 又 DF平面 PDF，从而平面 PDF平面 PAE. 因此选项 B，C 均正确 5(多选)(2021济宁模拟)如图所示，在四个正方体中，l 是正方体的一条体对角线，点 M，N， P 分别为其所在棱的中点，能得出 l平面 MNP 的图形为() 答案AD 解析对于 AD 项，根据正方体的性质可得 lMN，lMP，可得 l平面 MNP. 而 BC 项，无法得出 l平面 MNP. 6 (多选)如图， PA垂直于以 AB为直径的圆所在平面， C为圆上异于 A， B的任意一点， AEPC， 垂足为 E，点 F 是 PB 上一点，则下列判断中
22、正确的是() ABC平面 PAC BAEEF CACPB D平面 AEF平面 PBC 答案ABD 解析对于 A，PA 垂直于以 AB 为直径的圆所在平面，而 BC底面圆面，则 PABC， 又由圆的性质可知 ACBC，且 PAACA，PA，AC平面 PAC， 则 BC平面 PAC.所以 A 正确； 对于 B，由 A 项可知 BCAE， 由题意可知 AEPC，且 BCPCC，BC，PC平面 PCB， 所以 AE平面 PCB，而 EF平面 PCB， 所以 AEEF，所以 B 正确； 对于 C，由 B 项可知 AE平面 PCB，因而 AC 与平面 PCB 不垂直， 所以 ACPB 不成立，所以 C 错
23、误； 对于 D，由 B 项可知，AE平面 PCB，AE平面 AEF， 由面面垂直的判定定理可得平面 AEF平面 PBC. 所以 D 正确 7已知ABC 在平面内，A90，DA平面，则直线 CA 与 DB 的位置关系是_ 答案垂直 解析DA平面，AC平面，DACA， 在ABC 中，A90，ABCA， 且 DABAA，DA，BA平面 ADB， CA平面 DAB，DB平面 DAB， CADB. 8已知平面，和直线 m，给出以下条件：(1)m；(2)m；(3)m；(4)；(5)， 当条件_成立时，有 m；当条件_成立时，有 m.(填所选条件的序号) 答案(3)(5)(2)(5) 解析根据面面平行的特征
24、可得，若 m， 则 m； 根据线面垂直以及面面平行的特征可得， 若 m，则 m. 9.如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，且底面各边都相等，M 是 PC 上的一 动点，当点 M 满足_时，平面 MBD平面 PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可) 答案DMPC(或 BMPC 等) 解析PA底面 ABCD， BDPA，连接 AC(图略)， 则 BDAC，且 PAACA，PA，AC平面 PAC， BD平面 PAC，BDPC. 当 DMPC(或 BMPC)时，即有 PC平面 MBD， 而 PC平面 PCD，平面 MBD平面 PCD. 10如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，
25、ADAB1，ADAB，BCD45，将ABD 沿 对角线 BD 折起， 设折起后点 A 的位置为 A， 并且平面 ABD平面 BCD.则给出下面四个 命题，正确的是_(把正确结论的序号都填上) ADBC；三棱锥 ABCD 的体积为 2 2 ； BACA；平面 ABC平面 ADC. 答案 解析如图所示，取 BD 的中点 E，连接 AE. 又因为 ABAD， 所以 AEBD， 所以 AE平面 BCD， 所以 AEBC. 若 ADBC，则可得到 BC平面 ABD，故 BCBD，与已知矛盾，故错误 三棱锥 ABCD 的体积 V1 3 1 2 2 2 2 2 2 6 ，故错误 在直角三角形 ACD 中，A
26、C2CD2AD2， 所以 AC 3. 在三角形 ABC 中，AB1，BC2，AC 3，满足 BC2AB2AC2，所以 BACA.故正确 又 BADA，所以 BA平面 ADC，所以平面 ABC平面 ADC，故正确 11.如图，在三棱锥 ABCD 中，ABAD，BCBD，平面 ABD平面 BCD，点 E，F(E 与 A， D 不重合)分别在棱 AD，BD 上，且 EFAD. 求证：(1)EF平面 ABC； (2)ADAC. 证明(1)在平面 ABD 内，因为 ABAD，EFAD， 所以 EFAB. 又因为 EF平面 ABC，AB平面 ABC， 所以 EF平面 ABC. (2)因为平面 ABD平面
27、BCD，平面 ABD平面 BCDBD， BC平面 BCD，BCBD，所以 BC平面 ABD. 因为 AD平面 ABD，所以 BCAD. 又 ABAD，BCABB，AB，BC平面 ABC，所以 AD平面 ABC. 又因为 AC平面 ABC，所以 ADAC. 12如图，三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，PA1，AB1，AC2，BAC60. (1)求三棱锥 PABC 的体积； (2)在线段 PC 上是否存在点 M，使得 ACBM，若存在点 M，求出PM MC的值；若不存在，请 说明理由 解(1)由题知 AB1，AC2，BAC60， 可得 SABC1 2ABACsin 60 3 2 ， 由 PA
28、平面 ABC，可知 PA 是三棱锥 PABC 的高 又 PA1，所以三棱锥 PABC 的体积 V1 3S ABCPA 3 6 . (2)在平面 ABC 内，过点 B 作 BNAC，垂足为 N.在平面 PAC 内，过点 N 作 MNPA 交 PC 于点 M，连接 BM. 由 PA平面 ABC 及 AC平面 ABC 知 PAAC，所以 MNAC. 由于 BNMNN，故 AC平面 MBN. 又 BM平面 MBN，所以 ACBM. 在 RtBAN 中，ANABcosBAC1 2， 从而 NCACAN3 2. 由 MNPA，得PM MC AN NC 1 3. 13.(2020韶关模拟)如图，在四棱锥 P
29、ABCD 中，四边形 ABCD 是正方形，侧棱 PD底面 ABCD，PDDC，E 是棱 PC 的中点，作 EFPB 交 PB 于点 F，下列说法不正确的是() AOEPAB平面 PAC平面 PBD CPB平面 EFDDBDED 答案D 解析四边形 ABCD 是正方形，O 是 AC 的中点， E 是棱 PC 的中点，PAOE，故 A 正确； PD平面 ABCD，PDAC， 又 ACBD，PDDBD，PD，BD平面 PDB， AC平面 PBD，又 AC平面 PAC， 平面 PAC平面 PDB，故 B 正确； PD平面 ABCD，PDBC， 由四边形 ABCD 是正方形，得 BCCD， 又 PDCD
30、D，PD，CD平面 PCD， BC平面 PCD， 又 DE平面 PCD， BCDE. PDDC，E 是 PC 的中点，DEPC， PCBCC，PC，BC平面 PBC， DE平面 PBC， PB平面 PBC，PBDE， 又 EFPB，DEEFE，DE，EF平面 EFD， PB平面 EFD，故 C 正确； 由 DE平面 PBC，知 DEEB，故 D 错误 14(2020大庆模拟)已知四条边长均为 23的空间四边形 ABCD 的顶点都在同一个球面上， 若BAD 3，平面 ABD平面 CBD，则该球的体积为_ 答案 20 5 3 解析如图所示， 设 E 是ABD 的外心，F 是BCD 的外心， 过点
31、E，F 分别作平面 ABD 与平面 BCD 的垂线 OE，OF，相交于点 O， 由空间四边形 ABCD 的边长为 2 3，BAD 3， 所以ABD 与BCD 均为等边三角形， 又平面 ABD平面 CBD， 所以 O 为四面体 ABCD 外接球的球心， 又 AE2 3 2 32 322， 所以 OE1，所以外接球的半径为 R 2212 5， 所以外接球的体积为 V4R 3 3 4 3 ( 5)320 5 3 . 15.(2020广州模拟)如图， 在四棱锥 SABCD 中， 底面四边形 ABCD 为矩形， SA平面 ABCD， P，Q 分别是线段 BS，AD 的中点，点 R 在线段 SD 上若 A
32、S4，AD2，ARPQ，则 AR _. 答案 4 5 5 解析如图，取 SA 的中点 E，连接 PE，QE. SA平面 ABCD，AB平面 ABCD，SAAB， 而 ABAD，ADSAA， AB平面 SAD， 又 P，E 分别是 SB，SA 的中点， PEAB， 故 PE平面 SAD， 又 AR平面 SAD， PEAR. 又ARPQ，PEPQP， AR平面 PEQ， EQ平面 PEQ，AREQ， E，Q 分别为 SA，AD 的中点， EQSD，则 ARSD， 在 RtASD 中，AS4，AD2，可求得 SD2 5， 由等面积法可得 AR4 5 5 . 16.(2020黄山模拟)如图，在四棱锥
33、PABCD 中，PA平面 ABCD，PAABBC 3，AD CD1，ADC120，点 M 是 AC 与 BD 的交点，点 N 在线段 PB 上，且 PN1 4PB. (1)证明：MN平面 PDC； (2)在线段 BC 上是否存在一点 Q，使得平面 MNQ平面 PAD，若存在，求出点 Q 的位置； 若不存在，请说明理由 (1)证明在四边形 ABCD 中， 由 ABBC 3，ADCD1， 可得ABDCBD， 可得 ACBD，且 M 为 AC 的中点， 由 ADCD1，ADC120， 可得 DMCDcos 601 2，AC2CDsin 60 3， 则 BM 3 2 33 2， 由DM BM PN B
34、N 1 3，可得 MNPD， 而 MN平面 PCD，PD平面 PCD， 可得 MN平面 PDC. (2)解过 M 作 MEAD，垂足为 E，延长 EM 交 BC 于 Q，连接 NQ，NE，如图， 由 PA平面 ABCD，EQ平面 ABCD，可得 PAEQ， 又 EQAD，可得 EQ平面 PAD，EQ平面 MNQ，可得平面 MNQ平面 PAD，故存在这 样的点 Q. 在 RtDME 中，EMD906030， 在BQM 中，QBMBMQ30，BQM120， 由 BM3 2， BQ sin 30 BM sin 120， 可得 BQBM 3 3 2 ，即 Q 为 BC 的中点， 则 Q 为 BC 的中点时，平面 MNQ平面 PAD.
