1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 补上一课 ,利用圆锥曲线的二级结论秒解选择、填空题) 1焦点三角形的面积、离心率 (1)设 P 点是椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)上异于长轴端点的任一点，F 1、F2为其焦点， 记F1PF2，则 |PF1|PF2| 2b2 1cos ；S PF1F2b2tan 2；e sinF1PF2 sinPF1F2sinPF2F1. (2)设 P 点是双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)上异于实轴端点的任一点，F
2、 1，F2为其焦 点，记F1PF2，则 |PF1|PF2| 2b2 1cos ；S PF1F2 b2 tan 2 ；e sin F1PF2 |sin PF1F2sin PF2F1|. 2中心弦的性质 设 A，B 为圆锥曲线关于原点对称的两点，点 P 是曲线上与 A，B 不重合的任意 一点，则 kAPkBPe21. 3中点弦的性质 设圆锥曲线以 M(x0，y0)(y00)为中点的弦 AB 所在的直线的斜率为 k. (1)若圆锥曲线为椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)，则 k ABb 2x0 a2y0，k ABkOMe21. (2)若圆锥曲线为双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)，
3、则 k ABb 2x0 a2y0，k ABkOMe21. (3)若圆锥曲线为抛物线 y22px(p0)，则 kABp y0. 4焦点弦的性质 (1)过椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点 F 且倾斜角为(90)的直线交椭圆于 A， B 两点，且|AF |FB|，则椭圆的离心率等于| 1 （1）cos |. (2)过双曲线x 2 a2 y2 b21(a0， b0)的右焦点 F 且倾斜角为(90)的直线交双曲线 右支于 A，B 两点，且|AF |FB|，则双曲线的离心率等于| 1 （1）cos |. (3)过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 倾斜角为的直线交抛物线于 A，B 两点，
4、则 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 两焦半径长为 p 1cos ， p 1cos ， 1 |AF| 1 |BF| 2 p，|AB| 2p sin2，S AOB p2 2sin . 题型一椭圆焦点三角形的面积、离心率 【例 1】 在椭圆x 2 25 y2 9 1 上，PF1F2为焦点三角形，如图所示 (1)若60，则PF1F2的面积是_； (2)若45，75，则椭圆离心率 e_ 答案(1)3 3(2) 6 2 2 解析(1)由焦点三角形公式，得 SPF1
5、F2b2tan 2，即 S PF1F23 3. (2)由公式 esin （） sin sin sin 60 sin 45sin 75 6 2 2 . 【训练 1】 (1)若 P 是 x2 100 y2 641 上的一点，F 1，F2是其焦点，若F1PF260， 则F1PF2的面积为_ (2)在椭圆 Ax2By21 上，PF1F2为焦点三角形，PF2O45，PF1O15， 则椭圆的离心率 e_ 答案(1)64 3 3 (2)3 2 6 2 解析(1)SF1PF2b2tan 264 3 3 64 3 3 . (2)由公式 esin（） sin sin ，即得 e3 2 6 2 . 题型二中心弦的性
6、质 【例 2】 设椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左，右顶点分别为 A，B，点 P 在椭圆上异 于 A，B 两点，若 AP 与 BP 的斜率之积为1 2，则椭圆的离心率为_ 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 答案 2 2 解析kAPkBP1 2，e 211 2， e21 2，e 2 2 . 【训练 2】 (1)已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的离心率为 2，实轴的两个端点 为 A，B，点 P 为双曲线上不同于顶点的任一点，则直
7、线 PA 与 PB 的斜率之积为 _ (2)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F1，F2分别为椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左， 右焦点，B、C 分别为椭圆的上、下顶点，直线 BF2与椭圆的另一交点为 D，e3 5， 若 cosF1BF2 7 25，则直线 CD 的斜率为_ 答案(1)3(2)12 25 解析(1)kPAkPBe213. (2)设DBO，则 cosF1BF2cos 22cos21 7 25，cos 216 25，cos 4 5， 利用 RtF2OB 易知 kBD4 3，e 3 5，由 k BDkCDe21，得 kCD12 25. 题型三中点弦的性质 【例 3】 已
8、知双曲线 E 的中心为原点，F(3，0)是 E 的焦点，过 F 的直线 l 与 E 相交于 A，B 两点，且 AB 的中点为 M(12，15)，则 E 的方程为() A.x 2 3 y 2 6 1B.x 2 4 y 2 5 1 C.x 2 6 y 2 3 1D.x 2 5 y 2 4 1 答案B 解析由题意可知 kAB150 1231，k MO150 120 5 4，由双曲线中点弦中的斜 率规律得 kMOkABb 2 a2，即 5 4 b2 a2，又 9a 2b2，联立解得 a24，b25，故双曲 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分
9、享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 线的方程为x 2 4 y 2 5 1. 【训练 3】 (1)已知椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点为 F(3，0)，过点 F 的直 线交椭圆于 A，B 两点，若 AB 的中点坐标为(1，1)，则 E 的方程为() A.x 2 45 y2 361 B.x 2 36 y2 271 C.x 2 27 y2 181 D.x 2 18 y2 9 1 (2)(一题多解)(2018全国卷)已知点 M(1，1)和抛物线 C：y24x，过 C 的焦点 且斜率为 k 的直线与 C 交于 A，B 两点若AMB90，则
10、 k_ 答案(1)D(2)2 解析(1)c3，a2b29，AB 的中点记为 P(1，1)，由 kABkOPe21 则 (1)10 13 b 2 a2， a22b2，解得 a218，b29. (2)法一取 AB 的中点 M(x0，y0)，分别过点 A，B 作准线 x1 的垂线，垂足 分别是 A，B，又AMB90，点 M 在准线上，|MM|1 2|AB| 1 2(|AF|BF|) 1 2(|AA|BB|)，MM平行于 x 轴，y 01，又由中点弦的性质得 kAB p y02. 法二设抛物线的焦点为 F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y214x1， y224x2，所以 y 2 1y224(
11、x1 x2)，则 ky1y2 x1x2 4 y1y2，取 AB 的中点 M(x 0，y0)，分别过点 A，B 作准线 x 1 的垂线，垂足分别为 A，B，又AMB90，点 M 在准线 x1 上，所 以|MM|1 2|AB| 1 2(|AF|BF|) 1 2(|AA|BB|)又 M为 AB 的中点，所以 MM平 行于 x 轴，且 y01，所以 y1y22，所以 k2. 法三由题意知抛物线的焦点为(1，0)，则过 C 的焦点且斜率为 k 的直线方程为 yk(x1)(k0)，由 yk（x1） ， y24x， 消去 y 得 k2(x1)24x，即 k2x2(2k24)x k20，设 A(x1，y1)，
12、B(x2，y2)，则 x1x22k 24 k2 ，x1x21.由 yk（x1） ， y24x， 消 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 去 x 得 y24 1 ky1， 即 y24 ky40， 则 y 1y24 k， y 1y24， 则AMB90， 得MA MB (x11， y11)(x21， y21)x1x2x1x21y1y2(y1y2)10， 将 x1x22k 24 k2 ，x1x21 与 y1y24 k，y 1y24 代入，得 k2. 题型四焦点弦的
13、性质 【例 4】 已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 e 3 2 ，经过右焦点且斜率为 k(k0)的直线交椭圆于 A，B 两点，已知AF 3FB，则 k( ) A1B. 2C. 3D2 答案B 解析3，e 3 2 ，由规律得 3 2 cos 31 31，cos 3 3 ，ktan 2. 【训练 4】 设 F 为抛物线 C：y23x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30的直线交 C 于 A、B 两点，O 为坐标原点，则AOB 的面积为() A.3 3 4 B.9 3 8 C.63 32 D.9 4 答案D 解析抛物线 C：y23x 中，2p3，p3 2，故 S OAB p2 2s
14、in 9 4 2sin 30 9 4. 一、选择题 1过点 M(2，0)的直线 m 与椭圆x 2 2 y21 交于 P1，P2两点，线段 P1P2的中点 为 P，设直线 m 的斜率为 k1(k10)，直线 OP 的斜率为 k2，则 k1k2的值为() A2B2C.1 2 D1 2 答案D 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解析k1k2b 2 a2 1 2. 2 已知抛物线 y28x 的焦点为 F， 直线 yk(x2)与此抛物线相交于 P， Q 两点， 则
15、 1 |FP| 1 |FQ| A.1 2 B1C2D4 答案A 解析直线 yk(x2)过抛物线的交点 F(2，0)，则 1 |FP| 1 |FQ| 2 p 1 2. 3已知椭圆 C：x 2 4 y 2 3 1 的左，右顶点分别为 A1，A2，点 P 在椭圆 C 上，且直 线 PA2的斜率的取值范围是2，1，那么直线 PA1的斜率的取值范围是() A. 1 2， 3 4B. 3 8， 3 4 C. 1 2，1D. 3 4，1 答案B 解析由对称弦结论知 kPA1kPA2e21 1 2 2 13 4，又 kPA 22，1， kPA1 3 4kPA2 3 8， 3 4 . 4已知 F1，F2为双曲线
16、 C：x2y21 的左、右焦点，点 P 在 C 上，F1PF2 60，则点 P 到 x 轴的距离为() A. 3 2 B. 6 2 C. 3D. 6 答案B 解析设 P 到 x 轴的距离为 yP，故1 22 2y P12 1 tan 30，解得 y P 6 2 ，故 P 到 x 轴的距离为 6 2 . 5抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，过焦点 F 且倾斜角为 6的直线与抛物线相交 于 A，B 两点，若|AB|8，则抛物线的方程为() Ay24xBy28x Cy22xDy26x 答案C 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新
17、人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解析|AB| 2p sin2，2p|AB|sin 28sin2 62， y22x. 6已知直线 l 经过抛物线 y24x 的焦点 F，且与抛物线交于 A，B 两点，(点 A 在第一象限)，若BA 4BF，则AOB 的面积为( ) A.8 3 3B.4 3 3C.8 3 2D.4 3 2 答案B 解析由题意知AF BF3，AF p 1cos ，BF p 1cos ， 1cos 1cos 3，cos 1 2，sin 3 2 ，S p2 2sin 4 3 4 3 3 . 7(2018全国卷)设 F1，F2是双曲线 C：x 2
18、a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点，O 是坐标原点过 F2作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P.若|PF1| 6|OP|，则 C 的离心率为() A. 5B2C. 3D. 2 答案C 解析不妨设一条渐近线的方程为 yb ax，则 F 2到 yb ax 的距离等于 b，在 RtF2PO 中， |F2O|c， 所以|PO|a， 所以|PF1| 6a， 又|F1O|c， 所以在F1PO 与 RtF2PO 中，根据余弦定理得 cosPOF1a 2c2（ 6a）2 2ac cosPOF2 a c，即 3a 2c2( 6a)20，得 3a2c2，所以 ec a 3. 8已知抛物线 y24x 的
19、焦点为 F，过焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，O 为 坐标原点，若AOB 的面积为 2 6，则|AB|() A24B8C12D16 答案A 解析p2，SAOB p2 2sin 2 6，sin 1 6，|AB| 2p sin224. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 9(2021广州调研)已知椭圆：x 2 a2 y2 b21(ab0)的长轴是短轴的 2 倍，过右 焦点 F 且斜率为 k(k0)的直线与相交于 A，B 两点，且AF 3FB，则 k(
20、 ) A1B2C. 3D. 2 答案D 解析依题意 a2b， e1 b a 2 3 2 ， 又3， 由 e| 1 （1）cos |得 3 2 | 31 （31）cos |，|cos | 3 3 ，又 k0， 0， 2 ，得 cos 3 3 ，ktan 2. 10(2017全国卷)已知 F 为抛物线 C：y24x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的 直线 l1，l2，直线 l1与 C 交于 A，B 两点，直线 l2与 C 交于 D，E 两点，则|AB| |DE|的最小值为() A16B14C12D10 答案A 解析(极坐标法)设 l1的倾斜角为，那么|AB|AF|BF| 2 1cos 2 1cos
21、（） 2 1cos 2 1cos 4 sin2，因此 l 2的倾斜角为 2或 2，即 |DE| 4 sin2 2 ， 因此即求 4 1 sin2 1 cos2 在 0， 2 上的最小值， 令 f() 4 sin2cos2， 取最小值时 sin cos 取最大值，因此 4，结果 4 1 4 16. 11如图，已知 F1，F2是椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的两个焦点，椭圆上一点 P 使 F1PF290，则椭圆离心率 e 的取值范围是() 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 4831228
22、54 期待你的加入与分享 A(0，1)B. 0，1 2 C. 0， 2 2D. 2 2 ，1 答案D 解析设 B 为短轴上端点，则 SF1PF2b2tan 45b2SF1BF2bc，ab0， bc，即 b2c2，e2c 2 a2 1 2，又e1， 2 2 e1，故选 D. 二、填空题 12 已知 P 是椭圆x 2 25 y2 9 1 上的点， F1， F2分别是椭圆的左、 右焦点， 若 PF1 PF2 |PF1 |PF2 | 1 2，则PF 1F2的面积为_ 答案3 3 解析设PF1 ， PF2 ，则由 PF1 PF2 |PF1 |PF2 | 1 2， 知 cos 1 2， 3，S PF1F2
23、b2tan 29 3 3 3 3. 13经过椭圆x 2 4 y21 上一点 3，1 2 的切线方程为_ 答案3x2y40 解析把 3，1 2 代入椭圆的切线方程x0 x a2 x0y b2 1，得 3x 4 y 21，即 3x2y4 0. 14在椭圆 Ax2By21 上，PF1F2为焦点三角形，椭圆离心率 e1 2，PF 2O 60，则 tan PF1O 的值为_ 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 答案3 解析设PF1O，由题意可得1 2 sin（60）
24、 sin sin 60 ，解得 cos 1 2，60， 故 tan PF1Otan 3. 15若点 O 和点 F 分别为椭圆x 2 9 y 2 8 1 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任一 点，则OP FP 的最小值为_ 答案6 解析点 P 为椭圆x 2 9 y 2 8 1 上的任意一点， 设 P(x， y)(3x3， 2 2y2 2)， 依题意得左焦点 F(1，0)，OP (x，y)，FP (x1，y)，OP FP x(x1) y2x2x728x 2 9 1 9 x9 2 2 23 4 .3x3， 3 2x 9 2 15 2 ，9 4 x9 2 2 225 4 ， 1 4 1 9 x9 2 2 225 36 ， 61 9 x9 2 2 23 4 12，即 6OP FP 12，故最小值为 6. 16已知 P 为椭圆 C：x 2 4 y 2 3 1 上一个动点，F1，F2是椭圆 C 的左、右焦点，O 为坐标原点，O 到椭圆 C 在 P 点处切线的距离为 d，若|PF1|PF2|24 7 ，则 d _ 答案 14 2 解析由椭圆的焦半径公式得 |PF1|PF2| 21 2x 021 2x 0|41 4x 2 024 7 ， x2016 7 ， y209 7， 不妨取 P 4 7， 3 7 ， 切线 4 7x 4 3 7y 3 1.xy 7，d 14 2 .
