1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 第 10 节圆锥曲线中的定点、定线、定值、探索性问题 知 识 梳 理 1定点问题的常用方法 (1)参数法：参数法解决定点问题的思路：引进动点的坐标或动直线中的参数表 示变化量，即确定题目中的核心变量(此处设为 k)；利用条件找到 k 与过定点的 曲线 F(x，y)0 之间的关系，得到关于 k 与 x，y 的等式，再研究变化量与参数何 时没有关系，找到定点 (2)由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动
2、直线的特 殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关 2定线问题的常用方法 (1)证明动点的轨迹为直线 (2)验证动点的坐标适合定直线的方程 3定值问题的常用方法 (1)直接消参求定值：常见定值问题的处理方法：确定一个(或两个)变量为核心 变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示；将所求表达式用核心变量进行 表示(有的甚至就是核心变量)，然后进行化简，看能否得到一个常数 (2)从特殊到一般求定值：常用处理技巧：在运算过程中，尽量减少所求表达式 中变量的个数，以便于向定值靠拢；巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符 合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算 4探究性问题的常用方法 先假设成立，在假设
3、成立的前提下求出与已知、定理或公理相同的结论，说明结 论成立，否则说明结论不成立 诊 断 自 测 1已知抛物线 y22px(p0)的焦点弦 AB 的两端点坐标分别为 A(x1，y1)，B(x2， y2)，则y1y2 x1x2的值为( ) A4B4Cp2Dp2 答案A 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解析若焦点弦 ABx 轴，则 x1x2p 2，则 x 1x2p 2 4 ，不妨设 y1p，则 y2 p，y1y2p2，y1y2 x1x24. 若焦点弦 AB
4、 不垂直于 x 轴，可设 AB：yk xp 2 ， 联立 y22px 得 k2x2(k2p2p)xp 2k2 4 0， 则 x1x2p 2 4 .又 y212px1，y222px2， y21y224p2x1x2p4，又y1y20，y1y2p2. 故y1y2 x1x24. 2在直角坐标平面内，过定点 P 的直线 l：axy10 与过定点 Q 的直线 m：x ay30 相交于点 M，则|MP|2|MQ|2的值为() A. 10 2 B. 10C5D10 答案D 解析由题意知 P(0，1)，Q(3，0)， 过定点 P 的直线 axy10 与过定点 Q 的直线 xay30 垂直，M 位于 以 PQ 为
5、直径的圆上， |PQ| 91 10， |MP|2|MQ|2|PQ|210，故选 D. 3(2015浙江卷)如图，设抛物线 y24x 的焦点为 F，不经过焦点的直线上有三 个不同的点 A，B，C，其中点 A，B 在抛物线上，点 C 在 y 轴上，则BCF 与 ACF 的面积之比是() A.|BF|1 |AF|1 B.|BF| 21 |AF|21 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 C.|BF|1 |AF|1 D.|BF| 21 |AF|21 答案A 解析由图
6、形可知BCF 与ACF 有公共的顶点 F，且 A，B，C 三点共线，易 知BCF 与ACF 的面积之比就等于|BC| |AC|.由抛物线方程知焦点 F(1， 0)， 作准线 l， 则 l 的方程为 x1.点 A，B 在抛物线上，过 A，B 分别作 AK，BH 与准线垂 直，垂足分别为点 K，H，且与 y 轴分别交于点 N，M.由抛物线定义得|BM|BF| 1，|AN|AF|1.在CAN 中，BMAN，|BC| |AC| |BM| |AN| |BF|1 |AF|1. 4已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，准线 l 与 x 轴交于点 M，点 P 在抛物线上， 直线 PF 与抛物线交于另一点 A
7、，设直线 MP，MA 的斜率分别为 k1，k2，则 k1 k2的值为_ 答案0 解析设过 F 的直线 xmy1 交抛物线于 P(x1，y1)，A(x2，y2)，M(1，0)， 联立方程组 xmy1， y24x， 得 y24my40， 于是有 y1y24m， y1y24， k1k2 y1 x11 y2 x21 y1x2y2x1y1y2 x1x2x1x21 ， 又 y1x2y2x1y1y21 4y 1y2(y1y2)(y1y2)1 4(4)4m4m0，k 1k20. 5(2021浙江新高考仿真卷二)已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)，直线 l 1：y1 2x， 直线 l2：y1 2x，P
8、 为椭圆上任意一点，过 P 作 PMl 1且与直线 l2交于点 M，作 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 PNl2且与 l1交于点 N，若|PM|2|PN|2为定值，则椭圆的离心率为_ 答案 3 2 解析设|PM|2|PN|2t，M x1，1 2x 1 ，N x2，1 2x 2 ，P(x，y)因为四边形 PMON 为平行四边形，所以|PM|2|PN|2|ON|2|OM|25 4(x 2 1x22)t.因为OP OM ON x1x2，1 2x 11 2x
9、2 ，所以 xx1x2， y1 2x 11 2x 2，则 x 24y22(x2 1x22)8 5t，此方程为椭 圆方程，即x 2 8t 5 y 2 2t 5 1，则椭圆的离心率 e 8t 5 2t 5 8t 5 3 2 . 6已知椭圆x 2 3 y21，直线 l 过点 M(1，0)且与椭圆 C 相交于 A，B 两点过点 A 作直线 x3 的垂线，垂足为 D.则直线 BD 过 x 轴上的定点坐标为_ 答案(2，0) 解析(1)当直线 l 斜率不存在时，直线 l 的方程为 x1， 不妨设 A 1， 6 3 ，B 1， 6 3 ，D 3， 6 3 ， 此时直线 BD 的方程为 y 6 3 (x2)，
10、所以直线 BD 过点(2，0) (2)当直线 l 的斜率存在时，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 AB 为 yk(x1)，D(3， y1)， 由 yk（x1） ， x23y23， 得(13k2)x26k2x3k230， 所以 x1x2 6k2 3k21，x 1x23k 23 3k21. 直线 BD：yy1y2y1 x23 (x3)，只需证明直线 BD 过点(2，0)即可， 令 y0，得 x3y1（x23） y2y1 ， 所以 x3y23y1y1x23y1 y2y1 3y2y1x2 y2y1 4x23x1x2 x2x1 ， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031
11、380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 即证4x23x1x2 x2x1 2，即证 2(x2x1)x1x23， 可得 2(x2x1)x1x2 12k2 3k21 3k23 3k21 9k23 3k213，所以直线 BD 过点(2，0)， 综上所述，直线 BD 恒过 x 轴上的定点(2，0) 微课一圆锥曲线中的定点、定线问题 题型一定点问题 【例 1】 (1)(2019北京高考题改编)已知椭圆 C：x 2 2 y21，且 A(0，1)，设 O 为 原点，直线 l：ykxt(t1)与椭圆 C 交于两个不同点 P，Q，直线 A
12、P 与 x 轴 交于点 M，直线 AQ 与 x 轴交于点 N.若|OM|ON|2，求证：直线 l 经过定点 (2)(2019北京高考题改编)已知抛物线 C： x24y.设 O 为原点， 过抛物线 C 的焦 点作斜率不为 0 的直线 l 交抛物线 C 于两点 M， N， 直线 y1 分别交直线 OM， ON 于点 A 和点 B.求证：以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的两个定点 证明(1)设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则直线 AP 的方程为 yy11 x1 x1. 令 y0，得点 M 的横坐标 xM x1 y11. 又 y1kx1t，从而|OM|xM| x1 kx1t1|. 同理，|
13、ON| x2 kx2t1|. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 由 ykxt， x2 2 y21，得(12k 2)x24ktx2t220， 则 x1x2 4kt 12k2，x 1x22t 22 12k2. 所以|OM|ON| x1 kx1t1| x2 kx2t1| | x1x2 k2x1x2k（t1） （x1x2）（t1）2| | 2t22 12k2 k22t 22 12k2k（t1） 4kt 12k2（t1）2| 2| 1t 1t|. 又|OM|ON|
14、2，所以 2| 1t 1t|2. 解得 t0，所以直线 l 经过定点(0，0) (2)抛物线 C 的焦点为 F(0，1) 设直线 l 的方程为 ykx1(k0) 由 ykx1， x24y 得 x24kx40. 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1x24. 直线 OM 的方程为 yy1 x1x. 令 y1，得点 A 的横坐标 xAx1 y1， 同理得 B 的横坐标 xBx2 y2. 设点 D(0，n)，则DA x1 y1，1n， DB x2 y2，1n， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ
15、 群 483122854 期待你的加入与分享 DA DB x1x2 y1y2(n1) 2 x1x2 x 2 1 4 x 2 2 4 (n1)2 16 x1x2(n1) 24(n1)2. 令DA DB 0，即4(n1)20，得 n1 或 n3. 综上，以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的定点(0，1)和(0，3) 感悟升华(1)求解直线和曲线过定点问题的基本思路是：把直线或曲线方程中的 变量 x，y 当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要 对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于 x，y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点
16、 (2)由直线方程确定定点时，若得到了直线的点斜式方程 yy0k(xx0)，则直线 必过定点(x0，y0)；若得到了直线的斜截式方程 ykxm，则直线必过定点(0， m) 【训练 1】 (2021郑州三预)已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，x 轴上方的 点 M(2，m)在抛物线上，且|MF|5 2，直线 l 与抛物线交于 A，B 两点(点 A，B 与 M 不重合)，设直线 MA，MB 的斜率分别为 k1，k2. (1)求抛物线的方程； (2)当 k1k22 时，求证：直线 l 恒过定点并求出该定点的坐标 (1)解由抛物线的定义可知|MF|p 2(2) 5 2， p1，抛物线的方程为
17、y22x. (2)证明由(1)可知点 M 的坐标为(2，2)， 当直线 l 斜率不存在时，此时 A，B 重合，舍去， 当直线 l 斜率存在时，设直线 l 的方程为 ykxb， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线 l 与抛物线联立得 ykxb， y22x， 可得 k2x2(2kb2)x b20，x1x22kb2 k2 ，x1x2b 2 k2， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 又 k1k2y12 x12 y22 x222， 即(kx1b2)(x
18、22)(kx2b2)(x12)2(x12)(x22)， 2kx1x22k(x1x2)b(x1x2)2(x1x2)4b82x1x24(x1x2)8， 将代入得 b2b22k(b1)0， 即(b1)(b22k)0，得 b1 或 b22k， 当 b1 时，直线 l 为 ykx1，此时直线恒过(0，1)， 当 b22k 时，直线 l 为 ykx2k2k(x2)2，此时直线恒过(2，2)(舍 去)， 所以直线 l 恒过定点(0，1) 题型二证明动点在定直线上 【例 2】 (2021宁波期末)已知抛物线 E：y22px(p0)过点 Q(1，2)，F 为其焦点， 过点 F 且不垂直于 x 轴的直线 l 交抛
19、物线 E 于 A，B 两点，动点 P 满足PAB 的 垂心为原点 O. (1)求抛物线 E 的方程； (2)求证：动点 P 在定直线 m 上，并求S PAB SQAB的最小值 (1)解由题设可知 42p，解得 p2， 则抛物线 E 的方程为 y24x. (2)证明设 l：tyx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 设点 P，Q 到直线 AB 的距离分别为 d1，d2. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 联立 y24x， tyx1可得 y 24ty40
20、， 则有 y1y24t， y1y24. APBO，kBOy2 x2，k APx2 y2， 设 AP：yy1x2 y2(xx 1)， 即 yy2 4 x3 4y 1， 同理 BP：yy1 4 x3 4y 2， 解得 P(3，3t)，即动点 P 在定直线 m：x3 上， 则S PAB SQAB 1 2|AB|d 1 1 2|AB|d 2 d1 d2 |3t24| |2t| |3 2t 2 t | 2 3 当且仅当 t2 3 3 时取等号 . 感悟升华(1)求出动点的轨迹看是否为直线；(2)验证动点坐标适合(已知)的直线 方程 【训练 2】 (2021合肥质检三)已知直线 l 经过椭圆 C：x 2
21、a2 y2 b21(ab0)的右焦 点(1，0)，交椭圆 C 于点 A，B，点 F 为椭圆 C 的左焦点，ABF 的周长为 8. (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)若直线 m 与直线 l 的倾斜角互补， 且交椭圆 C 于点 M， N， |MN|24|AB|， 求证： 直线 m 与直线 l 的交点 P 在定直线上 (1)解由已知，得 c1， 4a8， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 c1， a2，b 23， 椭圆 C 的标准方程为x 2 4 y 2
22、3 1. (2)证明若直线 l 的斜率不存在，则直线 m 的斜率也不存在， 这与直线 m 与直线 l 相交于点 P 矛盾，所以直线 l 的斜率存在 令 l：yk(x1)(k0)，m：yk(xt)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，M(xM，yM)，N(xN， yN) 将直线 m 的方程代入椭圆方程得(34k2)x28k2tx4(k2t23)0， xMxN 8k2t 34k2，x MxN4（k 2t23） 34k2 ， |MN|2(1k2)16（12k 23k2t29） （34k2）2 . 同理，|AB| 1k24 9k 29 34k2 12（1k 2） 34k2 . 由|MN|24|AB|得
23、 t0， 此时，64k4t216(34k2)(k2t23)0， 直线 m：ykx， P 1 2， 1 2k，即点 P 在定直线 x1 2上 1(2020全国卷)已知 A，B 分别为椭圆 E：x 2 a2y 21(a1)的左、右顶点，G 为 E 的上顶点，AG GB 8.P 为直线 x6 上的动点，PA 与 E 的另一交点为 C，PB 与 E 的另一交点为 D. (1)求 E 的方程； (2)证明：直线 CD 过定点 (1)解由题设得 A(a，0)，B(a，0)，G(0，1) 则AG (a，1)，GB (a，1) 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与
24、分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 由AG GB 8，得 a218， 解得 a3 或 a3(舍去) 所以椭圆 E 的方程为x 2 9 y21. (2)证明设 C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(6，t) 若 t0，设直线 CD 的方程为 xmyn， 由题意可知3nb0)的离心率为 1 2，并且经过点 P 1，3 2 . (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)一条斜率为 k 的直线交椭圆 C 于 A，B 两点(不同于点 P)，直线 AP 和 BP 的斜 率分别为 k1，k2，且满足 k1k23，试判断直线 AB 是否经过定点，请说明理
25、由 解(1)由离心率 ec a 1 2得 a2c，将点 P 1，3 2 代入椭圆 C 的方程，解得 a2， b 3， 所以椭圆 C 的标准方程为x 2 4 y 2 3 1. (2)直线 AB 经过定点理由如下： 设直线 AB 的方程为 ykxm，点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，与椭圆 C 的方程联立得 (34k2)x28kmx4m2120，x1x28km 34k2，x 1x24m 212 34k2 ， (8km)24(34k2)(4m212)48(34k2m2)0. k1k2 y13 2 x11 y23 2 x21 kx1m3 2 x11 kx2m3 2 x21 k（x11）km3 2
26、 x11 k（x21）km3 2 x21 2k km3 2 （x1x22） （x11） （x21） 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 2k km3 2 （8km68k2） 4k28km4m29 2k4km34k 2 2k2m3 6k3 2k2m3 3， 解得 m2，所以直线 AB 经过定点(0，2) 3(2021合肥质检二)已知抛物线 C1：x22py(p0)和圆 C2：(x1)2y22，倾 斜角为 45的直线 l1过 C1的焦点，且 l1与 C2相切
27、(1)求 p 的值； (2)(一题多解)动点 M 在 C1的准线上，动点 A 在 C1上，若 C1在 A 点处的切线 l2 交 y 轴于点 B， 设MN MA MB ， 求证： 点 N 在定直线上， 并求该定直线的方程 (1)解依题意，设直线 l1的方程为 yxp 2， 因为直线 l1与圆 C2相切， 所以圆心 C2(1，0)到直线 l1：yxp 2的距离 d |1 p 2| 12（1）2 2， 即| 1p 2| 2 2，解得 p6 或 p2(舍去) 所以 p6. (2)证明法一依题意设 M(m，3)， 由(1)知抛物线 C1的方程为 x212y，所以 yx 2 12，所以 y x 6， 设
28、A(x1，y1)，则以 A 为切点的切线 l2的斜率为 kx1 6 ， 所以切线 l2的方程为 y1 6x 1(xx1)y1. 令 x0，则 y1 6x 2 1y11 612y 1y1y1，即 B 点的坐标为(0，y1)， 所以MA (x1m，y13)，MB (m，y13)， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 所以MN MA MB (x12m，6)， 所以ON OM MN (x1m，3)，其中 O 为坐标原点 设 N 点坐标为(x，y)，则 y3， 所以
29、点 N 在定直线 y3 上 法二设 M(m，3)， 由(1)知抛物线 C1的方程为 x212y， 设 l2的斜率为 k， A x1， 1 12x 2 1 ， 则以 A 为切点的切线 l2的方程为 yk(xx1) 1 12x 2 1 ， 联立得，x212 k（xx1） 1 12x 2 1 ， 因为144k248kx14x210，所以 kx1 6 ， 所以切线 l2的方程为 y1 6x 1(xx1) 1 12x 2 1. 令 x0，得 B 点坐标为 0， 1 12x 2 1 ， 所以MA x1m， 1 12x 2 13 ， MB m， 1 12x 2 13 ， 所以MN MA MB (x12m，6
30、)， 所以ON OM MN (x1m，3)，其中 O 为坐标原点， 设 N 点坐标为(x，y)，则 y3， 所以点 N 在定直线 y3 上 4(2021上海松江区质量监控)如图，已知椭圆 M：x 2 a2 y2 b21(ab0)经过圆 N： x2(y1)24 与 x 轴的两个交点和与 y 轴正半轴的交点 (1)求椭圆 M 的方程； 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (2)若点 P 为椭圆 M 上的动点，点 Q 为圆 N 上的动点，求线段 PQ 长的最大值
31、； (3)若不平行于坐标轴的直线交椭圆 M 于 A、B 两点，交圆 N 于 C、D 两点，且满 足AC DB ，求证：线段 AB 的中点 E 在定直线上 (1)解因为圆 N：x2(y1)24，令 x0，则 y1 或 y3，所以圆 N 与 y 轴 正半轴的交点为(0，1)； 令 y0，则 x 3，即圆 N 与 x 轴的两个交点为( 3，0)， 因为椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)经过圆 x 2(y1)24 与 x 轴的两个交点和与 y 轴正半 轴的交点，所以 a23， b21， 即椭圆 M 的方程为x 2 3 y21. (2)解由(1)可设 P( 3cos ，sin )， 则点 P( 3
32、cos ，sin )到圆 x2(y1)24 的圆心的距离为： |PN| 3cos2（sin 1）2 2cos22sin 22 sin2sin 1 4 9 2 2 sin 1 2 2 9 2 9 2 3 2 2 ， 当且仅当 sin 1 2时，等号成立； 又点 Q 为圆 N 上的动点，由圆的性质可得 |PQ|max|PN|maxr3 2 2 2(其中 r 为圆 N 的半径) (3)证明设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 AB 的方程为 xmyn(m0)， 由 xmyn， x2 3 y21 消去 x 得(myn)23y23， 整理得(m23)y22mnyn230， 所以 y1y22mn
33、m23，所以 x 1x2m(y1y2)2n2m 2n m23 2n 6n m23， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 所以 AB 中点 E 的坐标为 3n m23， mn m23 ； 因为直线 AB 交圆 N：x2(y1)24 于点 C，D，且AC DB ， 因此 E 也是 CD 的中点； 根据圆的性质可得 NEAB， 所以 kNEkAB1，即 mn m231 3n m23 1 m1，整理得 m 232mn， 所以 E 3 2m， 1 2 ，因此点 E
34、在定直线 y1 2上 微课二圆锥曲线中的定值及探索性问题 题型一圆锥曲线中的定值问题 【例 1】 (2020新高考山东卷)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 2 2 ， 且过点 A(2，1) (1)求 C 的方程； (2)点 M，N 在 C 上，且 AMAN，ADMN，D 为垂足证明：存在定点 Q，使 得|DQ|为定值 (1)解由题设得 4 a2 1 b21, a2b2 a2 1 2， 解得 a26，b23. 所以 C 的方程为x 2 6 y 2 3 1. (2)证明设 M(x1，y1)，N(x2，y2) 若直线 MN 与 x 轴不垂直， 设直线 MN 的方程为 yk
35、xm，代入x 2 6 y 2 3 1， 得(12k2)x24kmx2m260. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 于是 x1x2 4km 12k2，x 1x22m 26 12k2 . 由 AMAN，得AM AN 0， 故(x12)(x22)(y11)(y21)0， 整理得(k21)x1x2(kmk2)(x1x2)(m1)240. 将代入上式，可得(k21)2m 26 12k2 (kmk2) 4km 12k2(m1) 240， 整理得(2k3m1)(2km
36、1)0. 因为 A(2，1)不在直线 MN 上， 所以 2km10，所以 2k3m10，k1. 所以直线 MN 的方程为 yk x2 3 1 3(k1) 所以直线 MN 过点 P 2 3， 1 3 . 若直线 MN 与 x 轴垂直，可得 N(x1，y1) 由AM AN 0， 得(x12)(x12)(y11)(y11)0. 又x 2 1 6 y 2 1 3 1，所以 3x218x140. 解得 x12(舍去)，或 x12 3. 此时直线 MN 过点 P 2 3， 1 3 . 令 Q 为 AP 的中点，即 Q 4 3， 1 3 . 若 D 与 P 不重合，则由题设知 AP 是 RtADP 的斜边，
37、 故|DQ|1 2|AP| 2 2 3 . 若 D 与 P 重合，则|DQ|1 2|AP|. 综上，存在点 Q 4 3， 1 3 ，使得|DQ|为定值 感悟升华求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊值入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定值 【训练 1】 (2021温州适考)如图，已知椭圆 C：x 2 4 y21，F 为其右焦点，直线 l：ykxm(
38、km0)与椭圆交于 P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，点 A，B 在 l 上，且满 足|PA|PF|，|QB|QF|，|OA|OB|(点 A，P，Q，B 从上到下依次排列) (1)试用 x1表示|PF|； (2)证明：坐标原点 O 到直线 l 的距离为定值 (1)解由题设可知点 F 的坐标为( 3，0)， 则|PF| （x1 3）2y21 （x1 3）211 4x 2 1 3 4x 2 12 3x14|2 3 2 x1|. 因为2x12，所以|PF|2 3 2 x1. (2)证明设点 A(x3，y3)，B(x4，y4) 将 ykxm 代入x 2 4 y21 得 (4k21)x28kmx4
39、m240， 所以 x1x28km 4k21，x 1x24m 24 4k21 ， 可得|x2x1|4 4k 21m2 4k21 . 由|OA|OB|得y3y4 x3x4 k（x3x4）2m x3x4 1 k， 所以 x3x42km k21 . 由|PA|PF|得 1k2|x1x3|2 3 2 x1， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 同理，由|QB|QF|得 1k2|x4x2|2 3 2 x2， 由已知可得 x3x1x2x1x2x4， 所以 1k2|(x1
40、x2)(x3x4)| 3 2 |x2x1|， 所以 1k2|8km 4k21 2km k21|2 3 4k21m2 4k21 ， 化简得 m2k21， 所以坐标原点 O 到直线 l 的距离为 |m| 1k21 为定值 题型二圆锥曲线中的探索性问题 【例 2】 (2021浙江名师预测卷一)如图，已知椭圆 C：x 2 9 y 2 5 1，直线 l：x9 2， 过右焦点 F 的直线 MN 交椭圆 C 于点 M，N，过点 N 作 NPl 于点 P. (1)证明：|NF| |NP| 2 3； (2)在直线 l 上是否存在点 T，使得TMN 为正三角形，若存在，请求出直线 MN 的方程；若不存在，请说明理
41、由 (1)证明设 N(x1，y1)，则有x 2 1 9 y 2 1 5 1， 即 y2155 9x 2 1，所以|NF| |NP| （x12）2y21 9 2x 1 4 9x 2 14x19 x219x181 4 2 3. (2)解取 MN 的中点为 R，设 N(x1，y1)，M(x2，y2)， 直线 MN 的方程为 xmy2， 则 R x1x2 2 ，y1y2 2，联立方程组 xmy2， 5x29y245， 得(5m29)y220my250， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 4831228
42、54 期待你的加入与分享 则 y1y2 20m 5m29，y 1y2 25 5m29， x1x2m(y1y2)4 36 5m29， 若要满足TMN 为正三角形， 即满足 TRMN 且|TR| 3 2 |MN|， 又因为 R 18 5m29， 10m 5m29 ，则直线 RT 的方程为 y 10m 5m29m x 18 5m29 ， 令 x9 2，得 T 9 2， 45m365m 10m218， 所以|TR| 5 2 45m465m2 10m218 1m2 ， 又|MN|30（1m 2） 5m29 ， 由|TR| 3 2 |MN|，解得 m 3 3 ， 即直线 MN 的方程为 x 3 3 y2.
43、 感悟升华先假设存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，推证 满足条件的结论，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否 则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在，要注意的是：(1)当条件和结论不唯一 时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条 件；(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合 适的方法 【训练 2】 (2021温州适考)如图，过点 P(2，3)作两条直线分别交抛物线 x24y 于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)直线 BD 交直线 l：yx3 于 点 Q.
44、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (1)求证：2(x1x2)12x1x2； (2)试问点 C，A，Q 是否共线？说明理由 (1)证明设过点 P 的直线 AB 的方程为 yk(x2)3， 联立 yk（x2）3， x24y， 消去 y 得 x24kx8k120， x1x24k， x1x28k12， 2(x1x2)x1x212. (2)解点 C， A， Q 共线 理由如下， 由题意可知 kACy1y3 x1x3 x1x3 4 ， kBDx2x4 4 ， 直线
45、BD 的方程为 yx2x4 4 xx2x4 4 ，与 yx3 联立得 xQ 12x2x4 4（x2x4）. 又由(1)得 x22x112 x12 ，同理得 x42x312 x32 ， xQ 122x112 x12 2x312 x32 4 2x112 x12 2x312 x32 x1x312 x1x34， yQx1x33（x1x3） x1x34 ， kAQ x21 4 x1x33（x1x3） x1x34 x1 x1x312 x1x34 x 3 1x21x34x214x1x312x112x3 4（x214x112） 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与
46、分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 （x1x3） （x 2 14x112） 4（x214x112） x1x3 4 ， kACkAQ，即 C，A，Q 三点共线 1(2021北京西城区期末)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 2 1(a 2)的离心率为 2 2 ，左、右 顶点分别为 A，B，点 M 是椭圆 C 上异于 A，B 的一点，直线 AM 与 y 轴交于点 P. (1)若点 P 在椭圆 C 的内部，求直线 AM 的斜率的取值范围； (2)设椭圆 C 的右焦点为 F，点 Q 在 y 轴上，且 AQBM.求证：PFQ 为定值 (1)解由题意
47、得 c2a22，c a 2 2 ， 解得 a2，c 2，所以椭圆 C 的方程为x 2 4 y 2 2 1. 设 P(0，m)，由点 P 在椭圆 C 的内部，得 2m 2， 又因为 A(2，0)， 所以直线 AM 的斜率 kAMm0 02 m 2 2 2 ， 2 2 ， 又因为 M 是椭圆 C 上异于 A，B 的一点， 所以 kAM 2 2 ，0 0， 2 2 . (2)证明由题意 F( 2，0)，设 M(x0，y0)，其中 x02，则x 2 0 4 y 2 0 2 1， 所以直线 AM 的方程为 y y0 x02(x2)， 令 x0，得点 P 的坐标为 0， 2y0 x02 ， 因为 kMB
48、y0 x02，所以 k AQ y0 x02， 所以直线 AQ 的方程为 y y0 x02(x2)， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 令 x0，得点 Q 的坐标为 0， 2y0 x02 ， 由FP 2， 2y0 x02 ，FQ 2， 2y0 x02 ， 得FP FQ 2 4y20 x204 2x204y208 x204 0， 所以FP FQ ，即PFQ90， 所以PFQ 为定值 2(2018北京卷)已知抛物线 C：y22px 经过点 P(1，2)过点 Q
49、(0，1)的直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交点 A，B，且直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N. (1)求直线 l 的斜率的取值范围； (2)设 O 为原点，QM QO ，QN QO ，求证：1 1 为定值 (1)解因为抛物线 y22px 过点(1，2)， 所以 2p4，即 p2. 故抛物线 C 的方程为 y24x. 由题意知，直线 l 的斜率存在且不为 0. 设直线 l 的方程为 ykx1(k0) 由 y24x， ykx1得 k 2x2(2k4)x10. 依题意(2k4)24k210，解得 k0 或 0k1. 又 PA，PB 与 y 轴相交，故直线 l 不过点(1
50、，2) 从而 k3. 所以直线 l 斜率的取值范围是(，3)(3，0)(0，1) (2)证明设 A(x1，y1)，B(x2，y2) 由(1)知 x1x22k4 k2 ，x1x2 1 k2. 直线 PA 的方程为 y2y12 x11(x1) 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 令 x0，得点 M 的纵坐标为 yMy12 x11 2kx11 x11 2. 同理得点 N 的纵坐标为 yNkx21 x21 2. 由QM QO ，QN QO 得1yM，1yN. 所以
