1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 补上一课 ,平面向量中极化恒等式、等和(高)线定理及最值(范围)问题) 1极化恒等式：ab1 4(ab) 2(ab)2 (1)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对 角线”与“差对角线”平方差的1 4. (2)平行四边形 PMQN，O 是对角线交点则： PM PN 1 4|PQ| 2|NM|2(平行四边形模式)； PM PN |PO|21 4|NM| 2(三角形模式) 2等和(高)线定理 (
2、1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若OP OA OB (，R)，则1，由OAB 与OAB相似，必存在一个常数 k， kR， 使得OP kOP ， 则OP kOP kOA kOB ， 又OP xOA yOB (x， yR)， xykkk；反之也成立 (2)平面内一组基底OA ，OB 及任一向量OP ，OP OA OB (，R)，若点 P 在直线 AB 上或在平行于 AB 的直线上，则k(定值)；反之也成立，我们把直 线 AB 以及与直线 AB 平行的直线成为等和(高)线 当等和线恰为直线 AB 时，k1； 当等和线在 O 点和直线 AB 之间时，k(0，1)； 当
3、直线 AB 在 O 点和等和线之间时，k(1，)； 当等和线过 O 点时，k0； 若两等和线关于 O 点对称，则定值 k 互为相反数； 定值 k 的变化与等和线到 O 点的距离成正比 3平面向量中的最值(范围)问题 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (1)向量投影、数量积、向量的模、夹角的最值(或范围) (2)向量表达式中字母参数的最值(或范围) 题型一极化恒等式的应用 【例 1】 (1)已知 AB 是圆 O 的直径，AB 长为 2，C 是圆 O 上异于
4、 A，B 的一点， P 是圆 O 所在平面上任意一点，则(PA PB)PC的最小值为( ) A1 4 B1 3 C1 2 D1 (2)(2020天津卷)如图，在四边形 ABCD 中，B60，AB3，BC6，且AD BC ，AD AB 3 2，则实数的值为_；若 M，N 是线段 BC 上的动点， 且|MN |1，则DM DN 的最小值为_ 答案(1)C(2)1 6 13 2 解析(1)PA PB2PO ，(PA PB)PC2PO PC ，取 OC 中点 D，由极化恒等 式得，PO PC |PD|21 4|OC| 2|PD|21 4，又|PD| 2 min0，(PA PB)PC的最小值 为1 2.
5、 (2)法一依题意得 ADBC，BAD120，由AD AB |AD |AB |cos BAD 3 2|AD |3 2，得|AD |1，因此|AD | |BC | 1 6.取 MN 的中点 E，连接 DE，则DM DN 2DE ，DM DN 1 4(DM DN )2(DM DN )2DE 21 4NM 2DE21 4.注意到线 段 MN 在线段 BC 上运动时，DE 的最小值等于点 D 到直线 BC 的距离，即 ABsin B3 3 2 ，因此 DE 21 4的最小值为 3 3 2 2 1 4 13 2 ，即DM DN 的最小值为13 2 . 法二因为AD BC ， 所以 ADBC，则BAD12
6、0， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 所以AD AB |AD |AB |cos 1203 2， 解得|AD |1. 因为AD ，BC 同向，且 BC6， 所以AD 1 6BC ，即1 6. 在四边形 ABCD 中，作 AOBC 于点 O，则 BOABcos 603 2，AOABsin 60 3 3 2 . 以 O 为坐标原点，以 BC 和 AO 所在直线分别为 x，y 轴建立平面直角坐标系 如图，设 M(a，0)，不妨设点 N 在点 M 右侧， 则 N
7、(a1，0)，且3 2a 7 2. 又 D 1，3 3 2，所以DM a1，3 3 2， DN a，3 3 2， 所以DM DN a2a27 4 a1 2 2 13 2 . 所以当 a1 2时，DM DN 取得最小值13 2 . 感悟升华(1)极化恒等式多用于向量的数量积； (2)注意在三角形、平行四边形中的应用 【训练 1】 (1)(2021杭州二中模拟)在ABC 中，M 是 BC 的中点，AM3 ，BC10，则AB AC_ (2)已知正三角形ABC内接于半径为2的圆 O， 点P是圆O上的一个动点， 则PA PB 的取值范围是_ 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 3230313
8、80 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 答案(1)16(2)2，6 解析(1)因为 M 是 BC 的中点，由极化恒等式得AB AC |AM|21 4|BC| 29 1 410016. (2)取 AB 的中点 D， 连接 CD， 因为三角形 ABC 为正三角形， 所以 O 为三角形 ABC 的重心，O 在 CD 上，且 OC2OD2，所以 CD3，AB2 3. 又由极化恒等式得 PA PBPD21 4AB 2PD23， 因为 P 在圆 O 上，所以当 P 在点 C 处时，PDmax3， 当 P 在 CO 的延长线与圆 O
9、的交点处时，PDmin1， 所以PA PB2，6 题型二等和线定理的应用 【例 2】 (1)如图，平面内有三个向量OA ， OB ， OC ，其中OA ， OB 120， OA ， OC 30， 且|OA |OB |1， |OC |2 3， 若OC mOA nOB ， 则 mn_ (2)在扇形 OAB 中，AOB60，C 为AB 上的一个动点，若OC xOA yOB ，则 3xy 的取值范围是_ 答案(1)6(2)1，3 解析(1)法一连接 AB，交 OC 于点 D，则 DOAOAD30，BOD90， |OD |OB |tan 30 3 3 ， |OD |DA | 3 3 ，|DB |2 3
10、3 ， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 由平面向量基本定理得OD 2 3OA 1 3OB ，|OC |2 36|OD |， OC 6 2 3OA 1 3OB 4OA 2OB ，mn6. 法二根据等高线定理可得|OC| |OD|kmn，k |OC | |OD | 2 3 3 3 6，mn6. (2)取 D 使得OD 1 3OA ，OC xOA yOB 3xOD yOB ，作一系列与 BD 平行的 直线与圆弧相交，当点 C 与点 B 重合时，3xy 取得最
11、小值 1，当点 C 与点 A 重 合时，3xy 取得最大值 3，故 3xy 的取值范围是1，3 感悟升华(1)“等和线”的解题步骤 确定值为 1 的等和线； 过动点作该线平行线，结合动点的可行域，分析在何点处取得最值； 利用长度比或该点的位置，求得最值或范围 (2)“等和线”多用于向量线性表示式中有关系数的最值、范围问题 (3)此类问题也可建系，用坐标法解决 【训练 2】 如图，四边形 OABC 是边长为 1 的正方形，点 D 在 OA 的延长线上， 且 AD1，点 P 是BCD(含边界)的动点，设OP OC OD ，则的最大值 为_ 答案 3 2 解析当点 P 位于 B 点时，过点 B 作
12、GHDC，交 OC，OD 的延长线于 G，H， 则OP xOG yOH ，且 xy1， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 GCBCOD，GC CO CB OD 1 2， OP OB xOG yOH 3 2xOC 3 2yOD OC OD ， 所以3 2x， 3 2y 3 2x 3 2y 3 2.故答案为 3 2. 题型三平面向量中的最值(范围)问题 角度 1函数型 【例 31】(1)(一题多解)(2020浙江卷)已知平面单位向量 e1， e2满足|2e1
13、e2| 2. 设 ae1e2，b3e1e2，向量 a，b 的夹角为，则 cos2的最小值是_ (2)(2021宁波十校联考)设向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，记 a*bx1x2y1y2，若 圆 C： x2y22x4y0 上的任意三个点 A1， A2， A3， 且 A1A2A2A3， 则|OA1 *OA2 OA2 *OA3 |(O 为坐标原点)的最大值是_ 答案(1)28 29 (2)16 解析(1)法一设 e1(1，0)，e2(x，y)， 则 a(x1，y)，b(x3，y) 由 2e1e2(2x，y)， 故|2e1e2| （2x）2y2 2，得(x2)2y22. 又有 x2y21，得
14、(x2)21x22， 化简，得 4x3，即 x3 4，因此 3 4x1. cos2 ab |a|b| 2 （x1） （x3）y2 （x1）2y2（x3）2y2 2 4x4 2x2 6x10 2 4（x1）2 （x1） （3x5） 4（x1） 3x5 4 3（3x5） 8 3 3x5 4 3 8 3 3x5 ， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 当 x3 4时，cos 2有最小值，为4 3 41 33 45 28 29. 法二单位向量 e1，e2满足|2e
15、1e2| 2， 所以|2e1e2|254e1e22，即 e1e23 4. 因为 ae1e2，b3e1e2，a，b 的夹角为， 所以 cos2（ab） 2 |a|2|b|2 （e1e2）（3e1e2） 2 |e1e2|2|3e1e2|2 （44e1e2）2 （22ee2） （106e1e2） 44e1e2 53e1e2. 不妨设 te1e2，则 t3 4，cos 244t 53t，又 y 44t 53t在 3 4，上单调递增 所以 cos2 43 59 4 28 29. 所以 cos2的最小值为28 29. 法三由题意，不妨设 e1(1，0)，e2(cos x，sin x) 因为|2e1e2|
16、2， 所以 （2cos x）2sin2x 2， 得 54cos x2， 即 cos x3 4. 易知 a(1cos x，sin x)，b(3cos x，sin x)，所以 ab(1cos x)(3cos x) sin2x44cos x， |a|2(1cos x)2sin2x22cos x，|b|2(3cos x)2sin2x106cos x， 所以 cos2（ab） 2 |a|2|b|2 （44cos x）2 （22cos x） （106cos x） 44cos x 53cos x. 不妨设 mcos x，则 m3 4，cos 244m 53m，又 y 44m 53m在 3 4，上单调递增，
17、所以 cos2 43 59 4 28 29，所以 cos 2的最小值为28 29. (2)由 O，A1，A2，A3四点共圆，且 A1A2A2A3，可知 A1A3为圆 C 的直径，故OA1 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 OA3 2OC .由圆 C 的标准方程设OA2 (1 5cos ，2 5sin )，又点 C(1， 2)，则|OA1 *OA2 OA2 *OA3 |(OA1 OA3 )*OA2 |2|OC *OA2 |2|(1 5cos ) 2(2 5
18、sin )|2|5sin()3|16，其中 tan 1 2，当且仅当2k 2， kZ 时等号成立，所以所求最大值为 16. 感悟升华此类问题可归结为函数、三角函数求最值、值域问题 【训练 31】 (1)如图， 在扇形 OAB 中，OA2，AOB90，M 是 OA 的中点，点 P 在AB 上，则PM PB 的最小值为_ (2)(2017浙江卷)已知向量 a，b 满足|a|1，|b|2，则|ab|ab|的最小值是 _，最大值是_ 答案(1)42 5(2)42 5 解析 (1)如图，以 O 为坐标原点，OA 为 x 轴的正半轴，OB 为 y 轴的正半轴建立平面直 角坐标系，则 M(1，0)，B(0，
19、2)，设 P(2cos ，2sin )， 0， 2 ，所以PM PB (12cos ，2sin )(2cos ，22sin )42cos 4sin 42(cos 2sin )42 5sin() 其中 sin 5 5 ，cos 2 5 5，所以PM PB 的最小值为 4 2 5. (2)由题意，不妨设 b(2，0)，a(cos ，sin )(0，2)， 则 ab(2cos ，sin )，ab(cos 2，sin ) 令 y|ab|ab| 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待
20、你的加入与分享 （2cos ）2sin2 （cos 2）2sin2 54cos 54cos ， 则 y2102 2516cos216，20 由此可得(|ab|ab|)max 202 5， (|ab|ab|)min 164， 即|ab|ab|的最小值是 4，最大值是 2 5. 角度 2解不等式型 【例 32】 (1)(2021金丽衢十二校二联)设 tR，已知平面向量 a，b 满足|a| 2|b|2，且 ab1，向量 cxa(tx)b，若存在两个不同的实数 x0，t，使 得 c22ac30，则实数 t() A有最大值为 2，最小值为3 2 B无最大值，最小值为3 2 C有最大值为 2，无最小值 D
21、无最大值，最小值为 0 (2)已知不共线向量OA ，OB 夹角为，|OA |1，|OB |2，OP (1t)OA ，OQ tOB (0t1)，|PQ |在 tt0处取最小值，当 0t00， 06 6 t， 即 t22t30， 4t28t30， 0t1， 解得 t 3 2，2，则实数 t 的最小值为3 2，无最大值，故选 B. (2)由题意，不共线向量OA ，OB 夹角为，|OA |1，|OB |2，OP (1t)OA ，OQ tOB (0t1)， 得PQ OQ OP tOB (1t)OA ， 所以|PQ |2tOB (1t)OA 2 (54cos )t22(12cos )t1，由二次函数的图象
22、和性质知，当 tt0 12cos 54cos 时，|PQ |取最小值，即 012cos 54cos 1 5，解得 1 2cos 0，b0)； (2)三角不等式：|a|b|ab|a|b|； (3)数量积不等式：|ab|a|b|. 【训练 33】 (1)(2021浙江新高考仿真三)设平面向量 a，b 满足 1|a|2， 2|b|3，则|ab|ab|的取值范围是_ (2)(一题多解)(2021浙江五校联考)已知 a|3，|b|c|4，若 ca，则|abc| 的最大值为_ 答案(1)6，2 13(2)9 解析(1)|ab|2|ab|22(|a|2|b|2)，由基本不等式，得|ab|2|a b|2（|a
23、b|ab|） 2 2 .又|a|1，2，|b|2，3，由得(|ab|a b|)24(|a|2|b|2)52，即|ab|ab|2 13.又由三角不等式有|ab|a b|(ab)(ab)|，即|ab|ab|2|a|，|ab|ab|2|b|，故|ab|a b|6，综上，有 6|ab|ab|2 13. (2)法一|abc| a2b2c22ab2bc 412b（ca）.ca，|c a|5，则 b(ca)|b|ca|20，所以|abc| 41409. 法二由|a|3，|b|c|4 知，a 在以 O 为圆心，3 为半径的圆上运动，b，c 均 在以 O 为圆心，4 为半径的圆上运动，如图，又 ac，则|abc
24、|(ac)b| |CA OB |CA |OB |549. 角度 4轨迹型 【例 34】 (2021名校仿真训练四)直线 axbyc0 与圆 O：x2y24 相交于 两点 M， N.若 c2a2b2， P 为圆 O 上任意一点， 则PM PN 的取值范围是_ 答案2，6 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解析如图， 取 MN 的中点 A，连接 OA，则 OAMN，c2a2b2，O 点到直线 MN 的距 离 OA |c| a2b21，圆 O 的半径 r2，R
25、tAON 中，设AON，得 cos OA ON 1 2，得 3，cos MONcos 2cos 2 3 1 2，由此可得OM ON |OM |ON |cos MON22 1 2 2，则PM PN (OM OP )(ON OP ) OM ON OP 2OP (OM ON )242OP OA 22|OP |OA |cos AOP2 4cos AOP，当OP ，OA 同向时，取得最小值 242，当OP ，OA 反向时， 取得最大值 246，则PM PN 的取值范围是2，6 感悟升华利用向量及其运算的几何意义，结合轨迹图形求解，并注意分析临界 状态 【训练 34】 (2021湖州期末质检)正方形 AB
26、CD 的边长为 2，E，M 分别为 BC， AB 的中点，点 P 是以 C 为圆心，CE 为半径的圆上的动点，点 N 在正方形 ABCD 的边上运动，则PM PN 的最小值是_ 答案1 5 解析由题 意得PM PN (PC CM )(PC CN )1PC CM (PC CM )CN 1PC CM PM CN .由图易得向量PM ，CN 的夹角恒为锐角，则PM CN 0，则当点 N 与点 C 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 重合，点 P 为 CM 与圆
27、C 的交点时，PC CM 取得最小值 5，PM CN 取得最小 值 0，此时PM PN 取得最小值 1 5. 角度 5投影与函数分析型 【例 35】 (1) 如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为 1，正六边形的顶点称为“晶 格点”若 A，B，C，D 四点均位于图中的“晶格点”处，且 A，B 的位置如图 所示，则AB CD 的最大值为_ (2)(2019浙江卷)已知正方形 ABCD 的边长为 1，当每个i(i1，2，3，4，5，6) 取遍1 时，|1AB 2BC3CD 4DA 5AC 6BD |的最小值是_，最大 值是_ 答案(1)24(2)02 5 解析(1)先建立平面直角坐标系如图，
28、 因为正六边形的边长 均为 1，所以 B(0，0)，A 3 2 ，9 2 ，当CD 在AB 方向上的投影 最大时，AB CD 最大，此时取 C(0，5)，D( 3，0)，即 (AB CD )max 3 2 ，9 2 ( 3，5)3 2 45 2 24. (2)如图，以 A 为原点，AB 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴建立平面直角坐 标系，则AB (1，0)，AD (0，1) 设 a1AB 2BC3CD 4DA 5AC 6BD 1AB 2AD 3AB 4AD 5(AB AD )6(AD AB ) (1356)AB (2456)AD 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 3
29、23031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (1356，2456) 故|a| （1356）2（2456）2. i(i1，2，3，4，5，6)取遍1， 当13560， 24560(134561， 21)时， |1AB 2BC 3CD 4DA 5AC 6BD |取得最小值 0. 考虑到56，56有相关性，要确保所求模最大，只需使|1356|，|2 456|尽可能取到最大值，即当13562，24564(1 2561，341)时可取到最大值， |1AB 2BC3CD 4DA 5AC 6BD |的最大值为 4162 5.
30、感悟升华(1)关于数量积问题常用投影分析法； (2)当向量线性表达式系数较多且给出其取值范围时，常用系数分析法 【训练 35】 (1)已知正三角形 ABC 的边长为 4，O 是平面 ABC 内的动点，且 AOB 3，则OC AB 的最大值为_ (2)(2021浙江名师预测一)已知等边ABC 的边长为 1，当每个i(i1，2，3)在 1， 0， 1中取值时， 则|1AB 2BC3CA|的最小值是_， 最大值是_ 答案(1)16 3 3 (2)02 解析(1)如图，圆 E2为ABC 的外接圆，圆 E1与圆 E2关 于直线 AB 对称， 由题意知 O 在圆 E1， E2的优弧AB 上(圆 E 1，
31、E2半径相等)， 设 AB 的中点为 D， OC AB (DC DO )AB BA DO |BA |DO |cosADO，易知DO 在BA 方向上的射影最大时，OC AB 取得最 大值，易知DO 在BA 方向上射影的最大值为ABO 外接圆的半径，故所求最大值 为 4 4 2sin 3 16 3 3 . (2)当i(i1，2，3)中三个均为 0 时，|1AB 2BC 3CA |0；当i(i1，2，3) 中恰有 2 个为 0 时，|1AB 2BC3CA|1；当i(i1，2，3)中恰有 1 个为 0 时， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料
32、分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 1|1AB 2BC3CA| 3；当i(i1，2，3)中均不为 0 时，0|1AB2BC 3CA |2，综上所述，|1AB2BC3CA|的最小值是 0，最大值是 2. 一、选择题 1若点 O 和点 F 分别为椭圆x 2 4 y 2 3 1 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一 点，则OP FP 的最大值为( ) A2B3C6D8 答案C 解析如图，由已知|OF|1，取 FO 中点 E，连接 PE，由 极化恒等式得 OP FP |PE|21 4|OF| 2|PE|21 4， |PE|2max25 4 ，OP FP
33、 的最大值为 6. 2.如图，菱形 ABCD 的边长为 2，BAD60，M 为 DC 的中点，若 N 为菱形内 任意一点(含边界)，则AM AN 的最大值为( ) A3B2 3C6D9 答案D 解析由平面向量数量积的几何意义知，AM AN 等于|AM |与AN 在AM 方向上的投 影之积， 所以(AM AN )maxAM AC 1 2AB AD (AB AD )1 2AB 2AD23 2AB AD 9. 3(一题多解)(2020新高考山东卷)已知 P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内的 一点，则AP AB的取值范围是( ) A(2，6)B(6，2)C(2，4)D(4，6) 答案A 本
34、资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解析法一如图， 取 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，则 A(0，0)，B(2，0)， C(3， 3)， F(1， 3)设 P(x，y)，则AP (x，y)， AB (2，0)，且1x3. 所以AP AB(x，y)(2，0)2x(2，6) 故选 A. 法二AP AB|AP|AB|cos PAB2|AP|cos PAB，又|AP|cos PAB 表示AP在 AB 方向上的投影，所以结合图形可知，当
35、P 与 C 重合时投影最大当 P 与 F 重 合时投影最小又AC AB2 32cos 306，AFAB22cos 1202， 故当点 P 在正六边形 ABCDEF 内部运动时，AP AB(2，6)故选 A. 4(2021镇海中学检测)已知向量 m，n 满足(mn)(m2n)0，(mn)(m2n) 10，则|n|的最小值为() A.1 4 B.1 2 C. 2 2 D1 答案C 解析因为(mn)(m2n)0，所以 m2mn2n20.因为(mn)(m2n)1 0，所以 m2mn2n210，所以 mn1 2，且 m 22n21 20.因为(mn) 2 1 4|m| 2|n|2 2|n|21 2 |n
36、|2，解得|n|21 2，所以|n| 2 2 ，即|n|的最小值为 2 2 ，故 选 C. 5.如图，BCD 与ABC 的面积之比为 2，点 P 是区域 ABDC 内的任一点(含边界)且AP ABAC，则的取值范围是 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 () A0，1B0，2 C0，3D0，4 答案C 解析过点 P 作 GHBC，交 AC、AB 的延长线于 G，H， 则AP xAG yAH ，且 xy1，当点 P 位于 D 点时，G，H 分别位于 C，B，
37、 BCD 与ABC 的面积之比为 2，AC3AC，AB3AB， OP xAG yAH xAC yAB x3AC y3ABABAC ，所以3y， 3x3x3y3. 当点 P 位于 A 点时，显然有0，选 C. 6 (一题多解)已知点 C 为扇形 AOB 的弧 AB 上任意一点， 且AOB120， 若OC OA OB (，R)，则的取值范围是() A2，2B(1， 2C1， 2D1，2 答案D 解析法一(常规方法) 设半径为 1，由已知可设 OB 为 x 轴的正半轴，O 为坐标原点，建立直角坐标系， 其中 A 1 2， 3 2 ；B(1，0)；C(cos ，sin )(其中BOC 02 3 ，有O
38、C OA OB (，R)，即(cos ，sin ) 1 2， 3 2 (1，0)，整理得1 2 cos ； 3 2 sin ，解得2sin 3 ，cos sin 3 ，则2sin 3 cos sin 3 3sin cos 2sin 6 ， 0，2 3 ，易得1，2 法二(等和线定理) 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 设k， 当 C 位于 A 或 B 时，A、B、C 三点共线， 所以 k1， 当点运动到AB 的中点 C 时，k2，1，2 7设为两个非零向
39、量 a，b 的夹角，已知对任意实数 t，|bta|的最小值为 1，则 () A若确定，则|a|唯一确定 B若确定，则|b|唯一确定 C若|a|确定，则唯一确定 D若|b|确定，则唯一确定 答案B 解析|bta|2b22abtt2a2 |a|2t22|a|b|cos t|b|2. 因为|bta|min1， 所以4|a| 2|b|24|a|2|b|2cos2 4|a|2 |b|2(1cos2)1. 所以|b|2sin21，所以|b|sin 1，即|b| 1 sin . 即确定，|b|唯一确定 8(2021龙湾中学检测)已知平面向量 a，b，c 满足|a|b|ab2，(ac)(b 2c)1，则|bc
40、|的最小值为() A. 7 5 2 B. 7 3 2 C. 5 3 2 D. 31 2 答案A 解析由|a|b|ab2 得a，b 3，则不妨设 aOA (1， 3)，bOB (2， 0)，cOC (x，y)，则 ac(1x， 3y)，b2c(22x，2y)由(ac)(b 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 2c)1 得(x1)2 y 3 2 2 5 4，则点 C(x，y)的轨迹是以 1， 3 2 为圆心， 5 2 为 半径的圆，则|bc|CB |的最小值为
41、 （21）2 0 3 2 2 5 2 7 5 2 ，故 选 A. 9(2021武汉质检)已知等边ABC 内接于圆：x2y21，且 P 是圆上一点， 则PA (PBPC)的最大值是( ) A. 2B1C. 3D2 答案D 解析设 BC 的 中点为 E，连接 AE，向量PO ，OE 的夹角为.因为等边ABC 内接于圆：x2y2 1，所以点 O 在 AE 上，且 OA2OE1，所以PA (PBPC)PA2PE2(PO OA )(PO OE )2PO 2PO (OA OE )OA OE 2PO 2PO (OE )2OE 2 2 111 2cos 2 1 2 2 1cos ，所以当 cos 1，PO ，
42、 OE ， OP ， OE 0，即点 P 为 AE 的延长线与圆的交点时，PA(PB PC)取最大值 2， 故选 D. 10(2021名校冲刺卷三)已知|a|b|c|2，且 ab2，(ac)(bc)0，则|a bc|() A有最小值 2 32，最大值 2 32 B有最小值 2 32，最大值 2 7 C有最小值 2 7，最大值 2 32 D有最小值 2 32，最大值 2 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 答案C 解析如图 所示，令 aOA ，bOB ，cO
43、C ，由 ab2，|a|b|c|2 可得AOB 3.又(a c)(bc)0，所以点 C 在以 AB 为直径的圆内，|abc|OD OC |，所以|a bc|的最大值是OC ，OD 同向为 2 32，最小值是点 C 与点 A 或点 B 重合为 2 7，故选 C. 11已知 m，n 是两个非零向量，且|m|1，|m2n|3，则|mn|n|的最大值 为() A. 5B. 10C4D5 答案B 解析因为(m2n)24n24mn19，所以 n2mn2，所以(mn)2m2 2mnn25n2， 所以|mn|n| 5|n|2|n|.令|n|x(0 x 5)， f(x) 5x2 x，则 f(x) 2x 2 5x
44、21.由 f(x)0，得 x 10 2 ，所以当 0 x0 时， 当 10 2 x 5时，f(x)0，所以函数 f(x)在 0， 10 2上单调递增，在 10 2 ， 5 上单 调递减，所以 f(x)maxf 10 2 10，故选 B. 12(2021北京海淀区检测)已知点 M 在圆 C1：(x1)2(y1)21 上，点 N 在圆 C2：(x1)2(y1)21 上，则下列说法错误的是() A.OM ON 的取值范围为32 2，0 B|OM ON |的取值范围为0，2 2 C|OM ON |的取值范围为2 22，2 22 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你
45、的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 D若OM ON ，则实数的取值范围为32 2，32 2 答案B 解析 M 在圆 C1上，点 N 在圆 C2上， MON90，OM ON 0， 又|OM | 21，|ON | 21， 当|OM | 21，|ON | 21 时， OM ON 取得最小值， ( 21)2cos 32 2，故 A 正确； 设 M(1cos ，1sin )，N(1cos ，1sin )， 则OM ON (cos cos ，sin sin )， |OM ON |22cos cos 2sin sin 2 2cos ()2，0
46、|OM ON |2，故 B 错误； 两圆外离，半径为 1，|C1C2|2 2， 2 22|MN|2 22， 即 2 22|OM ON |2 22，故 C 正确； 21|OM | 21， 21|ON | 21， 当OM ON 时， 21 21 21 21， 解得32 232 2，故 D 正确 13 已知向量OA ， OB 满足|OA |OB |2， OA OB 2， 若OC OA OB (， R)， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 且1，则|OC |的最
47、小值为() A1B. 5 2 C. 2D. 3 答案D 解析|OC |2(OA OB )2OA (1)OB 2 424(1)22(1)OA OB ， 因为OA OB 2， 所以|OC |2424(1)22(1)242444 1 2 2 3， 当1 2时，|OC |取得最小值 3. 二、填空题 14在ABC 中，AB6，AC5，A120，动点 P 在以 C 为圆心，2 为半径的 圆上，则PA PB的最小值为_ 答案16 解析设 AB 的中点为 M，则PA PB 1 2（PA PB） 2 1 2（PA PB） 2 PM 2 MA 2PM29， 所以要求PA PB的最小值，只需求|PM |的最小值，
48、显然当点 P 为线段 MC 与圆的 交点时，|PM |取得最小值，最小值为|MC|2.在AMC 中，由余弦定理得|MC|2 3252235cos 12049，所以|MC|7，所以|PM |的最小值为 5，则PA PB 的最小值为 16. 15(2021宁波适考)在 RtABC 中，CACB2，M，N 是斜边 AB 上的两个动 点，且 MN 2，则CM CN 的取值范围是_ 答案 3 2，2 解析取 MN 的中点为 P，由极化恒等式得CM CN 1 4(2CP )2MN 2CP21 2. 问题转化为求|CP |的取值范围， 当 P 为 AB 的中点时， |CP|取最小值为 2， 则CM CN 的
49、最小值为3 2；当 M 与 A(或 N 与 B)重合时，|CP |取最大值为10 2 ，则CM CN 的最 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 大值为 2，所以CM CN 的取值范围是 3 2，2. 16(2021浙江新高考仿真二)若非零向量 a 和 b 满足|ab|b|2，则|a|的取值 范围是_，|ab|的取值范围是_ 答案(0，42，6 解析因为|ab|b|a|abb|ab|b|4，又 a 是非零向量，所以|a| 的取值范围是(0，4，因为|ab|a
50、b|2|b|(ab)(ab)|ab|ab|， 所以4|ab|ab|4，|ab|ab|4，又|ab|2，解得|ab|的取值范 围是2，6 17(2021稽阳联考)在 RtABC 中，B90，BC2，AB1，D 为 BC 的中 点，E 在斜边 AC 上，若AE 2EC，则DE AC _ 答案 1 3 解析 如图，以 B 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，BC 所在直线为 y 轴，建立平面直 角坐标系，则 B(0，0)，A(1，0)，C(0，2)，所以AC (1，2) 因为 D 为 BC 的中点，所以 D(0，1)， 因为AE 2EC，所以 E 1 3， 4 3 ， 所以DE 1 3， 1 3
