1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 第 5 节离散型随机变量及其分布列、二项分布及其应用 知 识 梳 理 1离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变 量，称为离散型随机变量 2离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地，若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1，x2，xi，xn，X 取 每一个值 xi(i1，2，n)的概率 P(Xxi)pi，则表 Xx1x2xixn Pp1p2pipn 称为离散型随机变量
2、X 的概率分布列 (2)离散型随机变量的分布列的性质： pi0(i1，2，n)；p1p2pn1. 3两点分布 若随机变量 X 服从两点分布，其分布列为 X01 P1pp 其中 PP(X1)称为成功概率 4条件概率 (1)定义：一般地，设 A，B 为两个事件，且 P(A)0，称 P(B|A)P（AB） P（A） 为在事 件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率 (2)性质：0P(B|A)1； 如果 B 和 C 是两个互斥事件，则 P(BC|A) P(B|A)P(C|A) 5事件的相互独立性 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自
3、新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (1)定义：设 A，B 为两个事件，如果 P(AB)P(A)P(B)，则称事件 A 与事件 B 相互独立 (2)性质：若事件 A 与 B 相互独立，则 A 与B ，A 与 B，A 与B 也都相互独立，P(B|A) P(B)，P(A|B)P(A) 6独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验 在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验，其中 Ai(i1，2，n) 是第 i 次试验结果，则 P(A1A2A3An)P(A1)P(A2)P(A3)P(An) (2)二项分布 在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事
4、件 A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生 的概率为 p，则 P(Xk)Cknpk(1p)n k(k0，1，2，n)，此时称随机变量 X 服从二项分布，记作 XB(n，p)，并称 p 为成功概率 1对于古典概型，若用 n(A)，n(AB)分别表示事件 A，AB 所包含的基本事件的个 数，则 P(B|A)n（AB） n（A） . 2相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算公式为 P(AB) P(A)P(B)互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为 P(AB)P(A)P(B) 3(1)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是独立
5、性，即一次 试验中，事件发生与不发生二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地 进行了 n 次 (2)二项分布与超几何分布的联系与区别有放回抽取问题对应二项分布，不放回 抽取问题对应超几何分布，当总体数量很大时，超几何分布可近似为二项分布来 处理 诊 断 自 测 1判断下列说法的正误 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (1)离散型随机变量的概率分布列中，各个概率之和可以小于 1.() (2)如果随机变量 X 的分布列由下表给出， X25 P0.30.
6、7 则它服从两点分布() (3)若事件 A，B 相互独立，则 P(B|A)P(B)() (4)P(AB)表示事件 A，B 同时发生的概率，一定有 P(AB)P(A)P(B)() 答案(1)(2)(3)(4) 解析对于(1)，离散型随机变量所有取值的并事件是必然事件，故各个概率之和 等于 1，故(1)不正确；对于(2)，X 的取值不是 0，1，故不是两点分布，所以(2) 不正确 对于(4)， 若 A， B 独立， 则 P(AB)P(A) P(B)， 若 A， B 不独立， 则 P(AB) P(A)P(B|A)，故(4)不正确 2袋中装有 10 个红球、5 个黑球每次随机抽取 1 个球后，若取得黑
7、球则另换 1 个红球放回袋中， 直到取到红球为止 若抽取的次数为， 则表示“放回 5 个红球” 事件的是() A4B5C6D5 答案C 解析“放回 5 个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故6. 3(选修 23P49A4 改编)设随机变量 X 的分布列如下： X12345 P 1 12 1 6 1 3 1 6 p 则 p() A.1 6 B.1 3 C.1 4 D. 1 12 答案C 解析由分布列的性质， 1 12 1 6 1 3 1 6p1， p13 4 1 4. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源
8、大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 4抛掷两枚骰子，记事件 A 为“朝上的 2 个数之和为偶数”，事件 B 为“朝上 的 2 个数均为偶数”，则 P(B|A)_ 答案 1 2 解析抛掷两枚骰子，总共有 6636(个)基本事件，事件 AB 包括： (2，2)，(2，4)，(2，6)，(4，2)，(4，4)，(4，6)，(6，2)，(6，4)，(6，6)，共 9 个基本事件 事件 A 包括： (1，1)，(1，3)，(1，5)，(2，2)，(2，4)，(2，6)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(4， 2)，(4，4)，(4，6)，(5，1)，(5，3)，(5，5)，(6，
9、2)，(6，4)，(6，6)，共 18 个 基本事件 由题意可得 P(AB) 9 36，P(A) 18 36， 由条件概率公式可得 P(B|A)P（AB） P（A） 1 2. 5已知两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为2 3和 3 4，两个零 件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 _ 答案 5 12 解析设事件 A：甲实习生加工的零件为一等品；事件 B：乙实习生加工的零件 为一等品，且 A，B 相互独立，则 P(A)2 3，P(B) 3 4，所以这两个零件中恰有一 个一等品的概率为 P(AB )P(A B)P(A)P(B )P(A )P(B)2 3
10、13 4 12 3 3 4 5 12. 6设随机变量 XB 6，1 2 ，则 P(X3)_ 答案 5 16 解析XB 6，1 2 ，由二项分布可得， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 P(X3)C36 1 2 3 11 2 3 5 16. 考点一离散型随机变量分布列的性质 【例 1】 (1)设 X 是一个离散型随机变量，其分布列为： X101 P 1 3 23qq2 则 q 的值为() A1B.3 2 33 6 C.3 2 33 6 D.3 2 33 6
11、 (2)随机变量 X 的概率分布规律为 P(Xn) a n（n1）(n1，2，3，4)，其中 a 是常数，则 P 1 2X 5 2 的值为() A.2 3 B.3 4 C.4 5 D.5 6 答案(1)C(2)D 解析(1)由分布列的性质知 23q0， q20， 1 323qq 21， 解得 q3 2 33 6 . (2)因为 P(Xn) a n（n1）(n1，2，3，4)， 所以 a 12 a 23 a 34 a 45 4 5a1.a 5 4， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122
12、854 期待你的加入与分享 故 P 1 2X 5 2 P(X1)P(X2)1 2 5 4 1 6 5 4 5 6. 感悟升华(1)利用分布列中各概率之和为 1 可求参数的值，此时注意检验，保证 每个概率值均为非负数 (2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列及互斥事件的概率加法公式， 将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可 【训练 1】 (1)设随机变量 X 等可能取值 1，2，3，n，如果 P(X4)0.3，那 么 n_ (2)设随机变量 X 的概率分布列如下表，则 P(|X2|1)() X1234 P 1 6 1 4 m 1 3 A. 7 12 B.1 2 C. 5 12 D.1
13、6 答案(1)10(2)C 解析(1)由于随机变量 X 等可能取 1，2，3，n.所以取到每个数的概率均为1 n. P(X4)P(X1)P(X2)P(X3)3 n0.3，n10. (2)由|X2|1 得 X1 或 3，m1 1 6 1 4 1 3 1 4，P(|X2|1)P(X1) P(X3)1 6 1 4 5 12. 考点二离散型随机变量的分布列 【例 2】 (2018天津卷改编)某单位技术开发办公室共 7 人，有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查 (1)用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数，则随机变量 X 的分布列为 _(只写出数
14、字表达式即可，不必列表)； (2)设 A 为事件“抽取的 3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”， 则事件 A 发生的概率为_ 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 答案(1)P(Xk)C k 4C3 k 3 Ck7 (k0，1，2，3)(2)6 7 解析(1)随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2，3. P(Xk)C k 4C3 k 3 C37 (k0，1，2，3) (2)设事件B为“抽取的3人中， 睡眠充足的员工有1人， 睡眠不足的员工有
15、2人”； 事件 C 为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 2 人，睡眠不足的员工有 1 人”， 则 ABC，且 B 与 C 互斥由知，P(B)P(X2)，P(C)P(X1)，故 P(A) P(BC)P(X2)P(X1)6 7.所以，事件 A 发生的概率为 6 7. 感悟升华(1)求离散型随机变量 X 的分布列的步骤： 找出随机变量 X 的所有可能取值 xi(i1，2，3，n)； 求出各取值的概率 P(Xxi)pi； 列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确 (2)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所有取值对应的概率，在求解 时，要注意应用计数原理、古典概型等知识
16、 【训练 2】 一袋中装有 5 个球，编号分别为 1，2，3，4，5.在袋中同时取 3 个球， 以 X 表示取出的 3 个球中的最小号码， 则随机变量 X 的分布列为_(列表) 答案 X123 P 3 5 3 10 1 10 解析根据题意可知，随机变量 X 的可能取值为 1，2，3. 当 X1 时，即取出的 3 个球中最小号码为 1，则其他 2 个球只能在编号为 2，3， 4，5 的 4 个球中取， 故有 P(X1)C 2 4 C35 6 10 3 5； 当 X2 时，即取出的 3 个球中最小号码为 2，则其他 2 个球只能在编号为 3，4， 5 的 3 个球中取， 故有 P(X2)C 2 3
17、 C35 3 10； 当 X3 时，即取出的 3 个球中最小号码为 3，则其他 2 个球只能是编号为 4，5 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 的 2 个球， 故有 P(X3)C 2 2 C35 1 10.于是 X 的分布列为 X123 P 3 5 3 10 1 10 考点三独立事件的概率 【例 3】 在小明的婚礼上，为了活跃气氛，主持人邀请 10 位客人做一个游戏第 一轮游戏中，主持人将标有数字 1，2，10 的十张相同的卡片放入一个不透明 箱子中，让
18、客人依次去摸，摸到数字 6，7，10 的客人留下，其余的淘汰，第 二轮放入 1，2，5 五张卡片，让留下的客人依次去摸，摸到数字 3，4，5 的 客人留下，第三轮放入 1，2，3 三张卡片，让留下的客人依次去摸，摸到数字 2， 3 的客人留下，同样第四轮淘汰一位，最后留下的客人获得小明准备的礼物已 知客人甲参加了该游戏 (1)则甲拿到礼物的概率为_； (2)设 X 表示甲参加游戏的轮数，则 X 的概率分布列为_(列表) 答案(1) 1 10 (2) X1234 P 1 2 1 5 1 10 1 5 解析(1)设甲拿到礼物的事件为 A， 在每一轮游戏中，甲留下的概率和他摸卡片的顺序无关， 则 P
19、(A)1 2 3 5 2 3 1 2 1 10. (2)随机变量 X 的所有可能取值是 1，2，3，4. P(X1)1 2， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 P(X2)1 2 2 5 1 5， P(X3)1 2 3 5 1 3 1 10， P(X4)1 2 3 5 2 3 1 5， 随机变量 X 的概率分布列为： X1234 P 1 2 1 5 1 10 1 5 感悟升华求相互独立事件同时发生的概率的主要方法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求
20、解 (2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立 事件入手计算 【训练 3】 某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动某场比赛中，甲、 乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题，已知甲家庭回答对这道题的 概率是3 4，甲、丙两个家庭都回答错的概率是 1 12，乙、丙两个家庭都回答对的概率 是1 4.若各家庭回答是否正确互不影响则： (1)乙、丙两个家庭各自回答对这道题的概率分别为_； (2)甲、乙、丙三个家庭中不少于 2 个家庭回答对这道题的概率为_ 答案(1)3 8， 2 3 (2)21 32 解析(1)记“甲答对这道题”、“乙答对这道题”、“丙答对这道题
21、”分别为事 件 A，B，C，则 P(A)3 4，且有 错误错误!即 1P（A）1P（C） 1 12， P（B）P（C）1 4， 所以 P(B)3 8，P(C) 2 3. (2)有 0 个家庭回答对的概率为 P0P(A B C )P(A )P(B )P(C )1 4 5 8 1 3 5 96， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 有 1 个家庭回答对的概率为 P1P(AB C A BC A B C)3 4 5 8 1 3 1 4 3 8 1 3 1 4 5
22、8 2 3 7 24， 所以不少于 2 个家庭回答对这道题的概率为 P1P0P11 5 96 7 24 21 32. 考点四独立重复试验与二项分布 【例 4】 挑选空军飞行员可以说是“万里挑一”，要想通过需要五关：目测、初 检、复检、文考(文化考试)、政审若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前 两关，根据分析甲、乙、丙三位同学通过复检关的概率分别是 0.5，0.6，0.75，能 通过文考关的概率分别是 0.6，0.5，0.4，由于他们平时表现较好，都能通过政审 关，若后三关之间通过与否没有影响则： (1)甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过复检的概率为_ (2)设只要通过后三关就可以被录取，则录
23、取人数 X 的分布列为_(列表) 答案(1)0.275 (2) X0123 P0.3430.4410.1890.027 解析(1)设 A，B，C 分别表示事件“甲、乙、丙通过复检”，则所求概率 P P(AB C )P(A BC )P(A B C)0.5(10.6)(10.75)(10.5)0.6(10.75) (10.5)(10.6)0.750.275. (2)甲被录取的概率为P甲0.50.60.3， 同理P乙0.60.50.3， P丙0.750.4 0.3. 甲、乙、丙每位同学被录取的概率均为 0.3，故可看成是独立重复试验，即 X B(3，0.3)，X 的可能取值为 0，1，2，3，其中
24、P(Xk)Ck3(0.3)k(10.3)3 k. 故 P(X0)C030.30(10.3)30.343， P(X1)C130.3(10.3)20.441， P(X2)C230.32(10.3)0.189， P(X3)C330.330.027， 故 X 的分布列为 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 X0123 P0.3430.4410.1890.027 感悟升华利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查 该概率模型是否满足公式 P(Xk)
25、Cknpk(1p)n k 的三个条件： (1)在一次试验中某 事件 A 发生的概率是一个常数 p；(2)n 次试验不仅是在完全相同的情况下进行的 重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示 n 次试验中事件 A 恰好发生了 k 次的概率 【训练 4】 (2021上海嘉定区调研改编)某公司有 A，B，C，D 四辆汽车，其中 A 车的车牌尾号为 0，B，C 两辆车的车牌尾号为 6，D 车的车牌尾号为 5，已知在 非限行日，每辆车都有可能出车或不出车已知 A，D 两辆汽车每天出车的概率 为3 4，B，C 两辆汽车每天出车的概率为 1 2，且四辆汽车是否出车是相互独立的 该公司所在地区
26、汽车限行规定如下： 汽车车牌尾号车辆限行日 0 和 5星期一 1 和 6星期二 2 和 7星期三 3 和 8星期四 4 和 9星期五 (1)该公司在星期四至少有 2 辆汽车出车的概率为_； (2)设表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数之和，则的分布列为 _(列表) 答案(1)55 64 (2) 01234 P 1 64 1 8 11 32 3 8 9 64 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解析(1)记该公司在星期四至少有两辆汽车出车为事件 A，
27、则A ：该公司在星期四最多有一辆汽车出车， P(A ) 1 4 2 1 2 2 C12 3 4 1 4 1 2 2 C12 1 2 1 2 1 4 2 9 64. P(A)1P(A )55 64. (2)由题意，的可能取值为 0，1，2，3，4， P(0) 1 2 2 1 4 2 1 64； P(1)C12 1 2 1 2 1 4 2 C12 3 4 1 4 1 2 2 1 8； P(2) 1 2 2 1 4 2 3 4 2 1 2 2 C12 1 2 2 C12 3 4 1 4 11 32； P(3) 1 2 2 C12 3 4 1 4 3 4 2 C12 1 2 2 3 8； P(4) 3
28、 4 2 1 2 2 9 64. 01234 P 1 64 1 8 11 32 3 8 9 64 基础巩固题组 一、选择题 1若随机变量 X 的分布列为 X210123 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 P0.10.20.20.30.10.1 则当 P(Xa)0.8 时，实数 a 的取值范围是() A(，2B1，2 C(1，2D(1，2) 答案C 解析由已知得，P(X2)P(X1)P(X0)P(X1)0.8，P(X2) P(X1)P(X0)P(X1)P(
29、X2)0.9，当 P(Xa)0.8 时，1a2， 故选 C. 2随机变量 X 的分布列如下： X101 Pabc 其中 a，b，c 成等差数列，则 P(|X|1)() A.1 6 B.1 3 C.1 2 D.2 3 答案D 解析a，b，c 成等差数列，2bac.又 abc1，b1 3，P(|X|1) ac2 3. 3设某项试验的成功率是失败率的 2 倍，用随机变量 X 去描述 1 次试验的成功 次数，则 P(X0)() A0B.1 2 C.1 3 D.2 3 答案C 解析由已知得 X 的所有可能取值为 0，1， 且 P(X1)2P(X0)，由 P(X1)P(X0)1， 得 P(X0)1 3.
30、4现有 3 道理科题和 2 道文科题共 5 道题，若不放回地一次抽取 2 道题，则在第 1 次抽到理科题的条件下，第 2 次抽到理科题的概率为() A. 3 10 B.2 5 C.1 2 D.3 5 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 答案C 解析因为 5 道题中有 3 道理科题和 2 道文科题，所以在第一次抽到理科题的前 提下，第二次抽到理科题的概率为 P2 4 1 2.故选 C. 5一盒中有 12 个乒乓球，其中 9 个新的、3 个旧的，从盒中任取 3
31、 个球来用， 用完后装回盒中， 此时盒中旧球个数 X 是一个随机变量，则 P(X4)的值为() A. 1 220 B.27 55 C. 27 220 D.21 55 答案C 解析X4表示从盒中取了 2 个旧球、1 个新球，故 P(X4)C 2 3C19 C312 27 220. 6打靶时，甲每打 10 次可中靶 8 次，乙每打 10 次可中靶 7 次，若两人同时射击 一个目标，则他们同时中靶的概率是() A.14 25 B.12 25 C.3 4 D.3 5 答案A 解析因为甲每打 10 次可中靶 8 次，乙每打 10 次可中靶 7 次，所以 P(甲)4 5， P(乙) 7 10，所以他们都中
32、靶的概率是 4 5 7 10 14 25. 7某居民小区有两个相互独立的安全防范系统 A 和 B，系统 A 和系统 B 在任意 时刻发生故障的概率分别为1 8和 p， 若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率 为 9 40，则 p( ) A. 1 10 B. 2 15 C.1 6 D.1 5 答案B 解析由题意得1 8(1p) 11 8 p 9 40，p 2 15，故选 B. 8甲射击命中目标的概率是1 2，乙命中目标的概率是 1 3，丙命中目标的概率是 1 4. 现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为() A.3 4 B.2 3 C.4 5 D. 7 10 答案A 解析设甲命中目标为事件
33、 A，乙命中目标为事件 B，丙命中目标为事件 C，则 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 击中目标表示事件 A， B， C 中至少有一个发生 又 P(A B C )P(A )P(B )P(C )1 P(A)1P(B)1P(C) 11 2 11 3 11 4 1 4. 目标被击中的概率 P1P(A B C )3 4. 二、填空题 9袋中有 4 只红球、3 只黑球，从袋中任取 4 只球，取到 1 只红球得 1 分，取到 1 只黑球得 3 分，设得分为随机变量
34、X，则 P(X6)_ 答案 13 35 解析P(X6)P(取到 3 只红球 1 只黑球)P(取到 4 只红球)C 3 4C13 C47 C 4 4 C47 13 35. 10天气预报，端午节假期甲、乙、丙三地降雨的概率分别是 0.9，0.8，0.75，若 甲、乙、丙三地是否降雨相互之间没有影响，则其中至少一个地方降雨的概率为 _ 答案0.995 解析甲、乙、丙三地降雨的概率分别是 0.9，0.8，0.75， 甲、乙、丙三地不降雨的概率分别是 0.1，0.2，0.25， 甲、乙、丙三地都不降雨的概率是 0.10.20.250.005， 故至少一个地方降雨的概率为 10.0050.995. 11某
35、大厦的一部电梯从底层出发后只能在第 18，19，20 层停靠若该电梯在底 层有 5 个乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为1 3，用 X 表示这 5 位乘客在第 20 层下电梯的人数，则 P(X4)_ 答案 10 243 解析考察一位乘客是否在第 20 层下电梯为一次试验，这是 5 次独立重复试验， 故 XB 5，1 3 ， 即有 P(Xk)Ck5 1 3 k 2 3 5k ，k0，1，2，3，4，5. 故 P(X4)C45 1 3 4 2 3 1 10 243. 12在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术 7 门学科中任选 3 门若同 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 Q
36、Q 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 学甲必选物理，则甲的不同的选法种数为_乙、丙两名同学都选物理的 概率是_ 答案15 9 49 解析因为甲必选物理，所以甲在剩余的 6 门学科中任选 2 门学科，共有 C2615 种不同的选法，所以一个同学选择物理的概率为C 2 6 C37 3 7，所以乙、丙两名同学都选 物理的概率为 3 7 2 9 49. 13当B 6，1 2 ，则使 P(k)最大的 k 的值是_ 答案3 解析P(k)Ck6 1 2 k 1 2 6k Ck6 1 2 6 ，当 k3 时，C
37、k 6 1 2 6 最大 14(2019全国卷)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场 胜利时， 该队获胜， 决赛结束) 根据前期比赛成绩， 甲队的主客场安排依次为“主 主客客主客主” 设甲队主场取胜的概率为 0.6，客场取胜的概率为 0.5，且各场比 赛结果相互独立，则甲队以 41 获胜的概率是_ 答案0.18 解析记事件 M 为甲队以 41 获胜，则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜， 前四场甲队胜三场负一场，所以 P(M)0.6(0.620.5220.60.40.522) 0.18. 能力提升题组 15从只有 3 张中奖的 10 张彩票中不放回随机逐张抽取，设 X 表示直至
38、抽到中 奖彩票时的次数，则 P(X3)() A. 3 10 B. 7 10 C.21 40 D. 7 40 答案D 解析X3 表示前两次未抽到中奖彩票， 第三次抽到中奖彩票， 故 P(X3)A 2 7A13 A310 7 40. 16一袋中有 5 个白球、3 个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色 后放回， 直到红球出现 10 次时停止， 设停止时共取了 X 次球， 则 P(X12)() 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 AC10 12 3 8
39、10 5 8 2 BC912 3 8 9 5 8 23 8 CC911 5 8 2 3 8 2 DC911 3 8 10 5 8 2 答案D 解析由题意知第 12 次取到红球，前 11 次中恰有 9 次红球 2 次白球，由于每次 取到红球的概率为3 8， 所以 P(X12)C911 3 8 9 5 8 2 3 8. 17排球比赛的规则是 5 局 3 胜制(无平局)，甲在每局比赛获胜的概率都为2 3，前 2 局中乙队以 20 领先，则最后乙队获胜的概率是() A.4 9 B. 8 27 C.19 27 D.40 81 答案C 解析乙队 30 获胜的概率为1 3，乙队 31 获胜的概率为 2 3
40、1 3 2 9，乙队 32 获胜的概率为 2 3 2 1 3 4 27. 最后乙队获胜的概率为 P1 3 2 9 4 27 19 27，故选 C. 18(2021温州模拟)袋中有 6 个编号不同的黑球和 3 个编号不同的白球，这 9 个 球的大小及质地都相同，现从该袋中随机摸取 3 个球，则这三个球中恰有两个黑 球和一个白球的方法总数是_设摸取的这三个球中所含的黑球数为 X， 则 P(Xk)取最大值时，k 的值为_ 答案452 解析这三个球中恰有两个黑球和一个白球的方法总数为 C26C1345；由题意，知 X 的所有可能取值为 0，1，2，3，因为 P(X0)C 3 3 C39 1 84，P(
41、X1) C16C23 C39 3 14， P(X2)C 2 6C13 C39 15 28，P(X3) C36 C39 5 21，所以当 P(Xk)取最大值时，k2. 19 某校高三年级要从 5 名男生和 2 名女生中任选 3 名代表参加数学竞赛(每人被 选中的机会均等)，则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中 的概率是_ 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 答案 3 5 解析“男生甲被选中”记作事件 A，“男生乙和女生丙至少有一个被选中”记
42、 作事件 B， 则 P(A)C 2 6 C37 15 C37，P(AB) C14C141 C37 9 C37， 由条件概率公式可得 P(B|A)P（AB） P（A） 3 5. 20电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类 电影部数14050300200800510 好评率0.40.20.150.250.20.1 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值 假设所有电影是否获得好评相互独立 (1)从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，则这部电影是获得好评的第四类电影 的概率为_； (2)从第四类电影和第五类电影中各随机
43、选取 1 部，估计恰有 1 部获得好评的概率 为_ 答案(1)0.025(2)0.35 解析(1)由题意知，样本中电影的总部数是 140503002008005102 000，第四类电影中获得好评的电影部数是 2000.2550. 故所求概率为 50 2 0000.025. (2)设事件 A 为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”， 事件 B 为“从第五 类电影中随机选出的电影获得好评” 故所求概率为 P(AB A B)P(AB )P(A B) P(A)(1P(B)(1P(A)P(B) 由题意知 P(A)估计为 0.25，P(B)估计为 0.2. 故所求概率估计为 0.250.80.750.20.35. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享
