1、高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 等轴双曲线和圆相交时的几个优美性质等轴双曲线和圆相交时的几个优美性质 浙江省海盐元济高级中学（浙江省海盐元济高级中学（314300314300）崔宝法）崔宝法 圆与等轴双曲线都是具有高度对称美的曲线,经过研究笔者发现,当它们相交时具有一些比较优美的 性质.下面列出其中几条,并给出证明. 性质一性质一若等轴双曲线与任意一个定半径的圆交于四点,则其中心到这四点的距离的平方和为定值. 证明:设等轴双曲线kxy 与圆)()()( 22 0 2 0 为定值rryyxx交于四点),( 11 yxP、 ),( 22 yxQ、),( 33 yxR、),( 44 yxS
2、.由消去y,得x的四次方程 02)(2 2 0 22 2 0 2 0 3 0 4 kxkyxryxxxx,由韦达定理得: 04321 2xxxxx, 22 0 2 0424131433221 ryxxxxxxxxxxxxx, )(2)( 424131433221 2 4321 2 4 2 3 2 2 2 1 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 22 0 2 0 22 0 2 0 2 0 222)(24ryxryxx. 同理, 22 0 2 0 2 4 2 3 2 2 2 1 222rxyyyyy. 2222 SOROQOPO 2 4 2 3 2 2 2 1 xxxx 22 4 2 3 2
3、 2 2 1 4ryyyy(定值). 性质二性质二若等轴双曲线与一个圆交于四点,则（1）双曲线必过其中任意三点所构三角形的垂心； （2） 第四点与垂心的连线必过双曲线的中心. 证明: (1)如图 1，不妨设等轴双曲线 2 cxy 与圆相交的其中三点为),( A A t c ctA、),( B B t c ctB、 ),( C C t c ctC， 过 点A 、 B的 直 线 方 程 为 ： 1 () A AA B c yxct tt t ， AB边上的高所在直线的为：() A BC C c yt txct t ，即 () A B CA B A B C c yct t tt tx t t t .
4、 同理，BC边上的高所在直线为： () A B CB C A B C c yct t tt tx t t t . 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 从可以解得垂心H的坐标为(,) A B C A B C c ct t t t t t ， 它满足等轴双曲线方程 2 xyc，故等轴双曲线经过这个三角形的垂心. (2)连HO(O为坐标原点),设直线HO交双曲线于点D,则因为H在双曲线上,且双曲线 2 cxy 关 于O点对称,所以D与H关于原点对称,故D点坐标为 ),( CBA CBA ttct ttt c ., 1 BA AB tt k, 1 CB BC tt k, CBAD ttk, AB
5、DC ttk , 1 )( 1 tan 2 CBA CAB BCAB BCAB ttt ttt kk kk ABC CBA ACB ttt ttt ADC 2 1 )( tan ， ADCABC， 或ADCABC A、B、C、D四点共圆,故D即为第四个交点；因为D在直线HO上,所以第四点与垂心的连线 过双曲线的中心O. 性质三性质三若等轴双曲线与一个圆交于四点,且其中两点的连线是此圆的直径,则另两点的连线必过双 曲线的中心,且双曲线在这两点处的切线都与此直径垂直. 证 明 ： 如 图 2 ， 设 等 轴 双 曲 线 方 程 是 )( 为参数t t c y ctx ，圆方程为 022 00 22
6、 fyyxxyx， 联立,消去yx,整理得 022 2 0 23 0 42 ctcyfttcxtc. 设两曲线的四个交点的坐标为 )4 , 3 , 2 , 1(),(i t c ctA i ii , 则由韦达定理有1 2 2 4321 c c tttt.不妨设 21A A是圆的直径,则 3231 AAAA. 31A A k, 1 )( ) 11 ( 3113 13 ttttc tt c 同理, 32 1 32 tt k AA 1 1 2 321 3231 ttt kk AAAA , 将1 4321 tttt代 入 得 43 tt.又 43A A的 方 程 为)( 1 3 433 ctx ttt
7、 c y, 即 )( 4343 ttcyttx. 434343 , 0, 0AAyttxtt过双曲线的中心)0 , 0(O. 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 又易知双曲线在点),( 3 33 t c ctA处的切线方程为 3 2 3 2ctytx,其斜率为 2 3 1 t k,而 21A A的斜率 为1 1 , 1 2 32121 2121 ttt kk tt k AAAA ,故过点 3 A的切线与 21A A垂直;同理可证:过点 4 A的切线也与 21A A垂直. 性质四性质四 以等轴双曲线平行于实轴的弦为直径的圆必过双曲线的两个顶点. 证明:如图 3,设等轴双曲线方程为 222
8、ayx,DC为平行于实轴的弦,点C坐标为),( 11 yx,则D 点坐标为),( 11 yx.双曲线顶点为)0 ,(),0 ,(aBaA ,直线CA的 斜 率为 ax y k 1 1 1 ,直线DA的斜率为 ax y k 1 1 2 , 2 1 2 2 1 21 xa y kk . 点C在双曲线上, 2 2 1 2 1 ayx, 即 2 1 2 1 2 yxa,故1 2 2 1 21 y y kk, DACA ,所以点A在以DC为直径的圆上.同理, 点B也在以DC为直径的圆上. 性质五性质五若等轴双曲线与一个圆交于四点,则这四点的平均中心(其坐标为各点坐标的算术平均数)平 分双曲线中心与圆心的
9、连线. 证 明 : 设 等 轴 双曲 线)( 为参数t t c y ctx 与 圆0 22 FEyDxyx 交 于 四 点 )4 , 3 , 2 , 1(),(i t c ctP i ii ,代入, 得0 22342 ccEtFtcDttc. 由韦达定理得: c D tttt 4321 ,1 4321 tttt, 421143432321 tt ttttttttt t c E . 4 )( 44 4321 D c Dcctctctct , )( 4 ) 1111 ( 44 211434323214321 4321 4321 tttttttttttt c tttt tttt ct c t c t
10、 c t c 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 4 )( 4 E c Ec ,所以平均中心的坐标为) 4 , 4 ( ED .而双曲线中心与圆心的坐标分别为)0 , 0(和 ) 2 , 2 ( ED ,所以其连线中点坐标也是) 4 , 4 ( ED ,故平均中心平分双曲线中心与圆心的连线. 性质六性质六若以等轴双曲线过中心的一弦为半径，以此弦的一个端点为圆心的圆与双曲线交于四点，则 另三个交点恰好是一个等边三角形的三个顶点. 证明:如图 4,设等轴双曲线方程为kxy ,过双曲线中心的弦的两个端点为),( 00 yxP、 ),( 00 yxP，则以P为圆心，P P 为半径的圆方程为 2
11、0 2 0 2 0 2 0 )2()2()()(yxyyxx，且kyx 00 .联立,消去y得 02)(32 2 0 22 0 2 0 3 0 4 kxkyxyxxxx, 与 联立,消去 0 y, 得02)(32 2 0 2 0 2224 0 33 0 42 0 xkxxkxkxxxxx, 即0)33)( 2 0 223 0 32 00 kxxkxxxxxx.设另三个交点为 ),( 11 yxP、),( 22 yxQ、),( 33 yxR,则 1 x、 2 x、 3 x是方程033 2 0 223 0 32 0 kxxkxxxx的三个 实根，由韦达定理得: 0321 3xxxx, 0 321 3 x xxx ,同理可得: 0 321 3 y yyy ,即PQR 的重心与其外心),( 00 yxP重合,故P、Q、R恰好是等边三角形的三个顶点.
