1、5.2平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示 考试要求1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3. 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件 1平面向量基本定理 如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有 一对实数1，2，使 a1e12e2. 我们把不共线的向量 e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 2平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解 3平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设 a(
2、x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab(x1x2，y1y2)， ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)， |a| x21y21. (2)向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB (x 2x1，y2y1)，|AB | x 2x12y2y12. 4平面向量共线的坐标表示 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中 b0，则 abx1y2x2y10. 微思考 1若两个向量存在夹角，则向量的夹角与直线的夹角一样吗？为什么？ 提示不一样因为向量有方向，而直线不考虑方向当向量的夹角为直角或锐角时，与直 线的夹角相同当向量的夹
3、角为钝角或平角时，与直线的夹角不一样 2平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗？ 提示不一定两个向量只有不共线时，才能作为一组基底表示平面内的任一向量 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底() (2)若 a，b 不共线，且1a1b2a2b，则12，12.() (3)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件可表示成x1 x2 y1 y2.( ) (4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变() 题组二教材改编 2(多选)如图所示，C，D 是线段 AB 上的两个三等分点，则下列关系式正确的是(
4、) A.AB 3AC B.DA 2CD C.AC BD 0D.BC AD 答案ABC 3已知ABCD 的顶点 A(1，2)，B(3，1)，C(5,6)，则顶点 D 的坐标为_ 答案(1,5) 解析设 D(x，y)，则由AB DC ，得(4,1)(5x,6y)， 即 45x， 16y， 解得 x1， y5. 4.如图， OA ，OB 不共线，且AP tAB(tR)，用OA ，OB 表示OP _. 答案(1t)OA tOB 解析AP tAB， OP OA AP OA tAB OA t(OB OA ) OA tOB tOA (1t)OA tOB . 题组三易错自纠 5(多选)设 O 是平行四边形 A
5、BCD 的两条对角线 AC，BD 的交点，其中可作为这一个平行 四边形所在平面的一个基底的是() A.AD ，AB B.DA ，BC C.CA ，DC D.OD ，OB 答案AC 解析平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，如图， 对于 A，AD 与AB 不共线，可作为基底； 对于 B，DA 与BC 为共线向量，不可作为基底； 对于 C，CA 与DC 是两个不共线的向量，可作为基底； 对于 D，OD 与OB 在同一条直线上，是共线向量，不可作为基底 6(多选)已知向量 a(1，2)，|b|4|a|，ab，则 b 可能是() A(4,8)B(4，8) C(4，8)D(4,8) 答案BD 解析设
6、 b(x，y)，依题意有 x2y2412(2)2， y2x0， 解得 x4， y8 或 x4， y8. 题型一 平面向量基本定理的应用 例 1 (1)在ABC 中，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，且BD 2DC ，CE 3EA，若ABa，AC b，则DE 等于() A.1 3a 5 12b B.1 3a 13 12b C1 3a 5 12b D1 3a 13 12b 答案C 解析DE DC CE 1 3BC 3 4CA 1 3(AC AB)3 4AC 1 3AB 5 12AC 1 3a 5 12b. (2)(2021郑州质检)如图，在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别为边 AB，BC
7、 的中点，连接 CE， DF，交于点 G.若CG CD CB (，R)，则 _. 答案 1 2 解析由题图可设CG xCE (0 x1)， 则CG x(CB BE)xCB 1 2CD x 2CD xCB . 因为CG CD CB ，CD 与CB 不共线， 所以x 2，x，所以 1 2. 思维升华 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进 行向量的加、减或数乘运算一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向 量间的关系 (2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结 论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决注意同
8、一个向量在不同基底下的分解是不 同的，但在每个基底下的分解都是唯一的 跟踪训练 1 如图，已知在OCB 中，A 是 CB 的中点，D 是将OB 分成 21 的一个内分点， DC 和 OA 交于点 E，设OA a，OB b. (1)用 a 和 b 表示向量OC ， DC ； (2)若OE OA ，求实数的值 解(1)由题意知，A 是 BC 的中点， 且OD 2 3OB ，由平行四边形法则，得OB OC 2OA ， 所以OC 2OA OB 2ab， DC OC OD (2ab)2 3b2a 5 3b. (2)由题意知，EC DC ，故设EC xDC . 因为EC OC OE (2ab)a(2)ab
9、， DC 2a5 3b. 所以(2)abx 2a5 3b. 因为 a 与 b 不共线， 所以由平面向量基本定理， 得 22x， 15 3x， 解得 x3 5， 4 5. 故4 5. 题型二 平面向量的坐标运算 例 2 已知 A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设AB a，BCb，CAc，且CM 3c，CN 2b. (1)求 3ab3c； (2)求满足 ambnc 的实数 m，n； (3)求 M，N 的坐标及向量MN 的坐标 解由已知得 a(5，5)，b(6，3)，c(1,8) (1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8) (1563，15324)(6，42) (2)方法一mbnc(6
10、mn，3m8n)， 6mn5， 3m8n5， 解得 m1， n1. 方法二abc0， abc， 又ambnc， mbncbc， m1， n1. (3)设 O 为坐标原点，CM OM OC 3c， OM 3cOC (3,24)(3，4)(0,20) M(0,20) 又CN ON OC 2b， ON 2bOC (12,6)(3，4)(9,2)， N(9,2)，MN (9，18) 1本例中条件不变，如何利用向量求线段 AB 中点的坐标？ 解设 O 为坐标原点，P(x，y)是线段 AB 的中点， 则OP 1 2(OA OB )， 即(x，y)1 2(2,4)(3，1) 1 2， 3 2 ， 线段 AB
11、 中点的坐标为 1 2， 3 2 . 2本例中条件不变，如何利用向量求ABC 的重心 G 的坐标？ 解设 AB 的中点为 P，O 为坐标原点， CG 2 3CP ， OG 1 3OC 2 3OP 1 3OC 1 3(OA OB )， OG 1 3(OA OB OC )1 3(2,4)(3，1)(3，4) 2 3， 1 3 ， 重心 G 的坐标为 2 3， 1 3 . 思维升华 向量的坐标运算主要是利用向量的加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线 段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用 跟踪训练 2 (1)已知 O 为坐标原点，点 C 是线段 AB 上一点，且
12、A(1,1)，C(2,3)，|BC |2|AC|， 则向量OB 的坐标是_ 答案(4,7) 解析由点 C 是线段 AB 上一点，|BC |2|AC |， 得BC 2AC.设点 B 为(x，y)，则(2x,3y)2(1,2)， 即 2x2， 3y4， 解得 x4， y7. 所以向量OB 的坐标是(4,7) (2)如图所示，以 e1，e2为基底，则 a_. 答案2e1e2 解析以 e1的起点为坐标原点，e1所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，则 e1(1,0)，e2 (1,1)，a(3,1)，令 axe1ye2，即(3,1)x(1,0)y(1,1)， 则 xy3， y1， 所以 x2， y1，
13、即 a2e1e2. 题型三 向量共线的坐标表示 命题点 1利用向量共线求参数 例3 (1)(2020惠州调研)已知向量a(2,1)， b(x， 1)， 且ab与b共线， 则x的值为_ 答案2 解析a(2,1)，b(x，1)， ab(2x,2)， 又ab 与 b 共线， (2x)(1)2x0， x2. (2)(2018全国)已知向量 a(1,2)，b(2，2)，c(1，)若 c(2ab)，则_. 答案 1 2 解析由题意得 2ab(4,2)， 因为 c(1，)，且 c(2ab)， 所以 420，即1 2. 命题点 2利用向量共线求向量或点的坐标 例 4 在ABC 中，已知点 O(0,0)，A(0
14、,5)，B(4,3)，OC 1 4OA ，OD 1 2OB ，AD 与 BC 交于点 M，则点 M 的坐标为_ 答案 12 7 ，2 解析因为点 O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)， 所以点 C 0，5 4 ，同理点 D 2，3 2 . 设 M 的坐标为(x，y)， 则AM (x，y5)，而AD 2，7 2 ， 因为 A，M，D 三点共线，所以AM 与AD 共线， 所以7 2x2(y5)0，即 7x4y20， 而CM x，y5 4 ，CB 40，35 4 4，7 4 ， 因为 C，M，B 三点共线，所以CM 与CB 共线， 所以 7 4x4 y5 4 0，即 7x16y20， 由 7x4
15、y20， 7x16y20， 得 x12 7 ， y2， 所以点 M 的坐标为 12 7 ，2 . 思维升华 平面向量共线的坐标表示问题的解题策略 (1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件是 x1y2x2y1” (2)在求与一个已知向量 a 共线的向量时，可设所求向量为a(R) 跟踪训练 3 (2020山东省文登二中模拟)平面内给定三个向量 a(3,2)，b(1,2)，c(4,1) (1)若(akc)(2ba)，求实数 k； (2)若 d 满足(dc)(ab)，且|dc| 5，求 d 的坐标 解(1)akc(34k,2k)，
16、2ba(5,2)， 由题意得 2(34k)(5)(2k)0， 解得 k16 13. (2)设 d(x，y)， 则 dc(x4，y1)， 又 ab(2,4)，|dc| 5， 4x42y10， x42y125， 解得 x3， y1 或 x5， y3. d 的坐标为(3，1)或(5,3) 课时精练课时精练 1在如图所示的平面直角坐标系中，向量AB 的坐标是( ) A(2,2)B(2，2) C(1,1)D(1，1) 答案D 解析因为 A(2,2)，B(1,1)，所以AB (1，1)故选 D. 2在下列向量组中，可以把向量 a(3,2)表示出来的是() Ae1(0,0)，e2(1,2) Be1(1,2)
17、，e2(5，2) Ce1(3,5)，e2(6,10) De1(2，3)，e2(2,3) 答案B 解析对于 A，C，D 都有 e1e2，所以只有 B 成立 3(2020太原模拟)设向量 a(m,2)，b(1，m1)，且 a 与 b 的方向相反，则实数 m 的值为 () A2B1 C2 或 1Dm 的值不存在 答案A 解析向量 a(m,2)，b(1，m1)，因为 ab，所以 m(m1)21，解得 m2 或 m 1.当 m1 时，a(1,2)，b(1,2)，a 与 b 的方向相同，舍去；当 m2 时，a(2,2)， b(1，1)，a 与 b 的方向相反，符合题意，故选 A. 4在平面直角坐标系 xO
18、y 中，已知 A(1,0)，B(0,1)，C 为第一象限内一点，AOC 4，且|OC| 2，若OC OA OB ，则等于() A2 2B. 2C2D4 2 答案A 解析因为|OC|2，AOC 4，C 为第一象限内一点， 所以 C( 2， 2)， 又OC OA OB ， 所以( 2， 2)(1,0)(0,1)(，)， 所以 2，2 2. 5(多选)已知向量OA (1，3)，OB (2，1)，OC (m1，m2)，若点 A，B，C 能构 成三角形，则实数 m 可以是() A2B.1 2 C1D1 答案ABD 解析各选项代入验证，若 A，B，C 三点不共线即可构成三角形因为AB OB OA (2，
19、1)(1，3)(1,2)，AC OC OA (m1，m2)(1，3)(m，m1)假设 A，B， C 三点共线，则 1(m1)2m0，即 m1.所以只要 m1，A，B，C 三点就可构成三角 形，故选 ABD. 6(多选)设 a 是已知的平面向量且 a0，关于向量 a 的分解，有如下四个命题(向量 b，c 和 a 在同一平面内且两两不共线)，则真命题是() A给定向量 b，总存在向量 c，使 abc B给定向量 b 和 c，总存在实数和，使 abc C给定单位向量 b 和正数，总存在单位向量 c 和实数，使 abc D给定正数和，总存在单位向量 b 和单位向量 c，使 abc 答案AB 解析向量
20、b，c 和 a 在同一平面内且两两不共线， b0，c0， 给定向量 a 和 b，只需求得其向量差 ab， 即为所求的向量 c， 故总存在向量 c，使 abc，故 A 正确； 当向量 b，c 和 a 在同一平面内且两两不共线时，向量 b，c 可作基底， 由平面向量基本定理可知结论成立，故 B 正确； 取 a(4,4)，2，b(1,0)， 无论取何值，向量b 都平行于 x 轴，而向量c 的模恒等于 2， 要使 abc 成立，根据平行四边形法则，向量c 的纵坐标一定为 4， 故找不到这样的单位向量 c 使等式成立，故 C 错误； 因为和为正数，所以b 和c 代表与原向量同向的且有固定长度的向量， 这
21、就使得向量 a 不一定能用两个单位向量的组合表示出来， 故不一定能使 abc 成立，故 D 错误 故选 AB. 7 (2021合肥质检)已知向量 a(1,3)， b(2， k)， 且(a2b)(3ab)， 则实数 k_. 答案6 解析a2b(3,32k)， 3ab(5,9k)， 由题意可得，3(9k)5(32k)，解得 k6. 8设向量 a(3,4)，向量 b 与向量 a 方向相反，且|b|10，则向量 b 的坐标为_ 答案(6，8) 解析不妨设向量 b 的坐标为 b(3m,4m)(m0)， 则|b| 3m24m210， 解得 m2(m2 舍去)， 故 b(6，8) 9已知 O 为坐标原点，向
22、量OA (1,2)，OB (2，1)，若 2AP AB，则|OP |_. 答案 2 2 解析设 P 点坐标为(x，y)，AB OB OA (2，1)(1,2)(3，3)，AP (x1，y 2)， 则由 2AP AB得，2(x1，y2)(3，3)， 所以 2x23， 2y43， 解得 x1 2， y1 2， 故|OP | 1 4 1 4 2 2 . 10(2021荆门检测)在AOB 中，AC 1 5AB ，D 为 OB 的中点，若DC OA OB ，则的 值为_ 答案 6 25 解析因为AC 1 5AB ，所以AC1 5(OB OA )， 因为 D 为 OB 的中点，所以OD 1 2OB . 所
23、以DC DO OC 1 2OB (OA AC ) 1 2OB OA 1 5(OB OA ) 4 5OA 3 10OB ，所以4 5， 3 10， 则的值为 6 25. 11已知 a(1,0)，b(2,1)， (1)当 k 为何值时，kab 与 a2b 共线； (2)若AB 2a3b，BCamb 且 A，B，C 三点共线，求 m 的值 解(1)kabk(1,0)(2,1)(k2，1)， a2b(1,0)2(2,1)(5,2) kab 与 a2b 共线， 2(k2)(1)50， 即 2k450，得 k1 2. (2)方法一A，B，C 三点共线，AB BC， 即 2a3b(amb)， 2， 3m，
24、解得 m3 2. 方法二AB 2a3b2(1,0)3(2,1)(8,3)， BC amb(1,0)m(2,1)(2m1，m)， A，B，C 三点共线，AB BC， 8m3(2m1)0，即 2m30，m3 2. 12.如图，已知平面内有三个向量OA ， OB ， OC ，其中OA 与OB 的夹角为 120，OA 与OC 的夹角 为 30，且|OA |OB |1，|OC |2 3.若OC OA OB (，R)，求的值 解方法一如图，作平行四边形 OB1CA1， 则OC OB1 OA 1 ， 因为OA 与OB 的夹角为 120，OA 与OC 的夹角为 30， 所以B1OC90. 在 RtOB1C 中
25、，OCB130，|OC |2 3， 所以|OB1 |2，|B 1C |4， 所以|OA1 |B 1C |4， 所以OC 4OA 2OB ， 所以4，2，所以6. 方法二以 O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则 A(1,0)，B 1 2， 3 2 ， C(3， 3) 由OC OA OB ， 得 31 2， 3 3 2 ， 解得 4， 2. 所以6. 13(2020河北衡水中学质检)已知在 RtABC 中，BAC90，AB1，AC2，D 是ABC 内一点，且DAB60，设AD AB AC(，R)，则 等于( ) A.2 3 3 B. 3 3 C3D2 3 答案A 解析如图，以 A 为原点
26、，AB 所在直线为 x 轴，AC 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系， 则 B 点的坐标为(1,0)，C 点的坐标为(0,2)， 因为DAB60，所以设 D 点的坐标为(m， 3m)(m0) AD (m， 3m)AB AC(1,0)(0,2)(，2)，则m，且3 2 m， 所以 2 3 3 . 14.(2020山东省实验中学等四校联考)如图，在 RtABC 中，ABC 2，AC2AB，BAC 的平分线交ABC 的外接圆于点 D，设AB a，ACb，则向量AD 等于() AabB.1 2ab Ca1 2b Da2 3b 答案C 解析设圆的半径为 r， 在 RtABC 中，ABC 2，AC2AB
27、， 所以BAC 3，ACB 6， 又BAC 的平分线交ABC 的外接圆于点 D， 所以ACBBADCAD 6， 则根据圆的性质得 BDCDAB， 又因为在 RtABC 中，AB1 2ACrOD， 所以四边形 ABDO 为菱形， 所以AD AB AO a1 2b. 故选 C. 15若，是平面内一组基底，向量xy(x，yR)，则称(x，y)为向量在基底，下 的坐标，现已知向量 a 在基底 p(1，1)，q(2,1)下的坐标为(2,2)，则 a 在基底 m (1,1)，n(1,2)下的坐标为_ 答案(0,2) 解析因为 a 在基底 p，q 下的坐标为(2,2)， 所以 a2p2q(2,4)， 令 a
28、xmyn(xy，x2y)， 所以 xy2， x2y4， 即 x0， y2， 所以 a 在基底 m，n 下的坐标为(0,2) 16如图，已知ABC 中，AB2，AC1，BAC120，AD 为角平分线 (1)求 AD 的长度； (2)过点 D 作直线分别交 AB，AC 所在直线于点 E，F，且满足AE xAB，AFyAC，求1 x 2 y的 值，并说明理由 解(1)根据角平分线定理可得DB DC AB AC2， 所以BD BC 2 3， 所以AD AB BD AB 2 3BC AB 2 3(AC AB)1 3AB 2 3AC ， 所以 AD 21 9AB 24 9AB AC 4 9AC 2 4 9 4 9 4 9 4 9， 所以 AD2 3. (2)因为AE xAB，AFyAC， 所以AD 1 3AB 2 3AC 1 3xAE 2 3yAF ， 因为 E，D，F 三点共线， 所以 1 3x 2 3y1，所以 1 x 2 y3.
