1、高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 独立性问题点拨独立性问题点拨 在求事件的概率问题时，有些学生因为概念把握不到位，而导致问题求解错误，下面针对独立性问题 举例加以点拨： 例例制造一种零件，甲机床的正品率是 096，乙机床的正品率是 095，从它们制造的产品中各 任意抽一件试问： （1）两件都是正品的概率是多少？ （2）恰有一件是正品的概率是多少？ 解析：解析：分别用BA、表示从甲、乙机床的产品抽得正品，C表示抽得两件中恰有一件是正品，则 BABAC由题意知，BA、是相互独立事件，故 （1）两件都是正品的概率为912. 095. 096. 0)()()(BPAPABP （2）恰有一件是正
2、品的概率为)()()(BAPBAPCP)()()()(BPAPBPAP 95. 0)96. 01 ()95. 01 (96. 0086. 0 点评点评：本题为求相互独立事件的概率问题，可运用相互独立事件的概率公式来解题同时必须明确的 是：若事件A与B相互独立,则A与B,A与B都相互独立，BA与BA是互斥的 例例在一段线路中并联着 3 个自动控制的常用开关，只要其中 1 个开关能够闭合，线路就能正常工 作假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是7 . 0，计算在这段时间内线路正常工作的概率 解析解析：根据题意，这段时间内线路正常工作，就是指 3 个开关中至少有 1 个能够闭合，这可以包括恰 有
3、其中某一个开关闭合、恰有其中某两个开关闭合、恰有三个开关都闭合等几种互斥的情况，逐一求其概 率较为麻烦，为此，我们转为先求三个开关都不能闭合的概率，从而求得其对立事件三个开关中至 少有一个能够闭合的概率 如图所示，分别记这段时间内开关 CBA JJJ,能够闭合为事件CBA,由题意，这段时间内三个 开关是否能够闭合相互之间没有影响，根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内三个开关都不能闭 合的概率是 )(1)(1)(1 )()()()(CPBPAPCPBPAPCBAP =(1 0.7) (1 0.7) (1 0.7)0.027 于是这段时间内至少有一个开关能够闭合， 从而使线路能正常工作的概率
4、是 )(1CBAP=973. 0027. 01 答：在这段时间内线路正常工作的概率是973. 0 点评：点评：本题是用逆向思考方法解决问题，简化了运算过程，应通过本题认真体会方法 例例 3 3甲、乙 2 人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别为 4 1 , 3 1 ，求： （1）2 个人都能译出密码的概率； （2）2 个人都译不出密码的概率； （3）恰有一个人译出密码的概率； （4）至多有一个人译出密码的概率； （5）至少有一个人译出密码的概率； 解析解析：我们把“甲独立的译出密码”记为事件A,把“乙独立的译出密码”记为事件B，显然BA,为 JA JB JC 高中数学教学精品论文高中数学教
5、学精品论文 相互独立事件，问题（1）相当于事件BA,同时发生，即BA问题（2）相当于BA问题（3）相当 于事件BABA问题（4） “至多1个人译出密码”的对立事件是2个人都译出密码（即事件AB） 问 题（5） “至少1个人译出密码”的对立事件是2个人都未译出密码（即事件BA） 由于BA,是独立事件， 上述问题中，A与B，A与B，A与B都是相互独立事件，可以用公式计算相关概率 记“甲独立地译出密码”为事件A， “乙独立地译出密码”为事件B，BA,为相互独立事件，且 4 1 , 3 1 BPAP （1） “2个人都译出密码”的概率为： 12 1 4 1 3 1 BPAPBAP （2） “2个人都译
6、不出密码”的概率为： 111 1111 342 P A BP AP BP AP B （3） “恰有1个人译出密码”可以分为两类：甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事件为互 斥事件，所以恰有1个人译出密码的概率为： P A BA BP A BP A BP A P BP A P B 11115 11 343412 （4） “至多1个人译出密码”的对立事件为“有2个人译出密码” ，所以至多1个人译出密码的概率为： 12 11 4 1 3 1 111BPAPABP （5） “至少1个人译出密码”的对立事件为“2个都未译出密码” ，所以至少有1个人译出密码的概率 为： 2 1 4 3 3 2 11
7、1BPAPBAP 答：略 点评：点评：解答这类概率综合问题时，一般“大化小” ，即将问题划分为若干个彼此互斥事件，然后运 用概率的加法公式和乘法公式来求解，在运用乘法公式时一定要注意的是是否满足彼此独立，只有彼此独 立才能运用乘法公式 在求事件的概率时，有时遇到求“至少”或“至多”等事件概率的问题，如果从正面考察这些 问题，它们是诸多事件的和或积，求解过程繁琐，但“至少” 、 “至多”这些事件的对立事件却往往很 简单，其概率也易求出，此时，可逆向思考，先求其对立事件的概率，再利用概率的和与积的互补公式求 得原来事件的概率这是“正难则反”思想的具体体现 总之，在求一些概率问题时，我们要能够把握住问题的本质，针对问题做到有的放矢
