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3、导数法求最大值. 总结反思 根据参数确定函数的零点个数有两种解决方法:一种是利用单调性 与零点存在定理求解,另一种是化原函数为两个函数,利用两个函数图像的交点 来求解. 变式题 2020西安二模 已知 函数f(x)=ex-kx-m(k,m为实数). (1)求函数f(x)的单调区间; 解:f(x)=ex-k(xR), 当k0时,f(x)0恒成立, f(x)的单调递增区间为R,无单调递减区间; 当k0时,由f(x)0得xln k, 由f(x)0得xln k, 故f(x)的单调递减区间为(-,ln k), 单调递增区间为(ln k,+). 变式题 2020西安二模 已知 函数f(x)=ex-kx-m
4、(k,m为实数). (2)当k=2,m=1时,判断函数f(x) 零点的个数. 解:当k=2,m=1时,f(x)=ex-2x-1, 由(1)知f(x)在(-,ln 2)上单调递减,而f(0)=0, 故f(x)在(-,ln 2)上有且仅有1个零点; 由(1)知f(x)在ln 2,+)上单调递增, 而f(1)=e-30,且f(x)的图像在1,2 上是连续不间断的, 故f(x)在1,2上有且仅有1个零点, 所以f(x)在ln 2,+)上有且仅有1个零点. 综上,函数f(x)有且仅有2个零点. 探究点二根据零点个数确定参数 思路点拨 求函数f(x)的导数,利用导数和单 调性之间的关系即可求函数的单调区间
5、. 例2 设函数f(x)=ln x-ax-1,aR. (1)求函数f(x)的单调区间; 例2 设函数f(x)=ln x-ax-1,aR. (1)求函数f(x)的单调区间; 思路点拨 根据函数f(x)没有零点,转化为方程 f(x)=0无解,由(1)中结论即可得a的取值范围. 例2 设函数f(x)=ln x-ax-1,aR. (2)当a0时,若函数f(x)没有零 点,求a的取值范围. 总结反思 根据函数零点个数确定参数取值范围的核心思想是“数形结合”, 即通过函数的单调性确定函数图像与x轴的交点个数,或者通过两个相关函数 图像的交点个数确定参数需满足的条件,进而求得参数的取值范围,解决问题的 步骤
6、是“先形后数”. 变式题 设函数f(x)=x3+ax2+bx+c. (1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的 切线方程; 解:由f(x)=x3+ax2+bx+c, 得f(x)=3x2+2ax+b. 因为f(0)=c,f(0)=b, 所以曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方 程为y=bx+c. 变式题 设函数f(x)=x3+ax2+bx+c. (2)设a=b=4,若函数f(x)有三个不 同的零点,求c的取值范围. x(-,-2)-2 f(x)+0-0+ f(x)c 探究点三可化为函数零点的函数问题 思路点拨 若a=1,则f(x)=ex-1-xln x-1,f(x)=ex-1- ln
7、 x-1(x0),令g(x)=ex-1-x,用导数法得到ex-1x, 从而得到f(x)在(0,+)上单调递增,结合f(1)=0, 得到当x(0,1)时,f(x)0, 从而得证. 证明:若a=1,则f(x)=ex-1-xln x-1,f(x)=ex-1-ln x- 1(x0), 令g(x)=ex-1-x,则g(x)=ex-1-1, 当x(0,1)时,g(x)0,g(x)在(1,+)上单调 递增. 因此g(x)g(1)=0,即ex-1x,所以x-1ln x(x0), 所以当a=1时,f(x)=ex-1-ln x-1x-(x-1)-1=0, 所以f(x)在(0,+)上单调递增. 又因为f(1)=0,
8、 所以当x(0,1)时,f(x)0,所以(x-1)f(x)0. 例3 2020胶州期末 已知函数 f(x)=ex-a-xln x-(a-1)x-1,aR. (1)若a=1,证明:(x-1)f(x)0; 思路点拨 f(x)=ex-a-ln x-a(x0),令h(x)=f(x),分a1 和a1两种情况,结合零点存在定理求解. 例3 2020胶州期末 已知函数 f(x)=ex-a-xln x-(a-1)x-1,aR. (2)讨论f(x)的极值点个数. 例3 2020胶州期末 已知函数 f(x)=ex-a-xln x-(a-1)x-1,aR. (2)讨论f(x)的极值点个数. 例3 2020胶州期末
9、已知函数 f(x)=ex-a-xln x-(a-1)x-1,aR. (2)讨论f(x)的极值点个数. 总结反思 若f(x)为可导函数f(x)的导函数,x0为f(x)的极值点,则必有f(x0)=0.曲 线的切线条数、两曲线的交点个数、方程根的个数等问题解决的关键是转化 为对应函数的零点个数问题,通过数形结合的方式,研究函数的零点个数确定相 应的数量关系. 【备选理由】例1考查利用导数判断函数零点个数;例2考查用导数研究函数 的单调性,由函数的零点个数求参数取值范围,零点个数问题常常转化为方程 解的个数问题,又可转化为直线与函数图像交点个数问题,本题中在确定出函 数的单调性与极值(最值)后还必须确
10、定函数在不同区间上的取值范围才可得 出正确答案,否则易扩大参数的取值范围;例3主要考查导数的应用,利用导数 求解切线问题时注意导数值与切线斜率的关系,曲线的交点问题通常转化为 函数的零点问题,结合单调性及最值进行求解,侧重考查数学运算的核心素养. 例2 配合例2使用 2020四川 三台模拟 已知函数f(x)=ln x+ ax(aR). (1)讨论函数f(x)的单调性; 例2 配合例2使用 2020四川 三台模拟 已知函数f(x)=ln x+ ax(aR). (2)当a=1时,设函数g(x)=f(x)- k(x+2)+5,若函数g(x)在区间 (0,+)上有两个零点,求实数k 的取值范围. 例2
11、 配合例2使用 2020四川 三台模拟 已知函数f(x)=ln x+ ax(aR). (2)当a=1时,设函数g(x)=f(x)- k(x+2)+5,若函数g(x)在区间 (0,+)上有两个零点,求实数k 的取值范围. 例3 配合例3使用 2020辽宁大 连二十四中模拟 已知函数f(x)= xln x-1,g(x)=(k-1)x-k(kR). (1)若直线y=g(x)是曲线y=f(x)的 一条切线,求k的值; 解:当x1时,直线y=g(x)与曲线y=f(x)+1 无交点,则g(x)=f(x)+1无解,令F(x)= xln x-(k-1)x+k,则F(x)无零点,F(x)=ln x +2-k=l
12、n x-(k-2)(x1). 当k-20,即k2时,F(x)0,所以F(x)在 (1,+)上单调递增,所以F(x)F(1)=1,即 F(x)在(1,+)上无零点,满足题意. 当k-20,即k2时,由F(x)=0,得x=ek-2. 例3 配合例3使用 2020辽宁大 连二十四中模拟 已知函数f(x)= xln x-1,g(x)=(k-1)x-k(kR). (2)当x1时,直线y=g(x)与曲线 y=f(x)+1无交点,求k的最大整数值. 例3 配合例3使用 2020辽宁大 连二十四中模拟 已知函数f(x)= xln x-1,g(x)=(k-1)x-k(kR). (2)当x1时,直线y=g(x)与曲线 y=f(x)+1无交点,求k的最大整数值. 当1xek-2时,F(x)ek-2时,F(x)0,所 以F(x)在(ek-2,+)上单调递增.则F(x) 的最小值为F(ek-2)=k-ek-2. 因为F(x)无零点,所以F(ek-2)=k-ek-20. 令m(k)=k-ek-2,k2,则m(k)=1-ek-20,m(4)=4-e20, 因此k的最大整数值为3.
