1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 第 4 节函数的奇偶性与周期性 知 识 梳 理 1.函数的奇偶性 奇偶性定义图象特点 偶函数 如果对于函数 f（x）的定义域内任意一个 x，都有 f（ x）f（x） ，那么函数 f（x）是偶函数 关于 y 轴对称 奇函数 如果对于函数 f（x）的定义域内任意一个 x，都有 f（ x）f（x） ，那么函数 f（x）是奇函数 关于原点对称 2.函数的周期性 （1）周期函数：对于函数 yf（x） ，如果存在一个非零常数 T，使
2、得当 x 取定义 域内的任何值时，都有 f（xT）f（x） ，那么就称函数 yf（x）为周期函数， 称 T 为这个函数的周期. （2）最小正周期：如果在周期函数 f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那 么这个最小正数就叫做 f（x）的最小正周期. 1.对称性的三个常用结论 （1）若函数 yf（xa）是偶函数，则函数 yf（x）的图象关于直线 xa 对称. （2）若对于 R 上的任意 x 都有 f（2ax）f（x）或 f（x）f（2ax） ，则 y f（x）的图象关于直线 xa 对称. （3）若函数 yf（xb）是奇函数，则函数 yf（x）的图象关于点（b，0）中 心对称. 2.函数周期性的
3、三个常用结论 对 f（x）定义域内任一自变量的值 x： （1）若 f（xa）f（x） ，则 T2|a|； （2）若 f（xa） 1 f（x），则 T2|a|； 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 （3）若 f（xa） 1 f（x），则 T2|a|. 3.函数 f（x）满足的关系 f（ax）f（bx）表明的是函数图象的对称性，函数 f（x）满足的关系 f（ax）f（bx） （ab）表明的是函数的周期性，在使用 这两个关系时不要混淆. 诊 断 自 测 1.判断
4、下列说法的正误. （1）函数 yx2在 x（0，）时是偶函数.（） （2）若函数 f（x）为奇函数，则一定有 f（0）0.（） （3）若函数 yf（xa）是偶函数，则函数 yf（x）的图象关于直线 xa 对称. （） （4）若函数 yf（xb）是奇函数，则函数 yf（x）的图象关于点（b，0）中 心对称.（） 答案（1）（2）（3）（4） 解析（1）由于偶函数的定义域关于原点对称，故 yx2在（0，）上不是 偶函数， （1）错. （2）由奇函数定义可知，若 f（x）为奇函数，其在 x0 处有意义时才有 f（0） 0， （2）错. 2.已知 f（x）ax2bx 是定义在a1，2a上的偶函数，那么
5、 ab 的值是（） A.1 3 B.1 3 C.1 2 D.1 2 答案B 解析依题意 b0，且 2a（a1） ，a1 3，则 ab 1 3. 3.（2021衡水中学期中）下列函数中，既是偶函数又在（0，）上单调递增 的是（） A.yln |x|B.yx2 C.yexD.ycos x 答案A 解析根据偶函数的定义 f（x）f（x） ，可得选项 A，B，D 是偶函数， yx2在（0，）上单调递减，ycos x 在（0，）上有增有减，yln |x| 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 4831228
6、54 期待你的加入与分享 在（0，）上单调递增.故选 A. 4.若函数 yf（x）是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，则 f（2 020）f（2 019） （） A.2 020B.0 C.1D.2 020 答案B 解析因为 f（x）是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，所以 f（1）f（1） f（1） ，所以 f（1）0，且 f（0）0，而 f（2 020）f（21 0100）f（0） 0，f（2 019）f（21 0091）f（1）0，故选 B. 5.（2021大连双基测试）已知定义在 R 上的奇函数 f（x）exae x，则 a 的值 为. 答案1 解析因为函数 f（x）是定义在 R
7、 上的奇函数，所以 f（0）e0ae01a0， 解得 a1. 6.设 a0 且 a1，函数 f（x） ax 12，x0， g（x） ，x0 为奇函数，则 a， g（f（2） ）. 答案22 2 2 解析f（x）是 R 上的奇函数，f（0）0，即 a0 120，a2；当 x0 时，x0，f（2）22 2121 2 3 20， g（f（2） ）g 3 2 223 2122 1 22 2 2 . 考点一函数奇偶性的判断 【例 1】 判断下列函数的奇偶性： （1）f（x） 3x2 x23； 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中
8、数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 （2）f（x）lg（1x 2） |x2|2 ； （3）f（x） x2x，x0. 解（1）由 3x20， x230，得 x 23，解得 x 3， 即函数 f（x）的定义域为 3， 3， 从而 f（x） 3x2 x230. 因此 f（x）f（x）且 f（x）f（x） ， 函数 f（x）既是奇函数又是偶函数. （2）由 1x20， |x2|2，得定义域为（1，0）（0，1） ，关于原点对称. x20，|x2|2x，f（x）lg（1x 2） x . 又f（x）lg1（x） 2 x lg（1x 2） x f（x） ， 函数 f（x）为奇函数
9、. （3）显然函数 f（x）的定义域为（，0）（0，） ，关于原点对称. 当 x0， 则 f（x）（x）2xx2xf（x） ； 当 x0 时，x0 且 a1） ，则函数 f（x）的奇偶 性（） A.与 a 无关，且与 b 无关B.与 a 有关，且与 b 有关 C.与 a 有关，但与 b 无关D.与 a 无关，但与 b 有关 （2） （2019北京卷）设函数 f（x）cos xbsin x（b 为常数） ，则“b0”是 “f（x）为偶函数”的（） A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 答案（1）D（2）C 解析（1）函数 f（x） 2 ax1b 的定义域
10、为（，0）（0，） ， f（x） 2 a x1b 2ax ax1b.当 b1 时，易知函数 f（x）为奇函数，当 b1 时，函数 f（x）为非奇非偶函数，所以函数 f（x）的奇偶性与 a 无关，但与 b 有 关，故选 D. （2）f（x）cos xbsin x 为偶函数， 对任意的 xR，都有 f（x）f（x） ， 即 cos（x）bsin（x）cos xbsin x， 2bsin x0.由 x 的任意性得 b0. 故 f（x）为偶函数b0.必要性成立. 反过来，若 b0，则 f（x）cos x 是偶函数.充分性成立. “b0”是“f（x）为偶函数”的充分必要条件. 故选 C. 考点二函数奇偶
11、性的应用 【例 2】 （1） （2021浙江名校仿真训练）已知函数 f（x） 1 2x2 x，则满足 f（x2 5x）f（6）0 的实数 x 的取值范围是. （2） （2019全国卷）已知 f（x）是奇函数，且当 x0f（x25x） f（6）f（x25x）f（6）x25x6，解得 2x0，x0 时，f（x）f（x）e ax， 所以 f（ln 2）e aln 2（eln 2）a2a8. 解得 a3. 感悟升华（1） 已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据 f（x） f （x） 0 得到关于待求参数的恒等式， 由系数的对等性得参数的值或方程 （组） ， 进而得出参数的值. （2）已知
12、函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住在已知区间上的解析式，将 待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性 构造关于 f（x）的方程（组） ，从而得到 f（x）的解析式或函数值. 【训练 2】 （1）已知 f（x） ，g（x）分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数， 且 f（x）g（x）x3x21，则 f（1）g（1）（） A.3B.1C.1D.3 （2）定义在 R 上的奇函数 f（x）满足 f（x）x22（x0） ，若 f（a2）0， 则 a 的取值范围为（） A.2 2，22 2，） B.2 2，2 2 C.2 2，2 D.2 2，） 答案（1）C（2）A 本资料
13、分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解析（1）因为 f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，所以 f（1）g（1） f（1）g（1）（1）3（1）211. （2）函数 f（x）的图象如图所示，由题可知 f（0）0 且 f（ 2）0，则 2a 20 或 a2 2，解得 2 2a2 或 a2 2，故选 A. 考点三函数的周期性及其应用 【例 3】 （1）设定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x2）f（x） ，且当 x0， 2）时，f（x）2xx2，则 f（0）f（1
14、）f（2）f（2 019） （2） （2021义乌市联考）已知函数 f（x）为偶函数，且 f（1x）f（3x） ，当 2x0 时，f（x）3x，若 nN*，anf（n） ，则 a2 021（） A.1 3 B.3C.3D.1 3 答案（1）1 010（2）D 解析（1）f（x2）f（x） ，函数 f（x）的周期 T2. 又当 x0，2）时，f（x）2xx2， f（0）0，f（1）1，f（0）f（1）1. f（0）f（1）f（2）f（3）f（4）f（5） f（2 018）f（2 019）1， f（0）f（1）f（2）f（2 019）1 010. （2）因为函数 f（x）是偶函数，其图象关于 y
15、轴对称，又由 f（1x）f（3x） 知，图象关于 x2 对称，所以函数 f（x）是周期函数，且最小正周期 T2（2 0）4，所以 a2 021f（2 021）f（1）f（1）1 3，故选 D. 感悟升华（1）根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时， 应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 （2）若 f（xa）f（x） （a 是常数，且 a0） ，则 2|a|为函数 f（x）的一个周 期. 【训练
16、 3】 （1）定义在 R 上的奇函数 f（x）满足 f（x2）f（x） ，且在0， 2）上单调递减，则下列结论正确的是（） A.0f（1）f（3）B.f（3）0f（1） C.f（1）0f（3）D.f（3）f（1）f（0）f（1） ， 即 f（1）00； f（x8）f（x） ； yf（x4）是偶函数； 若 af（7） ，bf（11） ，cf（2 020） ，则 a，b，c 的大小关系正确的是（） A.abcB.bac C.bcaD.cba 答案（1）C（2）D 解析（1）函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且在（0，）上单调递减， 故 f（x）在（，0上单调递增.因为 f（log3a）f（l
17、og1 3 a）2f（1） ，所以 f （log3a）f（log3a）2f（log3a）2f（1） ，即 f（log3a）f（1） f（1） ，所以1log3a1，解得1 3a3，故选 C. （2）由知，f（x）在4，8上单调递增；由知，f（x）的周期为 8；由知， f（x）的对称轴为 x4；则 af（7）f（1）f（7） ，bf（118）f（3） 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 f（83）f（5） ，cf（2 0202528）f（4） ，因为 457
18、，由函数的单 调性可知，cb0B.减函数且 f（x）0D.增函数且 f（x）0. 又函数 f（x）为奇函数，所以在区间 1 2，0上函数也单调递增，且 f（x）0. 由 f x3 2 f（x）知，函数的周期为3 2，所以在区间 1，3 2 上，函数单调递增 且 f（x）0. 7.已知 f（x）是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数，若 f（1）1，f（5）2a3 a1 ， 则实数 a 的取值范围为（） A.（1，4）B.（2，0）C.（1，0）D.（1，2） 答案A 解析f（x）是定义在 R 上的周期为 3 的偶函数， f（5）f（56）f（1）f（1） ， f（1）1，f（5）2a3 a1
19、 ，2a3 a1 1，即a4 a10， 解得1a4. 8.对任意的实数 x 都有 f（x2）f（x）2f（1） ，若 yf（x1）的图象关于 x 1 对称，且 f（0）2，则 f（2 019）f（2 020）（） A.0B.2C.3D.4 答案B 解析yf（x1）的图象关于 x1 对称，则函数 yf（x）的图象关于 x0 对 称，即函数 f（x）是偶函数， 令 x1，则 f（12）f（1）2f（1） ， f（1）f（1）2f（1）0，即 f（1）0， 则 f（x2）f（x）2f（1）0， 即 f（x2）f（x） ，则函数的周期是 2，又 f（0）2， 则 f（2 019）f（2 020）f（1
20、）f（0）022. 9.已知函数 f（x）x ex1 ex，若 f（x1）x2B.x1x20 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 C.x1x2D.x210 时，f（x）0， f（x）在0，）上为增函数， 由 f（x1）f（x2） ，得 f（|x1|）f（|x2|） ， |x1|x2|，x21f（3）B.f（2）f（6） C.f（3）f（5）D.f（3）f（6） 答案A 解析yf（x4）为偶函数， f（x4）f（x4） ， 因此 yf（x）的图象关于直线 x
21、4 对称， f（2）f（6） ，f（3）f（5）. 又 yf（x）在（4，）上为减函数， f（5）f（6） ，所以 f（3）f（6）. 二、填空题 11.若 f（x）ln（e3x1）ax 是偶函数，则 a. 答案3 2 解析由于 f（x）f（x） ， ln（e 3x1）axln（e3x1）ax， 化简得 2ax3x0（xR） ，则 2a30， a3 2. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 12.（2020上海金山区二模）已知函数 f（x）lg1x 1xs
22、in x1，若 f（m）4， 则 f（m） 答案2 解析令 g（x）lg1x 1xsin x，则 f（x）g（x）1， g（x）lg1x 1xsin（x）lg 1x 1xsin xg（x） ，g（x）为奇函数， 又 f（m）4，g（m）f（m）13， g（m）g（m）3， f（m）g（m）12. 13.已知函数 f（x） 1 2x 2，x1， f（x2） ，x1， 则 f（2）；f（x）的值域为 答案0 (，0 解析x1 时，f（x）是周期为 2 的函数，故 f（2）f（0）0，f（x）的值域 为（，0. 14.若函数 f（x） x22x1，x0， a，x0， g（2x） ，x0 为奇函数，则
23、 a，f（g（2） ） . 答案025 解析由题意知 af（0）0.设 x0，f（x）x22x1f（x） ， g（2x）x22x1，g（2）4，f（g（2） ）f（4）f（4） （1681）25. 能力提升题组 15.已知奇函数 f（x）在 R 上是增函数，g（x）xf（x）.若 ag（log25.1） ，b g（20.8） ，cg（3） ，则 a，b，c 的大小关系为（） A.abcB.cba 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 C.bacD.bclog
24、25.1220.8，且 ag（log25.1）g（log25.1） ， g（3）g（log25.1）g（20.8） ，则 cab. 16.已知定义在 R 上的奇函数 f（x）满足当 x0 时，f（x）log2（x2）xb， 则|f（x）|3 的解集为（） A.（，2）（2，）B.（，4）（4，） C.（2，2）D.（4，4） 答案A 解析由题意，f（0）log22b0，解得 b1. 所以 f（x）log2（x2）x1，f（2）3，且在 R 上单调递增，又|f（x）|3， 所以|f（x）|f（2） ，即 f（x）f（2）或 f（x）2 或 x2. 17.（2021浙江新高考仿真卷）如果存在正实数
25、 a，使得 f（xa）为奇函数，f（x a）为偶函数，我们称函数 f（x）为“函数”.给出下列四个函数： f（x）sin x； f（x）cos x； f（x）sin xcos x； f（x）sin2 x 8 其中“函数”的个数为（） A.1B.2C.3D.4 答案B 解析对于函数 f （x） sin x， f （xk1） （k1Z） 为奇函数， f x 2k 2 （k2Z） 为偶函数，所以不存在正实数 a，使得 f（xa）为奇函数，f（xa）为偶函数， 所以 f（x）sin x 不是“函数”；对于函数 f（x）cos x，f（xk3） （k3Z） 为偶函数，f x 2k 4 （k4Z）为奇函数
26、，所以不存在正实数 a，使得 f（xa） 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 为奇函数，f（xa）为偶函数，所以 f（x）cos x 不是“函数”；对于函数 f（x）sin xcos x 2sin x 4 ，则存在 a 4使得 f（xa）为奇函数，f（x a） 为偶函数， 所以 f （x） sin xcos x 是“函数”； 对于函数 f （x） sin 2 x 8 sin 2x 4 ，则存在 a3 8 使得 f（xa）为奇函数，f（xa）为偶函数，所以
27、f（x）sin 2 x 8 是“函数”.综上所述，“函数”的个数为 2，故选 B. 18.已知 f（x）是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0 x2 时，f（x）x3 x，则函数 yf（x）的图象在区间0，6上与 x 轴的交点个数为 答案7 解析因为当 0 x0 ， 已 知 函 数 f （ x ） 2sin x 2 2a1，|x|1， xb x，|x|1 是奇函数，则 a；若函数 f（x）是在 R 上 的增函数，则 b 的取值范围是. 答案 1 2 21，1 解析因为 f（x）是奇函数，且定义域为 R，所以 f（0）0，即 2a10，解 得 a1 2.因为函数 f（x）是 R 上的增
28、函数，所以 yx b x在（1，）上单调递 增，易知 b1，且 y 2sin x 2 在 x1 处的函数值要小于或等于 yxb x在 x1 处的函数值，即2sin 21b，解得 b 21.综上，b 的取值范围是 21， 1. 20.设函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且对任意的 xR 恒有 f（x1）f（x 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 1） ，已知当 x0，1时，f（x）2x，则有 2 是函数 f（x）的周期； 函数 f（x）在（1，2）上是
29、减函数，在（2，3）上是增函数； 函数 f（x）的最大值是 1，最小值是 0. 其中所有正确命题的序号是 答案 解析在 f（x1）f（x1）中，令 x1t， 则有 f（t2）f（t） ， 因此 2 是函数 f（x）的周期，故正确； 当 x0，1时，f（x）2x是增函数， 根据函数的奇偶性知，f（x）在1，0上是减函数，根据函数的周期性知，函数 f（x）在（1，2）上是减函数，在（2，3）上是增函数，故正确； 由知，f（x）在0，2上的最大值 f（x）maxf（1）2，f（x）的最小值 f（x） minf（0）f（2）201 且 f（x）是周期为 2 的周期函数，f（x）的最大值 是 2，最小值是 1，故错误.
