1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 第 8 节函数与方程 知 识 梳 理 1.函数的零点 (1)函数零点的概念 对于函数 yf(x)，把使 f(x)0 的实数 x 叫做函数 yf(x)的零点. (2)函数零点与方程根的关系 方程 f(x)0 有实数根函数 yf(x)的图象与 x 轴有交点函数 yf(x)有零点. (3)零点存在性定理 如果函数 yf(x)满足：在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线； f(a)f(b)0)的图象与零点的关系 b24ac00
2、0)的图象 与 x 轴的交点 (x1，0)， (x2，0) (x1，0)无交点 零点个数210 1.不满足零点存在性定理也可能有零点(如不变号零点). 2.由函数 yf(x)在闭区间a，b上有零点不一定能推出 f(a)f(b)0，如图所示.所 以 f(a)f(b)0 是图象连续的函数 yf(x)在闭区间a，b上有零点的充分不必要条 件. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 3.若函数 f(x)在a，b上单调，且 f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则 f(
3、a)f(b) 0函数 yf(x)在a，b上只有一个零点. 诊 断 自 测 1.判断下列说法的正误. (1)函数 f(x)lg x 的零点是(1，0).() (2)若图象连续的函数 yf(x)(xD)在区间(a， b)D 内有零点， 则 f(a)f(b)0.() (3)若连续函数 f(x)在(a，b)上单调且 f(a)f(b)0，则函数 f(x)在a，b上有且只有一 个零点.() (4)f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，当 x(4，)时，恒有 h(x)f(x)g(x).() 答案(1)(2)(3)(4) 解析(1)f(x)lg x 的零点是 1，故(1)错误. (2)f(a)f(b
4、)0 是连续函数 yf(x)在(a，b)内有零点的充分不必要条件，故(2)错误. 2.下列函数中既是偶函数又存在零点的是() A.ycos xB.ysin x C.yln xD.yx21 答案A 解析由函数是偶函数，排除 B，C，又 D 中函数没有零点，排除 D，ycos x 为偶函数且有零点. 3.(必修 1P88 例 1 改编)函数 f(x)ex3x 的零点个数是() A.0B.1C.2D.3 答案B 解析由 f(x)ex30，所以 f(x)在 R 上单调递增，又 f(1)1 e30，因此函数 f(x)有且只有一个零点. 4.下列函数中是奇函数且存在零点的是() A.yx3xB.ylog2
5、x C.y2x23D.y2 x 答案A 解析对于 A，yx3x 为奇函数，且存在零点为 x0，与题意相符； 对于 B，ylog2x 为非奇非偶函数，与题意不符； 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 对于 C，y2x23 为偶函数，与题意不符； 对于 D，y2 x不存在零点，与题意不符，故选 A. 5.函数 f(x)ax12a 在区间(1，1)上存在一个零点，则实数 a 的取值范围是 _. 答案 1 3，1 解析因为函数 f(x)ax12a 在区间(1，1)
6、上是单调函数，所以若 f(x)在区 间(1，1)上存在一个零点，则满足 f(1)f(1)0，即(3a1)(1a)0，解 得1 3a1. 6.已知 f(x) x2，x0， 2x2，x0，则 f(f(2)_；函数 f(x)的零点的个数为 _. 答案141 解析根据题意得 f(2)(2)24，则 f(f(2)f(4)24216214；令 f(x)0，得 2x20(x0)，解得 x1，则函数 f(x)的零点个数为 1. 考点一函数零点所在区间的判断 【例 1】 (1)若 abc，则函数 f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的 两个零点分别位于区间() A.(a，b)和(b，c)内B
7、.(，a)和(a，b)内 C.(b，c)和(c，)内D.(，a)和(c，)内 (2)(一题多解)设 f(x)ln xx2，则函数 f(x)的零点所在的区间为() A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4) 答案(1)A(2)B 解析(1)ab0， f(b)(bc)(ba)0， 由函数零点存在性定理可知：在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数 f(x) 是二次函数，最多有两个零点；因此函数 f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b， c)内，故选 A. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中
8、数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (2)法一函数 f(x)的零点所在的区间可转化为函数 g(x)ln x，h(x)x2 图象 交点的横坐标所在的取值范围.作图如下： 可知 f(x)的零点所在的区间为(1，2). 法二易知 f(x)ln xx2 在(0，)上为增函数， 且 f(1)1210. 所以根据函数零点存在性定理可知在区间(1，2)内函数存在零点. 感悟升华确定函数 f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在性定理： 首先看函数 yf(x)在区间a，b上的图象是否连续， 再看是否有 f(a)f(b)0.若有，则函数 yf(x)在区间(a，b)内必
9、有零点. (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与 x 轴在给定区间上是否有交点来判 断. 【训练 1】 (1)函数 f(x)4 x2 x的零点所在区间是( ) A. 0，1 2B. 1 2，1C. 1，3 2D. 3 2，2 (2)已知函数 f(x)ln x 1 2 x2 的零点为 x0，则 x0所在的区间是() A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4) 答案(1)C(2)C 解析(1)f(x)的图象在(0，)上连续，又 f(x)在(0，)上递减，且 f(1)20， f 3 2 8 32 3 2 86 2 3 0.选 C. (2)f(x)ln x 1 2 x2 在(0，)
10、上是增函数， 又 f(1)ln 1 1 2 1 ln 120， f(2)ln 2 1 2 0 ln 210. 故 f(x)的零点 x0(2，3). 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 考点二函数零点(或方程根)个数的判断 【例 2】 (1)函数 f(x)2x|log0.5x|1 的零点个数为_. (2)已知 f(x)是定义在 R 上且以 4 为周期的奇函数，当 x(0，2)时，f(x)ex 1 e1 x3(e 为自然对数的底)，则函数 f(x)在区间0，4
11、上的零点的个数为_， 这些零点之和为_. 答案(1)2(2)714 解析(1)令 f(x)2x|log0，5x|10，得|log0.5x| 1 2 x . 设 g(x)|log0.5x|，h(x) 1 2 x ，在同一坐标系下分别画出函数 g(x)，h(x)的图象(如 图).由图象知，两函数的图象有两个交点，因此函数 f(x)有 2 个零点. (2)f(x)是定义在 R 上且以 4 为周期的奇函数，f(2)f(24)f(2)，又 f(2) f(2)，f(2)0，且当 x(0，2)时，f(x)ex 1e1x3，则 f(x)ex1e1x， 令 f(x)0，则 x1，所以当 x(0，1)时，f(x)
12、单调递减，当 x(1，2)时，f(x)单 调递增，f(1)1，f(0)f(2)0，故函数 f(x)的图象如图所示，由图可得函数 f(x) 在0，4上共有 7 个零点，且这些零点关于 x2 对称，故函数 f(x)在0，4上的所 有零点的和为 34214. 感悟升华函数零点个数的判断方法： (1)直接求零点，令 f(x)0，有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理，要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且 f(a)f(b)0， 函数 yf(x)a 有四个不同的零点，从小到大依次为 x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4的取值范 围为() A.(3，3e)B.3，3e) C.(3，)D.(
13、3，3e 答案(1)( 6， 10)(2)D 解析(1)由 f(x4)f(x)知，函数的周期 T4. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 又 f(x)为偶函数，f(x)f(x)f(4x)， 因此函数 yf(x)的图象关于 x2 对称. 又 f(2)f(6)f(10)2， 要使方程 f(x)logax 有三个不同的实根. 由函数的图象(如图)， 必须有 f（6）2， a1. 即 loga62， a1. 解得 6a 10. 故 a 的取值范围是( 6， 10)
14、. (2)在平面直角坐标系内画出函数 f(x)的图象如图所示，函数 yf(x)a 有四个不 同的零点等价于函数 yf(x)的图象与直线 ya 有四个不同的交点，则由图易得 1m，其中 m0.若存在实数 b，使得关于 x 的 方程 f(x)b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是_. 答案(1)1(0，1)(2)(3，) 解析(1)当 a0 时，f(x) 2x，x0， f（x） ，x0， 当 x0 时，f(x)2x，f(x)在(，0上为增函数， 当 x0 时，x0，则 f(x)f(x)2 x 1 2 x ， 则 f(x)在(0，)上为减函数， 则 f(x)maxf(0)201. 根据题意，当 x
15、a 时，f(x)2x a， 当 xa 时，则有 2axa， 此时 f(x)f(2ax)2a x， f(x) 2x a，xa 2a x，xa，其图象关于直线 xa 对称， 若函数 yf(x)b 有两个零点，即函数 yf(x)与 yb 有 2 个交点，其图象如图所 示： 必有 0b1，即 b 的取值范围为(0，1). 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (2)在同一坐标系中，作出 yf(x)与 yb 的图象.当 xm 时，x22mx4m(x m)24mm2，
16、要使方程 f(x)b 有三个不同的根，则有 4mm20.又 m0，解得 m3. 基础巩固题组 一、选择题 1.函数 f(x)3xx2的零点所在区间是() A.(0，1)B.(1，2) C.(2，1)D.(1，0) 答案D 解析由于 f(1)2 30， f(1)f(0)1，则函数 f(x)的零点为( ) A.1 2，0 B.2，0C.1 2 D.0 答案D 解析当 x1 时，由 f(x)2x10，解得 x0；当 x1 时，由 f(x)1log2x 0，解得 x1 2，又因为 x1，所以此时方程无解.综上，函数 f(x)的零点只有 0. 3.函数 f(x)2x2 xa 的一个零点在区间(1，2)内
17、，则实数 a 的取值范围是( ) A.(1，3)B.(1，2)C.(0，3)D.(0，2) 答案C 解析因为函数 f(x)2x2 xa 在区间(1，2)上单调递增，又函数 f(x)2 x2 xa 的一个零点在区间(1，2)内，则有 f(1)f(2)0，所以(a)(41a)0，即 a(a 3)0，所以 0a0，g(x)f(x)xa.若 g(x)存在 2 个零 点，则 a 的取值范围是() A.1，0)B.0，) C.1，)D.1，) 答案C 解析函数 g(x)f(x)xa 存在 2 个零点， 即关于 x 的方程 f(x)xa 有 2 个 不同的实根， 即函数 f(x)的图象与直线 yxa 有 2
18、 个交点.作出直线 yxa 与函数 f(x)的图象，如图所示，由图可知，a1， 解得 a1，故选 C. 8.(2019浙江卷)设 a，bR，函数 f(x) x，x0， 1 3x 31 2（a1）x 2ax，x0. 若函数 yf(x)axb 恰有 3 个零点，则() 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 A.a1，b0B.a0 C.a1，b1，b0 答案C 解析由题意，bf(x)ax （1a）x，x0， 1 3x 31 2（a1）x 2，x0. 设 yb，g(
19、x) （1a）x，x0， 1 3x 31 2（a1）x 2，x0. 即以上两个函数的图象恰有 3 个交点，根据选项进行讨论. 当 a0，可得 g(x)在(，0)上递增； 由 g(x)x2(a1)xxx(a1)(x0)，a11，即 a10 时， 因为 g(x)xx(a1)(x0)， 所以当 x0 时， 由 g(x)0 可得 0 x0，即1a1 时，由图象可得，若要 yg(x)与 yb 的图象有 3 个交点， 必有 b0； 当 1a0 时，yg(x)与 yb 的图象可以有 1 个、2 个或无数个交点，但不存在 有 3 个交点的情况，不合题意，舍去； 当 1a1 时，yg(x)与 yb 的图象可以有
20、 1 个或 2 个交点，但不存在 有 3 个交点的情况，不合题意，舍去. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 综上，1a1，b0.故选 C. 二、填空题 9.(2021北京朝阳区一模)能说明“函数 f(x)的图象在区间0，2上是一条连续不 断的曲线.若 f(0)f(2)0，则 f(x)在(0，2)内无零点”为假命题的一个函数是 _. 答案y(x1)2 解析考查函数 y(x1)2，绘制函数图象如图所示， 该函数 f(x)的图象在区间0，2上是一条连续不断的曲
21、线，f(0)f(2)0，但是函数 f(x)在(0，2)内存在零点 x1，故该函数使得原命题为假命题. 10.函数 f(x) |x1|，x0， |log2x|，x0，则 f(f(3)_；若存在四个不同的实数 a， b，c，d，使得 f(a)f(b)f(c)f(d)，则 abcd 的取值范围为_. 答案10，1) 解析由题可得f(3)2， 所以f(f(3)f(2)1.不妨设abcd， 则有log2c log2d，所以 cd1，且 ab2，其中1b0.所以 abcdabb(2b) b22b0，1). 11.已知函数 f(x) 2x，x0 且 2aa2.在同一坐标系下作出函数 y2x与 yx2的图象，
22、 由图可知， 实 数 a 的取值范围为2，4. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 12.已知 f(x) 1 x2m|x|，若 f(x)有两个零点，则实数 m 的值为_；若 f(x) 有三个零点，则实数 m 的取值范围是_. 答案1(1，) 解析函数 f(x)的零点，即为方程 1 x2m|x|0 即 1 m|x|(x2)(x2)的实数根， 令 g(x)|x|(x2) x22x，x0， x22x，x0，其图象如图所示，当 m1 时，g(x)图象与 y 1 m
23、有 2 个交点；当 0 1 m1 时，有 3 个交点. 13.(2020台州期末评估)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)，当 x0，)时，满足 f(x) x2，0 x1， f（x1） ，x1，则f(2)_； 方程f(x) x 20的解的个数为_. 答案15 解析由题意得 f(2)f(21)f(1)121.画出函数 f(x)和 yx 2在0，)上的 图象如图所示，易得两函数图象在(0，)上有两个交点，且两函数图象在坐标 原点处相交.又因为函数 f(x)为奇函数，所以两函数图象在 R 上有 5 个交点，即方 程 f(x)x 20 的解的个数为 5. 14.(2021浙江考前冲刺卷)已知函数 f(
24、x)(xk)ex1 在区间1，1上只有一个 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 零点，则实数 k 的取值范围是_. 答案1 11 e，e1 解析函数 f(x)(xk)ex1 在区间1，1上只有一个零点，则方程(xk)ex1 0 即 kx1 ex，在区间1，1上只有一个实根，即函数 g(x)x 1 ex的图象与直 线 yk 在区间1，1上有唯一公共点.由 g(x)x1 ex，得 g(x)1 1 ex，由 g(x) 0，得 x0，则当 x1，0)时，g(x)0
25、， 函数 g(x)单调递增， 所以在1， 1上， g(x)g(0)1.又 g(1)11 e， g( 1)e1，且 e111 e，所以作出函数 g(x)在1，1上的大致图象如图所示， 则由图象可知满足条件的实数 k 的取值范围是1 11 e，e1. 能力提升题组 15.(2019天津卷)已知函数 f(x) 2 x，0 x1， 1 x，x1. 若关于 x 的方程 f(x)1 4x a(aR)恰有两个互异的实数解，则 a 的取值范围为() A. 5 4， 9 4B. 5 4， 9 4 C. 5 4， 9 4 1D. 5 4， 9 4 1 答案D 解析画出函数 yf(x)的图象，如图. 方程 f(x)
26、1 4xa 的解的个数，即为函数 yf(x)的图象与直线 l：y 1 4xa 的 公共点的个数. 当直线 l 经过点 A 时，有 21 41a，a 9 4； 当直线 l 经过点 B 时，有 11 41a，a 5 4； 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 由图可知，a 5 4， 9 4 时，函数 yf(x)的图象与 l 恰有两个交点. 另外，当直线 l 与曲线 y1 x，x1 相切时，恰有两个公共点，此时 a0. 联立 y1 x， y1 4xa， 得1 x
27、1 4xa，即 1 4x 2ax10， 由a241 410，得 a1(舍去负根). 综上，a 5 4， 9 4 1. 16.(2020宁波期末)已知函数 f(x) （xa）2x|x|，x1， ex 1f（1）1，x1.若函数 yf(x)2 恰有两个零点，则实数 a 的取值范围为() A. 31，2)B. 311，2) C. 311，)D. 31，) 答案B 解析函数 yf(x)2 恰有两个零点等价于函数 f(x)的图象与直线 y2 恰有两个 交点.由题意得 f(1)(1a)21a22a， 则 f(x) 2x22axa2，x0， 2axa2，1x0， ex 1a22a1，x1. 当 a0 时，函
28、数 f(x)在 R 上单调递增，不满足 条件；当 a0 时，f(x) 2x2，x0， 0，1x0， ex 11，x0 时，函数 f(x) 在(，1)， a 2，上单调递增，在 1，a 2 上单调递减，且当 x时， f(x)a22a1，则由函数图象易得要使函数 f(x)的图象与直线 y2 恰有两个交 点，则有 f(1)2 或 a22a1f a 2 2 或 f a 2 2a22a1，解得 a 31 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 或 1a2，故选 B. 1
29、7.(2020浙江名师预测五)已知函数 f(x)exaxb 在1，2上存在两个不同的零 点，则 2ab 的最大值为_. 答案e2 解析令 f(x)0，则 exaxb，该问题转化为 yex，yaxb 两个函数图象在 1，2有两个不同交点，设 2abt，直线 yaxb 经过点(2，t)，由图象可知， 恰当 yaxb 过点(2，e2)时，t 有最大值 e2. 18.(2020浙江考前冲刺卷五)已知函数 f(x)m(2x 222x)x24x 有唯一的零点， 则实数 m 的值为_. 答案2 解析令 tx2，g(t)m(2t2 t)t24.因为函数 f(x)有唯一的零点，所以函数 g(t)有唯一的零点.易
30、知 g(t)g(t)， 所以函数 g(t)是偶函数.若函数 g(t)有唯一的零 点，则 g(0)0，所以 m2. 19.(2020浙江新高考仿真四)已知R，函数 f(x) x4，x， x24x2，x.若函数 f(x) 恰有 2 个不同的零点，则的取值范围为_. 答案(0，2) 解析由题意得 f(x) x4，x， （x2）224，x，当2 时，函数 f(x)在(，) 上单调递减，在，)上单调递增，则要使函数 f(x)恰有两个零点，则24 20 且40，则 02 时，函数 f(x)在(，2)上单调递减，在2， )上单调递增，在，)上单调递增，此时 f(2)22422420， 所以函数 f(x)在(
31、，)上没有零点，在，)上最多有一个零点，不符合题 意.综上所述，实数的取值范围为(0，2). 20.已知函数 f(x)|x m x|4，若 m4，则函数 f(x)的零点个数为_；若 函数 f(x)有 4 个零点，则实数 m 的取值范围是_. 答案2(，0)(0，4) 解析当 m4 时，f(x)|x 4 x|4，由对勾函数的性质易得 y|x 4 x|4， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 当且仅当 x2 时等号成立，所以函数 f(x)|x 4 x|4 的零点有 2 个.当 m0 时，由对勾函数的性质易得 y|x m x|2 m，当且仅当 x m时等号成立， 要使 f(x)|x m x|4 有 4 个零点，则有 2 m4，解得 0m4；当 m0 时，f(x) |x|4，易知此时函数 f(x)|x|4 有 2 个零点，不符合题意；当 m0 时，函数 y|x m x|0， 当且仅当 x m时， 等号成立， 所以此时函数 f(x)|x m x| 4 有 4 个零点，综上所述，实数 m 的取值范围为(，0)(0，4).
