1、14中学数学研究2021 年第 1 期 (上) 极线视角下对 2020 年全国 卷解析几何题的探究* 湖北恩施州教育科学研究院 (445000)周 威 摘要在 普通高中数学课程标准 (2017 年版) 提出, 数学教师要努力提升数学专业素养, 要理解与高中数学关系 密切的高等数学的内容, 能够从更高的观点理解高中数学知 识的本质. 因此在高考试题研究过程中, 很有必要建立起高 等数学与基础数学的连接点, 基于高观点审视高考试题, 导 向数学教学. 关键词 高考试题研究; 极点极线; 解析几何 一、 试题呈现与问题提出 例 1 (2020 年全国 卷理 科 21 题、 文 20 题) 已知 A,
2、B 分别为椭圆 E : x2 a2 + y2= 1(a 1) 的左、 右顶点, G 为 E 的上顶点, AG GB = 8.P 图 1 为直线 x = 6 上的动点, PA 与 E 的另一交点为 C, PB 与 E 的另一交点为 D. (1) 求 E 的方程; (2) 证明: 直线 CD 过定点. 解法 1(1) 由数量积的坐标运算可得 a2= 9, 即 x2 9 + y2= 1; (2) 由 (1) 可知 A(3,0),B(3,0), 设 P(6,n), 则直线 PA : y = n 9 (x + 3), 直线 PB : y = n 3 (x 3), 将 PA 代入椭圆方程可得 (9 + n
3、2)x2+ 6n2x + 9n2 81 = 0, 由韦 达定理可得 C 点横坐标为 xC= 3n2+ 27 9 + n2 , 代入 PA 方程 可得 yC= 6n 9 + n2 , 即 C(3n 2 + 27 9 + n2 , 6n 9 + n2 ). 同理将 PB 代入椭圆方程可求得 (1+n2)x26n2x+9n29 = 0, 得 D 点坐标为 D(3n 2 3 1 + n2 , 2n 1 + n2 ), 所以 kCD= 4n 3(3 n2), 从 而CD 的直线方程为y 2n 1 + n2 = 4n 3(3 n2)(x 3n2 3 1 + n2 ), 整理得 y = 4n 3(3 n2)
4、(x 3 2). 故 CD 过定点 (0, 3 2). 另外, 从图 1 不难发现, 不管 P 点的位置在直线 x = 6 上哪个位置, 由椭圆对称性知, CD 都会与 x 轴相交于一点, 这一点其实就是要求的定点, 所以还有以下解法: 解 法 2根 据 解 法 1 求 出 C(3n 2 + 27 9 + n2 , 6n 9 + n2 ), D(3n 2 3 1 + n2 , 2n 1 + n2 ), 由椭圆对称性知定点一定位于 x 轴 上, 可先设定点坐标为 H(t,0), 那么 kHC= 6n 9 + n2 3n2+ 27 9 + n2 t ,kHD= 2n 1 + n2 3n2 3 1
5、+ n2 t ,kHD= kHC, 化简得 (4t 6)n2+ 12t 18 = 0, 令 4t 6 = 0, 12t 18 = 0, 得 t = 3 2. 即 CD 过定点 (0, 3 2). 评注 此题以椭圆与直线最基本的问题情境作为进行任 务创设和基本知识能力运用考查的载体, 重点考查学生数形 结合、 化归转化思想, 强调直线代入圆锥曲线方程通性通法 的应用. 对于直线过定点问题, 要么先设点 P 坐标, 然后把直 线 AP, BP 的方程分别与椭圆方程联立, 求出 C,D 两点的 坐标, 对于处理定点问题, 可对 CD 直线方程化简, 得出过定 点; 也可以先确定点, 再通过三点共线求
6、定点; 要么设 CD 的 直线方程 x = my + n 及 C,D 的坐标, 联立椭圆方程, 通过 设而不求, 找到 m,n 的关系, 进而得到直线过定点 (请读者 解答). 因此, 上述解法具有代表性和通法性, 体现了高考 “四 翼” 中的基础性. 那么基于此问题情境, 其背后的命题立意、 高等数学背 景和相关拓展是怎样的? 为此, 有以下问题导向: 问题 1第 (2) 问命题立意时, 如何从高观点视角确定 CD 与 x 轴的交点就是固定的? 问题 2当椭圆 E 和直线 x = 6 都为一般情形时, 直线 CD 过定点坐标是怎样的? 问题 3如果将椭圆 E 改为双曲线的情形, 是否有类似
7、结论? 二、 基于极点极线的问题探究与结论 如果站在极点极线高观 点下, 对上述问题的思考就能 让人豁然开朗. 极点极线是高 等几何中关于二次曲线的有 关概念, 与高中阶段圆锥曲线 的相关知识联系密切. 其具体 图 2 定义为: 如图 2, 设点 P 是不在圆锥曲线上的一点, 过 P 点引 两条割线依次交圆锥曲线于四点 E,F,G,H, 连接 EH,FG *基金项目: 本文为湖北省教育科学规划课题 基于课程标准的教学与质量测评研究 (课题号: 2020JB348) 阶段性研究成果. 2021 年第 1 期 (上)中学数学研究15 交于 C, 连接 EG,FH 交于 D, 则直线 CD 为点 P
8、 对应的极 线. 若 P 为圆锥曲线上的点, 则过 P 点的切线即为极线. 同 理可知, PC 为点 D 对应的极线, PD 为点 C 所对应的极线. 定理 1 当 P 在圆锥曲线 上时, 则点 P 的极线是曲线 在 P 点处的切线; 当 P 在 外时, 过点 P 作 的两条切 线, 设其切点分别为 A,B, 则点 P 的极线是直线 AB(即切点 弦所在的直线) ; 当 P 在 内时, 过点 P 任作一割线交 于 A,B, 设 在 A,B 处的切线交于点 Q, 则点 P 的极线即为 点 Q 的轨迹. 定理 2对于椭圆 x2 a2 + y2 b2 = 1(a b 0), 与点 P(x0,y0)
9、对应的极线方程为 xx0 a2 + yy0 b2 = 1; 对于双曲线 x2 a2 y2 b2 = 1(a 0,b 0), 与点 P(x0,y0) 对应的极线方 程为 xx0 a2 yy0 b2 = 1; 对于抛物线 y2= 2px(p 0), 与点 P(x0,y0) 对应的极线方程为 yy0= p(x + x0). 定理 1、 定理 2 的证明请参考文献 1. 基于以上极点极 线定义及定理, 在图 1 中连接 CD 交 x 轴于 H, 连接 AD、 BC 相交于 J, 如图 3 所示, 则 HJ 就为点 P 关于椭圆 E 的 极线. 设点 P 在 x = m(m = 0) 直线上, 那么 P
10、(m,n), 由椭 圆的极点极线形式可知, HJ 的直线方程为 mx 9 + ny = 1, 令 y = 0, 即得 H 点坐标 ( 9 m,0), 当 m = 6 时, H 点坐标为 (3 2,0). 从而得到问题 1 的解答. 事实上, 若椭圆方程为 E : x2 a2 + y2 b2 = 1(a b 0), 则 HJ 的直线方程为 mx a2 + ny b2 = 1, 令 y = 0, 即得 H 点坐标 (a 2 m ,0), 从而解决了问题 2 的疑惑. 若设 J(x0,y0), HP 是点 J 的极线, 可得 HP 的直线方 程为 x0 x a2 + y0y b2 = 1, 因为点
11、H(a 2 m ,0) 在直线 HP 上, 故可 得 x0= m. 综上所述, 可得到 例 1 的一般结论: 图 3 结论 1已知 A,B 分别为椭圆 E : x2 a2 + y2 b2 = 1(a b 0) 的左右顶点, P 为直线 x = m(m = 0) 上的动点, PA 与 E 的另一交点为 C, PB 与 E 的另一交点为 D. 那么直 线 CD 过定点 H(a 2 m ,0), 且直线 AD 与 BC 的交点在直线 x = m 上. 证明 可知 A(a,0),B(a,0),P(m,n), PA : y = n m + a(x + a), PB : y = n m a(x a), 将
12、 PA 代入椭圆方程 E 可得 b2(m + a)2+ a2n2x2+ 2a3n2x + a4n2 a2b2(m + a)2=0, 由 韦 达 定 理 可 得 xC= a3b2 a3n2+ 2a2b2m + ab2m2 a2b2+ a2n2+ 2ab2m + b2m2 , 代 入 PA 方 程 可 得, yC= 2a2b2m + 2ab2mn a2b2+ a2n2+ 2ab2m + b2m2 , 即 C(a 3b2a3n2+2a2b2m+ab2m2 a2b2+a2n2+2ab2m+b2m2 , 2a2b2m+2ab2mn a2b2+a2n2+2ab2m+b2m2 ), 同理 D( a3b2+a
13、3n2+2a2b2mab2m2 a2b2+a2n22ab2m+b2m2 , 2a2b2m2ab2mn a2b2+a2n22ab2m+b2m2 ), 所以 kCD= 2b2mn a2b2+ a2n2 m2b2 , 得到 CD 的直线方程为 y = 2b2mn a2b2+a2n2m2b2 (xa 3b2+a3n2+2a2b2mab2m2 a2b2+a2n22ab2m+b2m2 ) + 2a2b2m2ab2mn a2b2+a2n22ab2m+b2m2 , 化简可得 y = 2b2n a2b2+ a2n2 m2b2 (mx a2), 因此 CD 过 定点 (a 2 m ,0). 可得直线 AD 的方程
14、为 y= a2b2ab2m+ab2xb2mx a2n , BC 的方程为 y = a2b2+ ab2m ab2x b2mx a2n , 联立可得 x = m, 即直线 AD 与 BC 的交点在 x = m 上. 对于问题 3, 同样根据极点极线定义及定理, 可类比得到 双曲线的结论. 结论 2 已知 A,B 分别为双曲线 E : x2 a2 y2 b2 = 1(a 0,b 0) 的左右顶点, P 为直线 x = m(m = 0) 上的动点, PA 与 E 的另一交点为 C, PB 与 E 的另一交点为 D. 那么 直线 CD 过定点 H(a 2 m ,0), 且直线 AD 与 BC 的交点在直
15、 线 x = m 上. 结论 2 由于篇幅所限, 请读者自行证明. 三、 结论再推广 在解法 1 与解法 2 中其实都用到了斜率, 那么也可基 于极点极线从斜率的角度对上述结论进行推广. 如图 3, 不妨设 m a, 则 kPH= |PK| |HK| = n m a2 m = mn m2 a2 , kPA= |PK| |AK| = n m + a, kPB = |PK| |BK| = n m a, 满足 2kPH= kPA+ kPB. 其他情形同样成立. 因此可得到结论 1 和结论 2 的以下推论. 推论 1已知 A,B 分别为椭圆 E : x2 a2 + y2 b2 = 1(a b 0) 的
16、左右顶点, P 为直线 x = m(m = 0) 上的动点, PA 与 E 的另一交点为 C, PB 与 E 的另一交点为 D. 直线 CD 交 x 轴于点 H, 记直线 PH 的斜率为 k0, 直线 PA 的斜率为 k1, 直线 PB 的斜率为 k2, 那么 k1+ k2= 2k0. 证 明设 A(a,0),B(a,0),P(m,n), PA:y= n m + a(x + a), PB : y = n m a(x a), 由结论 1 可得 点 16中学数学研究2021 年第 1 期 (上) 基于 2020 年高考全国 I 卷第 17 题一类数列问题的研究 佛山市第一中学 (528000)陈
17、豪 中山大学数学学院 (510275)陈弈龙 在新高考中, 数列大题出现在第一道解答题的位置, 更 多的是关注基本方法、 基本思想, 其中裂项相消法与错位相 减法成为求前 n 项和的最基本的两类方法, 2020 年全国 I 卷, III 卷第 17 题均为基于数列通项公式: an= (an + b) qn的 求和问题, an是一个等差数列与一个等比数列的乘积. 此类 问题通常采用错位相减法来求和, 然而错位相减法容易出错, 而这次公比还为负, 数学生更容易出错. 考生此处失分较多, 下文我们将专门研究这类数列的四种求和方法. 一、 原题呈现 例 1 (2020 年高考全国 I 卷理科第 17
18、题) 设 an 是公 比不为 1 的等比数列, a1为 a2, a3的等差中项. (1) 求 an 的公比; (2) 若 a1= 1, 求数列 nan 的前项和. 二、 解法汇总 1 错位相减法 (1) 略. (2) 设 Sn为 nan 的前 n 项和. 由 (1) 及题设可 得,an= (2)n1.所以Sn= 1+2(2)+n(2)n1, 2Sn= 2+2(2)2+(n1)(2)n1+n(2)n. 可得 3Sn= 1+(2)+(2)2+(2)n1n(2)n= 1 (2)n 3 n (2)n, 所以 Sn= 1 9 (3n + 1)(2)n 9 . 2 待定系数法 设数列 an的前项和为 Sn
19、= (An B)qn+ B, 则 S1= (A 1 B)(2) + B = 1, S2= (A 2 B) 4 + B = 3, 故 A = 1 3, B = 1 9, 所 以 Sn= (1 3n 1 9)(2) n + 1 9. 3 幂级数法 令 f(x) = xn, 则 f(x) 是连续可导函数, f(x) = nxn1, Sn=1+2(2) + + n (2)n1= ( x(1xn) 1 x )? ? ? ? x=2 = 1 (x1)2 + nx(n + 1) (x 1)2 xn x=2 = 1 9 + 3n1 9 (2)n. 4 构造法 当 n 2, 由 Sn Sn1= n(2)n1,
20、则 Sn (2)n + 1 2 Sn1 (2)n1 = 1 2n. 令bn = Sn (2)n ,则bn= (1 2)bn1 n 2 , 设 bn+An+B = 1 2(bn1 +A(n1)+B), 则 A = 1 3,B = 1 9, 故 bn+ 1 3n+ 1 9 =(1 2) n1(b1+1 3 + 1 9)=( 1 2) n1(1 2 + 1 3 + 1 9), bn= Sn (2)n = (1 3n + 1 9) + ( 1 2) n1(1 9), 当 n = 1, b1= 1 2 符合, 所以 Sn= (1 3n 1 9)(2) n + 1 9. H(a 2 m ,0), 所以 k
21、PH= n m a2 m = mn m2 a2 , 显然满足 k1+ k2= 2k0. 推论 2 已知 A,B 分别为双曲线 E : x2 a2 y2 b2 = 1(a 0,b 0) 的左右顶点, P 为直线 x = m(m = 0) 上的动点, PA 与 E 的另一交点为 C, PB 与 E 的另一交点为 D. 直线 CD 交 x 轴于点 H, 记直线 PH 的斜率为 k0, 直线 PA 的斜 率为 k1, 直线 PB 的斜率为 k2, 那么 k1+ k2= 2k0. 四、 反思与结语 上述讨论都是借助极点极线高等数学知识, 对试题情 境中椭圆、 双曲线情形的探究. 其实, 抛物线的情形也有
22、类 似问题情境和结论, 比如: 已知抛物线 y2= 2px(p 0), P 为直线 x = m 上的动点, 过 P 作抛物线的两条切线, 切点 分别为 C、 D, 则直线 CD 过定点 H(m,0). 关于抛物线中 “k1+k2= 2k0” 的结论情形, 笔者在文 2 中也有所阐述, 这 涉及到此道高考题的源与流, 不再赘述. 数学家 F. 克莱因认 为, 教师应具备较高的数学观点, 基础数学的教师应该站在 更高的视角来审视、 理解初等数学问题, 只有观点高了, 事物 才能显得明了简单. 参考文献 1 梅向明等. 高等几何 (第三版) M. 北京: 高等教育出版社, 2018. 2 周威. 探究性学习的问题设计与探究过程以一次试卷讲评中的 圆锥曲线探究性问题为例 J. 中学数学研究 (江西师范大学版) , 2019(10) : 13-15.
